第七章線性變換第1頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作當代數和幾何結合成伴侶時，他們就相互吸取對方的新鮮活力，并迅速地趨于完美。---拉格朗日（Lagrange,1736-1813）數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少知覺，形少數時難入微。---華羅庚（1910－1985）第2頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.1線性映射一、內容分布

7.1.1線性映射的定義、例.

7.1.2線性變換的象與核.二、教學目的:1．準確線性變換（線性映射）的定義，判斷給定的法則是否是一個線性變換（線性映射）．2．正確理解線性變換的象與核的概念及相互間的聯系，并能求給定線性變換的象與核．三、重點難點:判斷給定的法則是否是一個線性變換（線性映射），求給定線性變換的象與核．第3頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.1.1線性映射的定義、例

設F是一個數域，V和W是F上向量空間.

定義1設σ是V到W的一個映射.如果下列條件被滿足，就稱σ是V到W的一個線性映射：①對于任意②對于任意容易證明上面的兩個條件等價于下面一個條件：③對于任意和任意第4頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作在②中取，對③進行數學歸納，可以得到：（1）（2）例1對于的每一向量定義

σ是到的一個映射，我們證明，σ是一個線性映射.例2令H是中經過原點的一個平面.對于的每一向量ξ，令表示向量ξ在平面H上的正射影.根據射影的性質，是到的一個線性映射.第5頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作例3令A是數域F上一個m×n矩陣，對于n元列空間的每一向量規定：

是一個m×1矩陣，即是空間的一個向量，σ是到的一個線性映射.第6頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作例4令V和W是數域F上向量空間.對于V的每一向量ξ令W的零向量0與它對應，容易看出這是V到W的一個線性映射，叫做零映射.例5令V是數域F上一個向量空間，取定F的一個數k，對于任意定義容易驗證，σ是V到自身的一個線性映射，這樣一個線性映射叫做V的一個位似.特別，取k=1，那么對于每一都有這時σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的單位映射，如果取k=0，那么σ就是V到V的零映射.第7頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作例6取定F的一個n元數列對于的每一向量規定

容易驗證，σ是到F的一個線性映射，這個線性映射也叫做F上一個n元線性函數或上一個線性型.例7對于F[x]的每一多項式f（x），令它的導數

與它對應，根據導數的基本性質，這樣定義的映射是F[x]到自身的一個線性映射.第8頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作例8令C[a,b]是定義在[a,b]上一切連續實函數所成的R上向量空間，對于每一規定

仍是[a,b]上一個連續實函數，根據積分的基本性質，σ是C[a,b]到自身的一個線性映射.第9頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.1.2線性變換的象與核定義2設σ是向量空間V到W的一個線性映射,(1)如果那么叫做

在σ之下的象.(2)設那么叫做在σ

之下的原象.定理7.1.1設V和W是數域F上向量空間，而

是一個線性映射，那么V的任意子空間在σ之下的象是W的一個子空間，而W的任意子空間在σ之下的原象是V的一個子空間.第10頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作特別，向量空間V在σ之下的象是W的一個子空間，叫做σ的象,記為即另外，W的零子空間{0}在σ之下的原象是V的一個子空間，叫做σ的核，記為即第11頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作定理7.1.2設V和W是數域F向量空間，而是一個線性映射，那么(i)σ是滿射(ii)σ是單射證明論斷(i)是顯然的,我們只證論斷(ii)如果σ是單射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量.反過來設ker(σ)={0}.如果那么從而所以即σ是單射.第12頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作如果線性映射有逆映射，那么是W到V的一個線性映射.

建議同學給出證明.第13頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.2線性變換的運算

一、內容分布7.2.1加法和數乘7.2.2線性變換的積7.2.3線性變換的多項式二、教學目的:掌握線性映射的加法、數乘和積定義，會做運算.掌握線性變換的多項式,能夠求出給定線性變換的多項式.三、重點難點:

會做運算.第14頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.2.1加法和數乘令V是數域F上一個向量空間，V到自身的一個線性映射叫做V的一個線性變換.我們用L（V）表示向量空間和一切線性變換所成的集合，設定義:加法:數乘:,那么是V的一個線性變換.可以證明:和都是V的一個線性變換.令，那么對于任意和任意證明

第15頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作所以是V的一個線性變換令，那么對于任意和任意所以kσ是V的一個線性變換.第16頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作線性變換的加法滿足變換律和結合律,容易證明,對于任意,以下等式成立:(1)(2)令θ表示V到自身的零映射,稱為V的零變換,它顯然具有以下性質：對任意有：(3)設σ的負變換－σ指的是V到V的映射容易驗證，－σ也是V的線性變換，并且（4）第17頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作線性變換的數乘滿足下列算律：這里k,l是F中任意數，σ,τ是V的任意線性變換.定理7.2.1

