2024東城區高三一模試卷及答案北京市東城區2024-2024學年度其次學期高

三綜合練習（一）

數學

（理科）

本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷（選擇題共40分）

一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符

合題目要求的一項。

（1）若a，b∈R，i是虛數單位，且(2)i1iab+-=+，則ab+的值為

（A）1（B）2（C）3（D）4（2）若集合},0{2mA=，}2,1{=B，則“1=m”是“}2,1,0{=BAY”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（3）若實數x，y滿意不等式組1,2,0,yxyxy+≤??

-≤??≥?

則yxz2-=的最小值為

（A）2

7-（B）2-（C）1（D）25

（4）右圖給出的是計算

100

1

...81614121+

++++的一個程序框圖，其中推斷框內應填入的條件是

（A）50i（C）25i

（5）某小區有排成一排的7個車位，現有3輛不同型號的車需要停放，假如要求剩

余的4個車位連在一起，那么不同的停放方法的種數為

844647

m93

54551079

乙

甲

（A）16（B）18（C）24（D）32

（6）已知x，y，z∈R，若1-，x，y，z，3-成等比數列，則xyz的值為C（A）3-（

B）3±（C

）-（D）±

（7）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，ABAD⊥，4AB=，2BC=，4AD=，若P為CD的

中點，則PAPB?uuuruuur

的值為

（A）5-（B）4-（C）4（D）5

（8）已知函數21,0,

()(1),0.xxfxfxx-?-≤=?->?

若方程()fxxa=+有且只有兩個不相等的實

數根，則實數a的取值范圍是

（A）(),1-∞（B）(],1-∞（C）()0,1（D）[)0,+∞

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

（9）命題“000(0,),tansin2

xxxπ

?∈>”的否定是.

（10）在極坐標系中，圓2=ρ的圓心到直線cossin2ρθρθ+=的距離為．（11）在如圖所示的莖葉圖中，乙組數據的中位數是；

若從甲、乙兩組數據中分別去掉一個最大數和一個最小數

后，兩組數據的平均數中較大的一組是組．

（12）如圖，AB是⊙O的直徑，直線DE切⊙O于點D，

且與AB延長線交于點C，

若CD=，1CB=，則ADE∠=．

（13）拋物線2yx=的準線方程為；經過此拋物線的焦點是和點

D

C1

Q0

N1

C

B1

ABMQ

(1,1)M，且

與準線相切的圓共有個．

（14）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點M在AD上，正方形ABCD以AD為

軸逆時針旋轉θ角)3

π

(0≤≤θ到11ABCD的位置，同時點M沿著AD從點A

運動到點D，11MNDC=uuuuruuuur

，點Q在1MN上，在運動過程中點Q始終滿意

QMuuuur

1

cos=

θ，記點Q在面ABCD上的射影為0Q，則在運動過程中向量0BQuuuur與BMuuuur夾角α的正切的最大值為.

三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

（15）（本小題共13分）

已知函數22()(sin2cos2)2sin2fxxxx=+-.（Ⅰ）求()fx的最小正周期；

（Ⅱ）若函數()ygx=的圖象是由()yfx=的圖象向右平移

8

π

個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的，當x∈時，求()ygx=的最大值和最小值.

F

E

B

F

A1

B

E

（16）（本小題共13分）

某工廠生產甲、乙兩種產品，甲產品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產1件甲產品，若是一等品，則獲利4萬元，若是二等品，則虧損1萬元；生產1件乙產品，若是一等品，則獲利6萬元，若是二等品，則虧損2萬元.兩種產品生產的質量相互獨立.

