事件的相互獨立性、概率與頻率1事件的相互獨立性①獨立事件對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則我們稱事件A與事件B相互獨立，簡稱獨立.②n個事件獨立n個事件A1,A2頻率與概率(1)頻率的穩定性一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離的概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性.因此，我們可以用頻率fn案例我扔骰子前3次都是6，那第4次投出骰子是6的可能性有多大呢？理性分析，應該是16，因為第4次投骰子的概率與前三次無關；那假如我扔骰子前300次都是6，那第301次是6的可能性又有多大呢？此時，頻率的穩定性會告訴你第301案例估值π值.(可百度下“用概率計算圓周率π”)(2)隨機模擬蒙特卡洛方法：利用隨機模擬解決問題的方法.【題型一】概率與頻率【典題1】下列說法中，正確的是A．概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值 B．做n次隨機試驗，事件發生m次，則事件發生的頻率mn就是事件的概率C．頻率是不能脫離n次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數的理論值D．任意事件A發生的概率P(A)總滿足0<PA【解析】根據題意，依次分析選項：對于A，由概率與頻率的關系，A正確；對于B，概率是頻率的穩定值，B錯誤；對于C，由概率與頻率的關系，C正確；對于D，任意事件A發生的概率率P(A)總滿足0≤PA≤1，故選：AC．【點撥】正確理解概率與頻率之間的關系.【題型二】獨立事件【典題1】已知事件A,B，且P(A)=0.4，P(B)=0.2，則下列結論正確的是A.如果B?A，那么PA?B=0.4B．如果A與B互斥，那么P(A?B)=0.6，PABC．如果A與B相互獨立，那么P(A?B)=0.6，PABD．如果A與B相互獨立，那么PAB【解析】事件A，，且P(A)=0.4，P(B)=0.2對于A，若，則PA?B=P(A)=0.4，PAB=P對于，若A與B互斥，則PA?B=PA+PB對于C，若A與B相互獨立，則PABPA?B=PA對于D，若A與B相互獨立，則PAPAB=故選：ABD【點撥】可借助venn圖理解事件之間包含、和事件與積事件；事件的互斥與事件的獨立要作好區別：事件A、B互斥，說明兩個事件不可能同時發生；而事件【典題2】三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為12，3【解析】記T1正常工作為事件A，T2正常工作為事件B，記則P(A)=1電路不發生故障，即T1正常工作且TT2、T3不發生故障即(淘汰法)所以整個電路不發生故障的概率為P=P(A)×P故答案為：15【點撥】遇到“至少”“至多”之類的字眼，可考慮用淘汰法.【典題3】校運動會招聘志愿者，甲、乙、丙三名大學生躍躍欲試，已知甲能被錄用的概率是23，甲、乙兩人都不能被錄用的概率為112，丙、乙兩人都能被錄用的概率為(1)求乙、丙兩人各自能被錄用的概率；(2)求甲、乙、丙三人至少有兩人能被錄用的概率．【解析】(1)設乙、丙能被錄用的概率分別為x，y，則(1?23∴乙、丙能被錄用的概率分別為34，12(2)設甲、乙、丙能被錄用的事件分別為A、B、C，則P(A)=23，P(B)=3且A、B、C相互獨立，三人至少有兩人能被錄用包括ABC、ABC、ABC、AB則其概率為PABC+A【典題4】某景區內有10個景點，其平面圖如圖所示，當t=0時甲在A地，乙在B地，若每經過一個單位時間，他們都將隨機走向與之相鄰的任意一個景區，記某時刻甲、乙出現在同一景區的概率為P(t)，則P(2)=；P(3)=【解析】給每個景區編號，記t時刻，第k(k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)則(k,tffffffffff(∵圖象對稱，∴P(2)=2×P(3)=2×6故答案為：349鞏固練習1(★)下列說法正確的是A．任何事件的概率總是在之間 B．頻率是客觀存在的，與試驗次數無關 C．隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率 D．概率是隨機的，在試驗前不能確定【答案】C【解析】由于必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故不正確．頻率的數值是通過實驗完成的，頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值，故、不正確．