L（V）對于加法和數乘來說作成數域F上一個向量空間.第18頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.2.2線性變換的積

設容易證明合成映射也是V上的線性變換，即我們也把合成映射叫做σ與τ的積，并且簡記作στ。除上面的性質外，還有：對于任意成立。第19頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作證明我們驗證一下等式（9）其余等式可以類似地驗證。設我們有因而（9）成立。第20頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.2.3線性變換的多項式

線性變換的乘法滿足結合律：

對于任意都有因此,我們可以合理地定義一個線性變換σ的n次冪

這里n是正整數。我們再定義這里ι表示V到V的單位映射，稱為V的單位變換。這樣一來，一個線性變換的任意非負整數冪有意義。第21頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作進一步，設是F上一個多項式，而以σ代替x，以

代替，得到V的一個線性變換這個線性變換叫做當時f(x)的值，并且記作（1）因為對于任意

我們也可將簡記作，這時可以寫第22頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作（2）帶入法：如果并且那么根據L(V)中運算所滿足的性質,我們有第23頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.3線性變換和矩陣

一、內容分布

7.3.1線性變換的矩陣

7.3.2坐標變換

7.3.3矩陣唯一確定線性變換

7.3.4線性變換在不同基下的矩陣—相似矩陣二、教學目的:

1．熟練地求出線性變換關于給定基的矩陣Ａ，以及給定n階矩陣Ａ和基，求出關于這個基矩陣為Ａ的線性變換．2．由向量α關于給定基的坐標，求出σ(α)關于這個基的坐標．3．已知線性變換關于某個基的矩陣，熟練地求出σ關于另一個基的矩陣。三、重點難點:

線性變換和矩陣之間的相互轉換,坐標變換,相似矩陣。第24頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.3.1線性變換的矩陣

現在設V是數域F上一個n維向量空間，令σ是V的一個線性變換，取定V的一個基令………第25頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作設N階矩陣A叫做線性變換σ關于基的矩陣.上面的表達常常寫出更方便的形式:(1)第26頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.3.2坐標變換設V是數域F上一個n維向量空間,是它的一個基,ξ關于這個基的坐標是而σ(ξ)的坐標是問:和

之間有什么關系?設第27頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作因為σ是線性變換，所以（2）將（1）代入（2）得第28頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作最后，等式表明，的坐標所組成的列是綜合上面所述,我們得到坐標變換公式：定理7.3.1令V是數域F上一個n維向量空間，σ是V的一個線性變換，而σ關于V的一個基

的矩陣是第29頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作如果V中向量ξ關于這個基的坐標是，而σ(ξ)的坐標是，那么第30頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作例1在空間內取從原點引出的兩個彼此正交的單位向量作為的基.令σ是將的每一向量旋轉角θ的一個旋轉.σ是的一個線性變換.我們有所以σ關于基的矩陣是設，它關于基的坐標是,而的坐標是.那么第31頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.3.3矩陣唯一確定線性變換

引理7.3.2設V是數域F上一個n維向量空間，

是V的一個基，那么對于V中任意

n個向量，有且僅有V的一個線性變換σ，使得:證

設是V中任意向量.我們如下地定義V到自身的一個映射σ：第32頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作我們證明，σ是V的一個線性變換。設那么于是設那么第33頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作這就證明了σ是V的一個線性變換。線性變換σ顯然滿足定理所要求的條件：如果τ是V的一個線性變換，且那么對于任意從而■第34頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作定理7.3.3設V是數域F上一個n維向量空間，是V的一個基，對于V的每一個線性變換σ，令σ關于基的矩陣A與它對應，這樣就得到V的全體線性變換所成的集合L（V）到F上全體n階矩陣所成的集合的一個雙射，并且如果,而，則(3)

(4)證

設線性變換σ關于基的矩陣是A。那么是的一個映射。第35頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作是F上任意一個n階矩陣。令由引理7.3.2，存在唯一的使反過來，設顯然σ關于基的矩陣就是A.這就證明了如上建立的映射是的雙射.第36頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作設我們有由于σ是線性變換,所以因此所以στ關于基的矩陣就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是顯然的。□第37頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作推論7.3.4設數域F上n維向量空間V的一個線性變換σ關于V的一個取定的基的矩陣是A，那么σ可逆必要且只要A可逆，并且關于這個基的矩陣就是.證設σ可逆。令關于所取定的基的矩陣是B。由（7），然而單位變換關于任意基的矩陣都是單位矩陣I.所以AB=I.同理BA=I.所以第38頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作注意到（5），可以看出同理所以σ有逆，而□反過來，設而A可逆。由定理7.3.3，有

于是我們需要對上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意義加以說明:

1.取定n維向量空間V的一個基之后,在映射:

之下,(作為線性空間)第39頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作研究一個抽象的線性變換σ,就可以轉化為研究一個具體的矩陣.也就是說,線性變換就是矩陣.以后,可以通過矩陣來研究線性變換,也可以通過線性變換來研究矩陣.