（Ⅰ）設生產1件甲產品和1件乙產品可獲得的總利潤為X（單位：萬元），求X的分布列；

（Ⅱ）求生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率.（17）（本小題共13分）

如圖1，在邊長為3的正三角形ABC中，E，F，P分別為AB，AC，BC上的點，且滿意1AEFCCP===.將△AEF沿EF折起到△1AEF的位置，使二面角

1AEFB--成直二面角，連結1AB，1AP.（如圖2）

（Ⅰ）求證：EA1⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直線EA1與平面BPA1所成角的大小.圖1圖2

(18)（本小題共14分）

已知函數2

21()2e3eln2

fxxxxb=

+--在0(,0)x處的切線斜率為零．

（Ⅰ）求0x和b的值；

（Ⅱ）求證：在定義域內()0fx≥恒成立；(Ⅲ)若函數()()a

Fxfxx

'=+有最小值m，且2em>，求實數a的取值范圍.

（19）（本小題共13分）

已知橢圓C：()222210xyabab+=>>的離心率是1

2

，其左、右頂點分別為1A，2A，

B為短軸的端點，△12ABA的面積為23．（Ⅰ）求橢圓

C的方程；

（Ⅱ）2F為橢圓C的右焦點，若點P是橢圓C上異于1A，2A的任意一點，直線1AP，

2AP與直線4x=分別交于M，N兩點，證明：以MN為直徑的圓與直線2PF相

切于點2F．

（20）（本小題共14分）

若對于正整數k,()gk表示k的最大奇數因數，例如(3)3g=，(10)5g=.設

(1)(2)(3)(4)(2)nnSggggg=+++++L．

（Ⅰ）求(6)g,(20)g的值；（Ⅱ）求1S，2S，3S的值；（Ⅲ）求數列{}nS的通項公式．

北京市東城區2024-2024學年度其次學期高三綜合練習（一）數學參考答案及評分標準（理科）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

（1）D（2）A（3）A（4）B（5）C（6）C（7）D（8）A二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

（9）(0,),tansin2

xxxπ

?∈≤（102（11）84乙

（12）60o（13）1

4

x=-2（14）612注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，其次個空填對得3分．三、解答題（本大題共6小題，共80分）（15）（共13分）

解：（Ⅰ）由于22()(sin2cos2)2sin2fxxxx=+-

sin4cos4xx=+

2)

4

xπ

=+,

…………6分所

以

函

數

()

fx的最小正周期為

2

π

.…………8分（Ⅱ）依題意,()ygx==21+

2)14

xπ

=-+.…………10分

由于04xπ≤≤，所以34444

xπππ-≤-≤.…………11分

D

P

F

E

A

C

B

當442xππ-

=，即316

xπ

=

時，()gx取最大值21+；當444

xππ

-

=-，即0x=時，()gx取最小值

0.…………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由題設知，X的可能取值為10，5，2，3-.…………2分

(10)PX=0.80.90.72=?=，(5)0.20.90.18PX==?=，(2)0.80.10.08

PX==?=，

(3)0.20.10.02PX=-=?=.…………6分

由此得X的分布列為：

X10523-

P

0.720.180.08

0.02

…………8分（Ⅱ）設生產的4件甲產品中一等品有n件，則二等品有4n-件.

由題設知4(4)10nn--≥，解得14

5

n≥，

又

n*∈N且

4n≤，得3n=，或

4n=.…………10分

所求概率為3

3440.80.20.80.8192PC=??+=.（或寫成512625

）

答：生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192.…………13分

（17）（共13分）

（Ⅰ）證明：取BE中點D，連結DF.

由于1AECF==，1DE=，

所以2AFAD==，而60A∠=o，即△ADF是正三角形.又由于1AEED==,所以EFAD⊥.…………2分所以在圖2中有1AEEF⊥，BEEF⊥.…………3分所

以

1AEB

∠為二面角

1AEFB

--的平面角.

圖1

又二面角1AEFB--為直二面角，

所以1AEBE⊥.(5)

分

又由于BEEFE=I,所

以

1AE

⊥平面BEF,即

1AE

⊥平面

BEP.…………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知1AE⊥平面BEP，BEEF⊥，如圖，以E為原點，建立空間直角坐標系Exyz-，

則(0,0

,0)E，1(0,0,1)A，(2,0,0)B，F在圖１中，連結DP.

