第十二章全等三角形12.3角的平分線的性質(zhì)第1課時角的平分線的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)-新課導(dǎo)入-新知探究-課堂小結(jié)-課堂訓(xùn)練

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用尺規(guī)作圖法作一個角的平分線，知道作法的理論依據(jù).（重點）2.探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.（難點）3.能運用角平分線的性質(zhì)解決簡單的幾何問題.（重點）4.初步體驗如何將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言.

新課導(dǎo)入復(fù)習(xí)引入1.什么是點到直線的距離？直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離.如圖，

就是點O到直線AB的距離.OABCOC的長

新課導(dǎo)入復(fù)習(xí)引入2.角平分線的概念是什么？一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.OABC如圖，OC是∠AOB的平分線.∠AOC=∠BOC=∠AOB.

新課導(dǎo)入復(fù)習(xí)引入3.什么叫做三角形的角平分線？在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線.如圖，AD就是△ABC的角平分線.

新課導(dǎo)入復(fù)習(xí)引入4.在紙上畫一個角，怎樣能得到這個角的平分線？

方法一：用量角器度量；方法二：將角對折，．你還有其他的方法嗎？

新知探究

思考

如圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個角的平分線.你能說明它的道理嗎？根據(jù)SSS可證△ADC≌△ABC.∵全等三角形的對應(yīng)角相等，∴∠DAC=∠BAC.∵點C在射線AE上，∴AE是這個角的平分線.

ADBCE

知識點1尺規(guī)作角平分線

新知探究根據(jù)平分角的儀器的原理，你能用圓規(guī)和直尺畫出已知角的平分線嗎？提示：(1)在平分角的儀器中，AD=AB，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？(2)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？

知識點1尺規(guī)作角平分線ADBCE

新知探究已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.作法：（1）以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.ABMNCO（3）畫射線OC.射線OC即為所求.

知識點1尺規(guī)作角平分線（2）分別以點M，N為圓心，大于

MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,一定要掌握!

新知探究（1）以“適當(dāng)?shù)拈L為半徑”是為了方便畫圖，不能太長，也不能太短.（2）“以大于MN的長為半徑畫弧”是因為小于MN的長為半徑畫弧時兩弧沒有交點，等于MN的長為半徑畫弧時不容易操作.

（3）應(yīng)該在角的內(nèi)部找所作兩弧的交點，因為所作的射線為角的平分線，而角的平分線應(yīng)該在角的內(nèi)部.（4）“畫射線OC”不能說成“連接OC”，因為連接OC得到的是線段，而角的平分線是一條射線.

知識點1尺規(guī)作角平分線

新知探究

知識點2角的平分線的性質(zhì)經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)，PD=PE.

思考(1)如圖，任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點P，過點P畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測量PD，PE并作比較，你得到什么結(jié)論？猜想

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.BADOPEC(2)在OC上再取幾個點試一試.仍能得到同樣的結(jié)論.

新知探究如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，

∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，

OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE.

驗證猜想

BADOPEC

知識點2角的平分線的性質(zhì)

新知探究一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.

知識點2角的平分線的性質(zhì)

新知探究角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.該性質(zhì)定理的幾何語言：∵OC是∠AOB的平分線，

點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB，∴PD=PE.BADOPEC

知識點2角的平分線的性質(zhì)角平分線上的點P到OA的距離P到OB的距離

新知探究（1）該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再證三角形.（2）使用該性質(zhì)定理的前提條件是圖中有平分線，點在該平分線上，有垂直，三者缺一不可.

知識點2角的平分線的性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練

新知探究1.判斷下列結(jié)論是否成立，不成立的請說明原因.①如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，D，E分別為OA、OB上的點，則PD=PE.（

）因為PD不垂直O(jiān)A，PE不垂直O(jiān)B，即PD，PE不是角平分線上的點到角兩邊的距離.不成立OBACPDE跟蹤訓(xùn)練

新知探究②如圖，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE.（

）

OBACPDE┐┐不成立因為OC不是∠AOB的平分線.跟蹤訓(xùn)練

新知探究③如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA，垂足為D.若PD=3，則點P到OB的距離為3.（

）

OBACPD┐成立跟蹤訓(xùn)練

新知探究2.如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D,E，PD=4cm，則PE=______cm.

4MBACPD┐┐E存在兩條垂線段，可直接應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理跟蹤訓(xùn)練

新知探究3.（2021?福建改編）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝2，則點D到AC的距離是

．

2存在一條垂線段，則過角平分線上一點向另一邊構(gòu)造垂線段

課堂小結(jié)角平分線的性質(zhì)尺規(guī)作角平分線內(nèi)容屬于基本作圖，必須熟練掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.常見輔助線的添加性質(zhì)定理過角平分線上一點向兩邊作垂線段證明幾何命題

課堂訓(xùn)練1.如圖，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=ODBBADOPC

課堂訓(xùn)練2.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA

課堂訓(xùn)練3.（2021?青海）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（）A．8

B．7.5

C．15

D．無法確定EB【解析】如圖，過點D作DE⊥BC于點E.又BD平分∠ABC，∠A＝90°，∴DE＝AD＝3，∴△BCD的面積＝

×5×3＝7.5．故選B．

課堂訓(xùn)練4.（2021?長沙）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，若BC＝4，DE＝1.6，則BD的長為

．

【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案為2.4.

課堂訓(xùn)練5.如圖,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,E、D為垂足，CF=CB.求證:BE=FD.證明：∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,∴CD=CE,在Rt△CBE和Rt△CFD中,CB=CF，

CE=CD，

∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL).∴BE=FD.

課堂訓(xùn)練6.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，若AB=8cm，求△DEB的周長.解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD，

DC=DE，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE.∵AC=BC，∴AE=BC，

∴△DEB的周長=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=8cm.找出題中的相等線段進行等量代換是解題的關(guān)鍵.

課堂訓(xùn)練7.如圖,CD是△ABC的角平分線,DE⊥BC,垂足為E,AC=4,BC=10,S△ABC=14,求DE的長.解:如圖，過點D作DF⊥AC，交AC的延長線于點F.F又CD是△ABC的角平分線,DE⊥BC,∴DE=DF.∵S△BCD+S△ACD=S△ABC,∴BC×DE+AC×DF=14，∴×10×DE+×4×DE=14,即5DE+2DE=14,解得DE=2.

課堂訓(xùn)練8.求證：三角形的一邊的兩端點到這條邊上的中線所在的直線的距離相等.已知:如圖，AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于點F，BE⊥AD交AD的延長線于點E.求證：BE=CF.證明：∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD.∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠BED=∠CFD=