第七章量綱分析與相似理論第1頁，課件共27頁，創作于2023年2月§7-1量綱分析

一、量綱與單位1.單位：表征各物理量的大小。

如長度單位m、cm、mm；時間單位小時、分、秒等。質量單位千克、克等2.量綱：表征各物理量單位的種類。

如m、cm、mm等同屬于長度類，用L表示；小時、分、秒等同屬于時間類，用T表示；公斤、克等同屬于質量類，用M表示。第2頁，課件共27頁，創作于2023年2月3.基本量綱和導出量綱（1）基本量綱：量綱互不依賴、相互獨立。

長度量綱質量量綱時間量綱（2）導出量綱：由基本量綱表示的量綱，可用基本量綱的指數乘積來表示。力粘度

速度第3頁，課件共27頁，創作于2023年2月4.量綱分類

（1）幾何學量綱：

（2）運動學量綱：

（3）動力學量綱：

（4）無量綱數：

第4頁，課件共27頁，創作于2023年2月二、量綱和諧性原理1.量綱和諧原理是指在一個反映客觀規律的物理方程式中，各項的量綱必須是一致的，它是被無數事實所證明的一個客觀原理。連續性方程

伯諾里方程

2.在經驗公式中常有帶量綱的系數，這類公式的量綱是不和諧的。

動量方程

第5頁，課件共27頁，創作于2023年2月三、量綱分析法量綱分析法：在量綱和諧性原理的基礎上，形成了兩種按照物理量之間的量綱和諧性建立各物理量之間的函數關系式的方法。瑞利法若某一物理過程與個物理量有關，即

其中一個物理量可以表示成其它物理量的指數乘積形式

無量綱數

待定系數

第6頁，課件共27頁，創作于2023年2月例7-1已知作用在做勻速圓周運動物體上的離心力，與物體的質量、速度和圓周半徑有關，試用瑞利法推導離心力公式。[解]根據已知條件，離心力可以寫成以下指數形式根據量綱和諧性，有

第7頁，課件共27頁，創作于2023年2月例7-2由實驗得知：恒定有壓管流的臨界流速與管徑、流體密度和粘度有關，試用瑞利法求出它們之間的關系式。[解]根據已知條件，有以下待定函數關系根據量綱和諧性有

第8頁，課件共27頁，創作于2023年2月2.定理法

(布金漢法)

若物理方程為

而這些變量中含有m個基本物理量，則可組合這些變量成為(n–m)個無量綱π數的函數關系，即…這三個基本量分別表征流體物性、幾何特性和運動特征第9頁，課件共27頁，創作于2023年2月必須相互獨立

表征流體物性：密度、粘度等

表征幾何特性:管徑、管長等

表征運動特性：速度、重力加速度等

第10頁，課件共27頁，創作于2023年2月定理法的運用步驟：

（1）找出對物理過程有影響的個物理量，寫成函數形式。所謂有影響的物理量是指對研究的物理過程起作用的各種獨立因素（2）選出個相互獨立的基本量，一般取個（4）根據量綱和諧性原理，找出各項的待定系數、、。

（3）將個基本量依次與其余量組成個無量綱項

（5）寫出描述該物理過程的關系式

第11頁，課件共27頁，創作于2023年2月例7-3已知圓球的繞流阻力與流體的密度和粘度、圓球的直徑、來流的流速相關，試用定理推導繞流阻力公式。[解]（1）建立函數關系式

（2）選取、、為三個基本量，求各項。

第12頁，課件共27頁，創作于2023年2月根據量綱和諧性原理

同理

（3）寫出無量綱方程

第13頁，課件共27頁，創作于2023年2月例7-4根據實驗，某氣體管流現象的物理方程為

壓強損失：

氣體密度：

流速：

動力粘度：

管徑：

管長：

管壁粗糙度：

試用定理推導氣體管路壓強損失公式。[解]

（1）取、、作為三個基本量，求各項

第14頁，課件共27頁，創作于2023年2月（2）根據量綱和諧性原理，略去具體計算步驟，求得各項結果為（3）寫出無量綱方程

第15頁，課件共27頁，創作于2023年2月§7-2相似的基本概念一、幾何相似模型和實際流場的幾何形狀相似，即對應的線段成比例，對應的夾角相等。長度比尺

面積比尺

體積比尺

第16頁，課件共27頁，創作于2023年2月二、運動相似

兩個流場對應點上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即速度比尺

加速度比尺

時間比尺

重力加速度比尺

第17頁，課件共27頁，創作于2023年2月三、動力相似兩個流動各對應點上受到的各種同名力方向相同、大小成比例，即粘性力重力壓力彈性力表面張力慣性力力的比尺

密度比尺粘度比尺

第18頁，課件共27頁，創作于2023年2月四、初始條件和邊界條件相似1.初始條件和邊界條件的相似是保證兩個流動相似的充分條件，正如初始條件和邊界條件是微分方程的定解條件一樣。2.對于非恒定流，初始條件是必須的，而對于恒定流，初始條件則失去了意義。3.邊界條件是指兩個流動相應邊界性質相同，比如，自由表面上的壓強等于大氣壓強，固體邊界上的法線速度為零等。幾何相似是運動相似和動力相似的前提；動力相似是決定流動相似的主要因素；運動相似是幾何相似和動力相似的表現。第19頁，課件共27頁，創作于2023年2月§7-3相似準則

1.相似準則：兩個流動要實現動力相似，作用在相應質點上的各種作用力的比尺要滿足的約束關系。一、牛頓相似準則

2.牛頓相似準則慣性力比尺

力的比尺

牛頓數

牛頓相似準則是兩個流動動力相似的充分與必要條件

第20頁，課件共27頁，創作于2023年2月二、動力相似準則

1.雷諾準則（粘性力準則）粘性力比尺

雷諾數

雷諾準則：粘性力起主要作用。第21頁，課件共27頁，創作于2023年2月2.佛汝德準則（重力準則）重力比尺

佛汝德數

佛如德準則：重力起主要作用。第22頁，課件共27頁，創作于2023年2月3.歐拉準則（壓力準則）壓力比尺

歐拉數

歐拉準則：動壓力起主要作用。第23頁，課件共27頁，創作于2023年2月4.其它準則韋伯準則（表面張力準則）

柯西準則（彈性力準則）馬赫準則（彈性力準則）韋伯數

柯西數

馬赫數

水擊、水流誘發振動超音速氣流小規模流動，表面張力顯著第24頁，課件共27頁，創作于2023年2月例7-5一潛艇長為L＝78m，水面航速為13kn,現用1：50的模型在水池中做實驗測它的興波阻力，試確定水池拖車的拖曳速度。

解：實驗應按佛汝德準則進行。已知船模長度：實艇水面航速為：故實驗時船模的拖曳速度為：第25頁，課件共27頁，創作于2023年2月

例7-6已知直徑為15cm的輸油管，流量0.18m3/s，油的運動粘度νp=0.13cm2/s。現用水作模型實驗，水的運動粘度νm=0.013cm2/s。當模型的管徑與原型相同時，要達到兩流動相似，求水的流量Qm。若測得5m長輸水管兩端的壓強水頭差，試求100m長的輸油管兩端的壓強差？解：（1）因圓管中流動主要受粘滯力作用，所以應滿足雷諾相似準則因，上式可簡化為第26頁，課件共27頁，創作于2023年2月流量比尺，所以模型中水的流量為（2）流動的壓降滿足歐拉準則

因，則5m長輸油管兩端的壓強差為