由于12

CFCPFAPB==，

所以PF∥BE，且1

2

PFBEDE=

=.所以四邊形

EFPD為平行四邊形.所以EF∥DP，且EFDP=.故點P的坐標為（10）.圖

2

所

以

1(2,0,1)

AB=-uuuur

，

(BP=-uuur

，

1(0,0,1)EA=uuuur

.…………8分

不妨設平面1ABP的法向量(,,)xyz=n，則10,

0.ABBP??=???=??uuuuruuur

nn

即

20,

0.

xzx-=???=??

令y=，

得

(3,,6)=n.…………10分

所以

cos?1EA?uuur

n,112||||EAEA?=

==uuuur

uuuuurnn.…………12分故直線

1AE

與平面

1ABP

所成角的大小為

3π

.…………13分

（18）（共14分）

（Ⅰ）解：

23e()2efxxx

'=+-.…………2分

由題意有0()0fx'=即2

00

3e2e0xx+-=，解得0ex=或03ex=-（舍

去）．…………4分

得

(e)0

f=即

2

221e2e3elne02

b+--=，解得

21

e2

b=-．…………5分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知222

1e()2e3eln(0)22

fxxxxx=+-+>，

()fx'23e(e)(3e)2e(0)xxxxxx

-+=+-=>．在區間(0,e)上，有()0fx'．

故()fx在(0,e)單調遞減，在(e,)+∞單調遞增，于

是

函

數

()

fx在(0,)+∞上的最小值是

(e)0f=．…………9分

故當0x>時，有

()0

fx≥恒成

立．…………10分

(Ⅲ)解：2

3e()()2eaaFxfxxxx

-'=+=++(0)x>．

當2

3ea>時，則2

23e()2e23e2eaFxxax

-=++≥-，當且僅當23exa=-

故

()

Fx的最小值

223e2e

ma=-2e>，符合題

意；…………13分

當23ea=時，函數()2eFxx=+在區間(0,)+∞上是增函數，不存在最小值，

不合題意；

當2

3ea<時，函數2

3e()2eaFxxx

-=++在區間(0,)+∞上是增函數，不存在最小值，不合題意．

綜

上

，

實

數

a

的取值范圍是

2(3e,)+∞．…………14分

（19）（共13分）（

Ⅰ

）

解

：

由

已

知

2221,223,.caababc?=???

=??=+???

…………2分

解得2a=，3b=．…………4分故

所

求

橢

圓

方

程

為

22

143

xy+=．…………5分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知()12,0A-，()22,0A，()21,0F．

設()()000,2Pxyx≠±，則22

03412xy+=．于是直線1AP方程為()0022yyxx=

++，令4x=，得0062

My

yx=+；所以(M4,

062

yx+)，同理

(N4,

022

yx-)．…………7分所以2FM=uuuur(3,0062yx+)，2FN=uuuur(3,0

022yx-).

所以22FMFN?=uuuuruuuur(3,0062yx+)?(3,0

022

yx-)

00

0062922

yyxx=+

?+-()2200

22

003123129944

xyxx-=+=+--()20249499904

xx-=-=-=-．所以22FMFN

⊥，點

2

F在以MN為直徑的圓上．…………9分設MN

的中點為E

，

則

(4,

E002

04(1)

4

yxx--)．…………10分又2FE=uuuur(3,00204(1)

4

yxx--)，()2024,,FPxy=-uuuur

所以22FEFP?=uuuuruuuur(3,00204(1)4yxx--)()()()2000002

0411,314

yxxyxx-?-=-+-

()

()()

()()2

0020243131313104

xxxxxx--=-+

=---=-．

所以

22FEFP⊥．…………

12分

由于2FE是以MN為直徑的圓的半徑，E為圓心