微分幾何一、教學要求48學時，共3學分，教學周2~13周，15周考試。成績認定：平時成績50%，期末試卷50%。期末考試，閉卷，考核基本知識和基本技能90%~95%，其他10%~5%。考勤占總評成績的3%即3分：簽名考勤表，要與班上學委或信息員記載信息一致或者測驗時，收作業時，或者點名時候都可以作為考勤記錄；作業等占總評成績24%，即24分::合計10節,少1節扣2分.作業：抄襲、字跡不清楚、題量沒有按規定去完成酌情扣分。對于題目做的正確還是錯誤屬于正常現象不扣分。隨堂測驗占總評成績的15%，即15分，至少3次.課堂5分鐘分組報告占總評成績的3%，即3分：由學委或指定學生負責分組，上報名單。各組長把握好時間和內容。在每次課的第2小節開始5分鐘進行。由現場匿名打分，取平均分，交由任課老師。隨堂提問或課堂討論或做題告占總評成績的5%，即5分；沒有叫到的不扣分。使用教材微分幾何配套習題集梅向明編著第四版微分幾何講義作者：丘成桐，孫理察

出版社：高等教育出版社

出版日期：2004-12

ISBN：9787040161427

版次：1頁數：478字數：490開本：16開

包裝：平裝內容簡介本書是在作者一系列演講的講稿基礎上整理而成的，已成為整體微分幾何方面的一本經典著作。它以拓撲、代數幾何為基礎，以分析為主要工具，論述了幾何學中的某些線性和非線性問題。本書內容包括：比較定理與梯度估計、負曲率流形上的調和函數、Reimann流形上的特征值問題、ReImann流形上的熱核、純量曲率的共形形變、局部共形平坦流形等。書中還包括了丘成桐教授撰寫的幾何中的非線性分析、幾何中未解決的問題、幾何學未來的發展、幾何與分析回顧、復幾何的歷史及前景等綜合性論述與演講辭，宏觀和精辟地描述了幾何學中的重要問題，展示了該學科的歷史和未來發展前景。本書可供高等院校數學系高年級學生、研究生作教學用書，也可供現代幾何和分析方面的教師及研究人員參考。課程介紹微分幾何歷史簡介

微分幾何是數學的一個重要分支，它滲透到各數學分支和理論物理等學科，成為推動這些理論發展的一項重要工具。經典的微分幾何研究三維歐氏空間的曲線和曲面在一點鄰近的性質，在微積分發明的同時，就開始了平面曲線微分幾何的研究，而第一個作出重要貢獻的是Euler(1707~1783).他在1736年引進了平面曲線的內在坐標，即曲線弧長這一概念，從而開始了內在幾何的研究。將曲率描述為某一特殊角的變化率也是Euler的工作。他在曲面論方面也有重要貢獻，特別值得一提的是他在測地線方面的一些工作，最早把測地線描述為某些微分方程組的解。

又在物理問題的推動下，1736年他證明了：在無外力作用的情況下，一個質點如約束在一曲面上運動，它必定是沿測地線運動。另一個歷史人物是G.Monge(1746~1818)，在筑城壘這個實際問題的推動下，他1771年開始寫了關于空間曲線論的論文，發表于1785年，他用的是幾何方法，并反映了他對偏微分方程的興趣。Monge寫了第一本微分幾何課本，1807年出版，這課本共印了五版，一直發行到Monge逝世后三十年，足見該書在當時的重要作用。F.Frenet(1816~1868)與J.Serret(1819~1885)分別于1847年和1851年獨立地得出現在通稱的Frenet-Serret方程（或Frenet方程）后，空間曲線論才最后統一起來。

G.F.Gauss（1777~1855）的貢獻見于1827年他的“彎曲曲面的一般研究”一文。他在微分幾何方面的重要貢獻，不僅在于他證明了許多驚人的新結果，更重要的是他致力于微分幾何全新的探討，具有非凡的洞察力，抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內容。在微分幾何發展經歷了150年歷史之久，Gauss建立了由第一基本形式所決定的曲面的內在幾何，這是有深遠的意義的。Gauss的內在幾何以驚人的步伐將微分幾何向前推進，但那時并未被人們所認識。直到R.Riemann（1826~1866）才進一步發展了Gauss的內在幾何學，1854年他在哥丁根大學就職演講中深刻地揭示了空間與幾何兩者之間的差別。Riemann將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是僅僅把它看作歐氏空間中的一個幾何實體，從而他認識到二次