2.我們知道,數域F上一個n維向量空間V同構于,V上的線性變換轉化為上一個具體的變換:也就是說,線性變換都具有上述形式.第40頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.3.4線性變換在不同基下的矩陣

——相似矩陣

定義：設A，B是數域F上兩個n階矩陣.如果存在F上一個n階可逆矩陣T使等式

成立，那么就說B與A相似，記作：.n階矩陣的相似關系具有下列性質：1.自反性：每一個n階矩陣A都與它自己相似，因為2.對稱性：如果，那么；

因為由第41頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作3.傳遞性：如果且那么事實上，由得設線性變換σ關于基的矩陣是A,σ關于基的矩陣是B,由基

到基的過渡矩陣T,即:第42頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作定理7.3.4在上述假設下,有:即:線性變換在不同基下的矩陣是相似的.反過來,一對相似矩陣可以是同一個線性變換在不同基下的矩陣.證明留做練習第43頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.4不變子空間一、內容分布

7.4.1定義與基本例子

7.4.2不變子空間和線性變換的矩陣化簡

7.4.3進一步的例子二、教學目的

1．掌握不變子空間的定義及驗證一個子空間是否某線性變換的不變子空間方法．2．會求給定線性變換的一些不變子空間．三、重點難點

驗證一個子空間是否某線性變換的不變子空間、會求給定線性變換的一些不變子空間。第44頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.4.1定義與基本例子

令V是數域F上一個向量空間,σ是V的一個線性變換.定義

V的一個子空間W說是在線性變換σ之下不變,如果.如果子空間W在σ之下不變，那么W就叫做σ的一個不變子空間.注意:子空間W在線性變換σ之下不變,指,

即:并不能說:

第45頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作例1

V本身和零空間{0}顯然在任意線性變換之下不變.例2令σ是V的一個線性變換，那么σ的核Ker(σ)的像Im(σ)之下不變.例3

V的任意子空間在任意位似變換之下不變.

例4令σ是中以某一過原點的直線L為軸，旋轉一個角θ的旋轉，那么旋轉軸L是σ的一個一維不變子空間，而過原點與L垂直的平面H是σ的一個二維不變子空間.第46頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作例5令F[x]是數域F上一切一元多項式所成的向量空間，是求導數運對于每一自然數n，令表示一切次數不超過n的多項式連同零多項式所成的子空間.那么在σ不變.設W是線性變換σ的一個不變子空間.只考慮σ在W上的作用，就得到子空間E本身的一個線性變換，稱為σ在W上的限制，并且記作這樣，對于任意

然而如果那么沒有意義。第47頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.4.2不變子空間和線性變換的矩陣化簡

設V是數域F上一個n維向量空間，σ是V的一個線性變換。假設σ有一個非平凡不變子空間W，那么取W的一個基再補充成V的一個基由于W在σ之下不變，所以仍在W內，因而可以由W的基線性表示。我們有：第48頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作因此，σ關于這個基的矩陣有形狀而A中左下方的O表示一個零矩陣.這里是關于W的基的矩陣，第49頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作由此可見，如果線性變換σ有一個非平凡不變子空間，那么適當選取V的基，可以使與σ對應的矩陣中有一些元素是零。特別，如果V可以寫成兩個非平凡子空間的直和：那么選取

的一個基和的一個基

湊成V的一個基當都在σ之下不變時，容易看出，σ關于這樣選取的基的矩陣是這里是一個r階矩陣,它是關于基第50頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作一般地，如果向量空間V可以寫成s個子空間

的直和，并且每一子空間都在線性變換σ之下不變，那么在每一子空間中取一個基，湊成V的一個基，σ關于這個基的矩陣就有形狀這里關于所取的的基的矩陣.的矩陣，而是n–r階矩陣，它是關于基