頻率是不能脫離次試驗的實驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數的理論值，隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率，故正確．故選：．2(★)氣象臺預報“茂名市明天降雨的概率是”，下列理解正確的是A．茂名市明天將有的地區降雨 B．茂名市明天將有的時間降雨 C．明天出行不帶雨具肯定要淋雨 D．明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大【答案】D【解析】茂名市明天降雨的概率是的含義是：茂名市明天降雨的可能性達，正確．故選：．3(★)下列說法正確的是①頻數和頻率都能反映一個對象在試驗總次數中出現的頻繁程度；②每個試驗結果出現的頻數之和等于試驗的總次數；③每個試驗結果出現的頻率之和不一定等于1；④概率就是頻率．A．① B．①②④ C．①② D．③④【答案】C【解析】在第四個說法中，概率就是頻率是錯誤的，故答案中只要包含④就是錯誤的，故只有，不包含④，而和的區別在于②對不對，每個試驗結果出現的頻數之和等于試驗的總次數，這個說法是正確的，故選：．4(★)拋擲兩枚硬幣，若記出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯誤的是A． B． C． D．【答案】A【解析】拋擲兩枚硬幣，記出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則，，，，故錯誤；，故正確；，故正確；，故正確．故選：．5(★★)(多選題)已知事件，相互獨立，且(A)，(B)，則A． B． C． D．【答案】AC【解析】事件，相互獨立，且(A)，(B)，對于，(A)，故正確；對于，(A)，故錯誤；對于，(A)(B)，故正確；對于，，故錯誤．故選：．6(★★)(多選題)甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，若甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則下列結論正確的為A．兩人都中靶的概率為0.72 B．恰好有一人中靶的概率為0.18C．兩人都脫靶的概率為0.14D．恰好有一人脫靶的概率為0.26【答案】AD【解析】甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，設事件表示“甲中靶”，事件表示“乙中靶”，則(A)，(B)，對于，兩人都中靶的概率為(A)(B)，故正確；對于，恰好有一人中靶的概率為：，故錯誤；對于，兩人都脫靶的概率為：，故錯誤；對于，恰好有一人中靶的概率為：，故正確．故選：．7.(★)打靶時，每打10次可中靶8次，每打10次可中靶7次，若2人同時射擊一個目標，則它們都中靶的概率是．【答案】14【解析】每打10次可中靶8次，每打10次可中靶7次中靶的概率是，中靶的概率是，和是否中靶是相互獨立的，根據相互獨立事件同時發生的概率得到它們都中靶的概率是，8.(★★)從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車從甲地到乙地，恰好遇到2個紅燈的概率為．【答案】1【解析】從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車從甲地到乙地，恰好遇到2個紅燈的概率為：．9(★★)甲、乙、丙三人射擊同一目標，命中目標的概率分別為12，13，【答案】【解析】目標被擊中的概率等于1減去甲、乙、丙三人都沒有擊中目標的概率，故目標被擊中的概率是1－(1?12)(1?1故答案為：3410(★★)排球比賽的規則是5局3勝制(無平局)，甲在每局比賽獲勝的概率都相等為23，前2局中乙隊以2：0領先，則最后乙隊獲勝的概率是【答案】【解析】∵排球比賽的規則是5局3勝制(無平局)，甲在每局比賽獲勝的概率都相等為23前2局中乙隊以2：0領先，∴最后乙隊獲勝的概率：p=111(★★)如圖，元件，2，3，通過電流的概率均為0.9，且各元件是否通過電流相互獨立，則電流能在，之間通過的概率是．【答案】0.8829【解析】電流能通過、，的概率為，電流能通過的概率為0.9，故電流不能通過、，且也不能通過的概率為，故電流能通過系統、、的概率為，而電流能通過的概率為0.9，故電流能在，之間通過的概率是，12(★★)某中學根據學生的興趣愛好，分別創建了“書法”、“詩詞”、“理學”三個社團，據資料統計新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立．2015年某新生入學，假設他通過考核選拔進入該校的“書法”、“詩詞”、“理學”三個社團的概率依次為m、13、n，已知三個社團他都能進入的概率為124，至少進入一個社團的概率為34(l)求m與n的值；(2)該校根據三個社團活動安排情況，對進入“書法”社的同學