微分形式（現稱為黎曼測度）是加到流形上去的一個結構，因此在同一流形上可以有眾多的黎曼測度。Riemann意識到這件事是非凡的重要，把誘導測度與外加的黎曼測度兩者區分開來，從而開創了黎曼幾何，作出了杰出的貢獻。其后，Levi-Civita等人進一步豐富了經典的黎曼幾何。二十世紀二、三十年代E.Cartan開創并發展了外微分形式與活動標架法，建立起李群與微分幾何之間的聯系，從而為微分幾何的發展奠定了重要基礎且開辟了廣闊的園地，影響極為深遠。從局部微分幾何到黎曼幾何、微分流形與纖維從理論的發展過程可以看到，除了微分幾何本身研究中所產生的研究問題外，其他數學學科及物理學、力學等也推動了微分幾何的發展。我們特別在這里強調一下理論物理與微分幾何的相互影響，黎曼幾何與廣義相對論的相互推進，既發展了引力理論，也促使微分幾何本身進一步發展。近年來，整體黎曼流形的研究也被用到引力理論的研究中去。隨著高能物理學的發展，規范場的重要性日益顯著，纖維叢幾何是規范場研究的一項有力的數學工具，微分幾何中一些深入的內容如陳省身示性類、Atiyah—Singer指標定理等都在研究中起了突出的作用。總之，微分幾何在理論物理中的作用愈來愈顯示出其重要意義，這是一個值得注意的動向，它進一步推進微分幾何的向前發展。

有個這樣的比喻，如果我們把幾何空間的推廣和人類穿衣服的過程相對照，那么一開始的歐幾里得幾何，便好比人在原始社會中沒有穿衣服，是裸體的；然后笛卡兒把坐標的概念加入了“赤裸”的空間，就好比人類開始穿衣服；而到了流形的階段，就好比現代人，不只穿一件衣服，還要常常換。也許有些人不太能接受這樣“奇裝異服”式的換坐標，但是沒有關系，愛因斯坦花了七年的時間，才終于接受坐標可以轉換的概念，而能從狹義相對論進展到廣義相對論。空間中有不同的坐標系，那么麻煩就來了，因為幾何的性質是和坐標系的選取有關，不過不要緊，只要能控制坐標變換的性質，使在變換前即有的性質，經過變換之后仍為我們所控制，那么換坐標就沒關系了，這也正是近代幾何學比較困難的地方。隨著拓樸學(topology)的發展，纖維叢(vectorbundles)，示性類（CharacteristicClass）等新概念的出現，微分幾何又得到了迅猛發展，到了整體微分幾何的時代。這期間，我國著名數學家陳省身先生的工作可以說是具有劃時代的意義。直到今天，微分幾何的進展依然離不開這些新興數學概念的拓展與應用。在現代物理（從量子力學到量子場論與量子統計）中。物理體系整體大范圍性質愈演愈突出，局域性質也往往與整體性質有關，受整體性質的約束，近年來。量子場論由定域局部微擾向整體大范圍非線性深入發展，使得微分幾何這一數學武器愈來愈重要。微分幾何中聯絡、曲率、示性類等概念滲透到現代理論物理的各方面，而不是只限于引力理論，電磁規范理論、及其推廣Yang-Mills場論。現代物理學家需要利用微分幾何，尤其是大范圍微分幾何的成就來推動物理學的發展，大范圍微分幾何中一些成就，例如Atiyah-Singer指標定理，將場論的解析性質與場位型的拓撲性質聯系起來，在現代量子場論與量子統計中得到重要應用，各方面各種物理模型，例如超對稱場論模型也驗證了Atiyah-Singer指標定理的正確性。這些都說明現代物理學與現代微分幾何學的緊密關系。

微分幾何未來的發展，引用當代微分幾何大師陳省身先生的一段話作為這個問題的回答他說：“講到微分幾何的未來，當然預測是很困難的。19世紀的深刻的結果多半是單元的。本世紀內高維流形的發展史是輝煌的。但整個寶藏發掘還未十一，可以發展的方向多不勝數。數學的前途無量是可以預卜的。”課程的主要內容

本課程主要講授三維空間中經典的曲線和曲面的局部理論，（1）曲線論。包括曲線的弧長，曲線的曲率和Frenet標架，撓率與Frenet公式，曲線論基本定理，曲線在一點處的標準展開，平面曲線。（2）曲面論。包括切平面與法線，曲面的第一基本形式，曲面上正交參數網的存在性，保長對應，保角對應，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射與Weingarten映射，主曲率和主方向的計算，Dupin標形和曲面在一點的標準展開，某些特殊曲面，曲面論基本定理。（3）曲面的內蘊幾何，包括測地曲率和測地撓率，測地線，測地坐標系，常曲率曲面，Gauss-Bonnet公式。

課程的教學目的和要求微分幾何是用微積分和線性代數的方法研究空間曲線和曲面的形狀，找出決定曲線和曲面形狀的不變量系統。微分幾何課程是高等院校數學與應用數學專業的必修課。通過這門課程的學習，使學生