的矩陣。第51頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作例6令σ是例4所給出的的線性變換.顯然是一維子空間L與二維子空間H的直和，而L與H在σ之下不變.取L的一個非零向量，取H的兩個彼此正交的單位長度向量那么是的一個基，而σ關于這個基的矩陣是第52頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.4.3進一步的例子例7如果，那么證：1.任取2.任取第53頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作例8如果，那么對任何證：，那么例9判定下列子空間在給定的σ下是否為不變子空間（1）第54頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作（2）（3）（4）解

(1)是.(2)否.(3)是.(4)否.第55頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作例10

σ是V上一個線性變換，W是生成的子空間：.則.證：

必要性：W中不變子空間，充分性：如果是包含的最小子空間，第56頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作例11設σ是V上的線性變換，α是V上的非零向量，且線性無關，但線性相關.那么是包含α的最小不變子空間.證

(1)線性表出,因此

這樣，的生成元在σ下的象全部屬于.所以是一個σ不變子空間第57頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作（2）對任何包含α的不變子空間W，

故，

即包含W的一個最小子空間.例12設是V的一給基,σ在下的矩陣為求包含的最小子空間.第58頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作解算的坐標為（用“()”表示取坐標）中線性無關第59頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作的坐標排成的行列式為：第60頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作因此是包含的最小子空間.注意到與是等價向量組，因此第61頁，課件共100頁，創作于2023年2月一.內容分布7.5.1引例

7.5.2矩陣特征值和特征向量的定義7.5.3特征值和特征向量的計算方法

7.5.4矩陣特征值和特征向量的性質小結二.教學目的1.理解特征值和特征向量的概念2.熟練掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法3.掌握特征值與特征向量的一些常用性質三.重點難點矩陣的特征值和特征向量的求法及性質第62頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.5.1引例在經濟管理的許多定量分析模型中，經常會遇到矩陣的特征值和特征向量的問題.

它們之間的關系為

寫成矩陣形式，就是是目前的工業發展水平(以某種工業發展指數為測量單位).

例發展與環境問題已成為21世紀各國政府關注和重點，為了定量分析污染與工業發展水平的關系，有人提出了以下的工業增長模型：設

是某地區目前的污染水平(以空氣或河湖水質的某種污染指數為測量單位)，

若干年后(例如5年后)的污染水平和工業發展水平分別為

和第63頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作記

，，，即(2)式可寫成

設當前的

，則

即

，由此可以預測若干年后的污染水平與工業發

展水平。由上例我們發現，矩陣A乘以向量恰好等于的4倍，倍數4及向量即是我們本節要討論的矩陣的特征值和特征向量.第64頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.5.2特征值和特征向量的定義定義1：設A是一個n階矩陣，λ是F中的一個數，如果存在V中非零向量α，使得

那么稱λ為矩陣A的一個特征值，α稱為A屬于特征值λ的特征向量.例

因

解:所以4是

的一個特征值，

是A的屬于4的特征向量.又

故

也是A的屬于4的特征向量.注1：α是A的屬于λ的特征向量，則，cα也是A的屬于λ的特征向量

第65頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作練習1(1)如果向量是矩陣的特征向量，

則k=__________(2)設，下列向量中可以成為A的

特征向量的是（）

A.

B.

C.

D.

√2(1)解：(2)解：A.B.C.D.第66頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.5.3特征值和特征向量的計算方法使λ是A的特征值

有非零解

注2：

λ是A的特征值

λ是方程

的根.α是A屬于λ的特征向量

且是

的非零解。

注3：α是A屬于λ的特征向量

是的非零解。

第67頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作定義2：

稱為A的特征多項式。

稱為A的特征方程，

稱為A的特征矩陣。

第68頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作例1設，求A的全部特征值、特征的量。

解：A的特征多項式為A的特征值為對于解由于得基礎解系A的對應于的全部特征向量為即第69頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作對于

解

即由于得基礎解系A的對應于的全部特征向量為第70頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作注4：A的特征向量有無窮多個，分為兩大類：

一類為一類為問題1：同類的兩個特征向量的線性相關性如何？問題2：不同類的任兩個特征向量的線性相關性如何？第71頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作求A的全部特征值和特征向量的方法：1.計算特征多項式

2.求特征方程

的所有根，

即得A的全部特征值

3.對于A的每一個特征值

，求相應的齊次線性方程組

（不全為零）例2：求矩陣

的特征值和特征向量。

的一個基礎解系

，則A的屬于

的全部特征向量為第72頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作解

A的特征多項式

A的特征值為

，對于

，解

得基礎解系:第73頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作A的屬于特征值1的全部特征向量為

對于

，解

得基礎解為

A的屬于特征值–1的全部特征向量為

第74頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.5.4特征向量和特征值的性質性質1

有相同的特征值

分析：要證

有相同的特征值

只須證

注意到

性質3

A的主對角線上的元素的和稱為A的跡，記作

，則

性質2A的屬于不同特征值的特征向量線性無關。第75頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作注意到（*）（**）在（*）和（**）中令λ=0第76頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作練習：求

的特征值，特征向量。

解：

A的特征多項式為所以A的特征值為

對于

，解

對于

，解

故A的屬于特征值1的全部特征向量為

故A的屬于特征值4的全部特征向量為

第77頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作小結1、定義1：設A是一個n階矩陣，λ是F中的一個數，如果存在V中非零向量α，使得

那么稱λ為矩陣A的一個特征值，α稱為A屬于特征值λ的特征向量.2、

λ是A的特征值

λ是方程

的根.3、α是A屬于λ的特征向量

是的非零解。

4、求A的全部特征值和特征向量的方法：1.計算特征多項式

2.求特征方程

的所有根，

即得A的全部特征值

3.對于A的每一個特征值

，求相應的齊次線性方程組

（不全為零）的一個基礎解系

，則A的屬于

的全部特征向量為5、3個性質。第78頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作作業：P2961、（i）（iii）思考題：矩陣A的特征值由特征向量唯一確定嗎？為什么？第79頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.6可以對角化矩陣

一、內容分布

7.6.1什么是可對角化

7.6.2本征向量的線性關系

7.6.3可對角化的判定

7.6.4矩陣對角化的方法及步驟二、教學目的1．掌握可對角化的定義與判斷．2．熟練掌握矩陣對角化的方法步驟．三、重點難點

可對角化的判斷與計算。第80頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.6.1什么是可對角化

設A是數域F上一個n階矩陣，如果存在F上一個n階逆矩陣T，使得具有對角形式（1）則說矩陣A可以對角化.我們知道,可以通過矩陣來研究線性變換,也可以通過線性變換來研究矩陣，本節更多的通過線性變換來研究矩陣.矩陣A可以對角化對應到線性變換就是:第81頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作設σ是數域F上維向量空間V的一個線性變換，如果存在V的一個基，使得σ關于這個基的矩陣具有對角形式(1),那么說，σ可以對角化.很容易證明,σ可以對角化的充分必要條件是σ有n個線性無關的本征向量.這n個線性無關的本征向量顯然構成V的基.因此，我們需要進一步研究本征向量的線性關系，需要研究在什么條件下σ有n個線性無關的本征向量.第82頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.6.2本征向量的線性關系

定理7.6.1令σ是數域F上向量空間V的一個線性變換.如果分別是σ的屬于互不相同的特征根的特征向量，那么線性無關.證我們對n用數學歸納法來證明這個定理當n=1時，定理成立。因為本征向量不等于零。設n>1并且假設對于n－1來說定理成立。現在設是σ的兩兩不同的本征值，是屬于本征值的本征向量：第83頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作如果等式成立，那么以乘（3）的兩端得另一方面，對（3）式兩端施行線性變換σ，注意到等式（2），我們有（5）式減（4）式得根據歸納法假設，線性無關，所以第84頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作但兩兩不同，所以代入（3），因為所以這就證明了

線性無關。□推論7.6.2設σ是數域F上向量空間V的一個線性變換，是σ的互不相同的本征值。又設

是屬于本征值的線性無關的本征向量,

那么向量線性無關.證

先注意這樣一個事實：σ的屬于同一本征值λ的本征向量的非零線性組合仍是σ的屬于λ的一個本征向量。第85頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作由上面所說的事實，如果某一，則是σ的屬于本征值的本征向量。因為互不相同，所以由定理7.6.1，必須所有

即令則現在設存在F中的數使得第86頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作然而線性無關，所以即線性無關。□第87頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作7.6.3可對角化的判定定理7.6.3令σ是數域F上n維向量空間V的一個線性變換，如果σ的特征多項式在F內有n個單根，那么存在V的一個基，使σ就關于這個基的矩陣是對角形式.證

這時σ的特征多項式在F[x]內可以分解為線性因式的乘積：且兩兩不同。對于每一個選取一個本征向量由定理7.6.1,線性無關，因而構成V的一個基,σ關于這個基的矩陣是第88頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作將上面的定理轉化成矩陣的語言,就是:

定理7.6.4令A是數域F上一個n階矩陣，如果A的特征多項式在F內有n個單根，那么存在一個n階可逆矩陣T，使第89頁，課件共100頁，創作于2023年2月寧波工程學院理學院《高等代數》課程組制作注意：推論7.6.4的條件只是一個n階矩陣可以對角化的充分條件，但不是必要條件。下面將給出一個n階矩陣對角