2022-2023學年福建省漳州市高一下學期期中考試數學試題一、單選題1．若復數的實部與虛部之和為0，則b的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據題意列方程求解即可.【詳解】由復數的實部與虛部之和為0，得，即．故選：A2．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩角和的正弦公式，即可求出結果.【詳解】由兩角和的正弦公式，可知.故選：A.3．如圖，菱形ABCD中，下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據相等向量的定義、向量的加、減法法則和向量的幾何意義，結合菱形依次判斷選項即可.【詳解】A：由圖形可知，，故A錯誤；B：由平面向量的減法法則可知，，故B錯誤；C：由平面向量的加、減法法則可知，，，又菱形的對角線互相垂直，所以，即，故C正確；D：根據選項C的分析可知，，，在菱形中，，所以，故D錯誤.故選：C.4．已知角頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊過點，將的終邊逆時針旋轉，這時終邊所對應的角是，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根據已知條件求解出的值，然后根據之間的關系結合誘導公式求解出的值.【詳解】因為，且，所以，故選：B.【點睛】結論點睛：三角函數定義有如下推廣：設點為角終邊上任意一點且不與原點重合，，則.5．在中，，，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】根據已知條件計算出的值，然后根據兩角差的正切公式結合的值計算出的值.【詳解】因為且，所以，所以，所以，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是根據特殊角的余弦值求出其正切值以及兩角差的正切公式的熟練運用.6．在中，角，，的對邊分別為，，若，，，則的面積（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函數基本關系式可求的值，根據三角形的面積公式即可計算得解．【詳解】解：，，由正弦定理可得，，，的面積．故選：A．7．黃金分割蘊藏著豐富的數學知識和美學價值，被廣泛運用于藝術創作、工藝設計等領域，黃金分割的比值為無理數該值恰好等于，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，利用二倍角的余弦公式，計算的值．【詳解】由題意，，，故選：C．8．記的內角，，的對邊分別為，，，且，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用數量積的定義與正弦定理可得，再利用兩角和與差的正弦公式以及三角函數的有界性求解即可.【詳解】的內角，，的對邊分別為，，，且，，，由正弦定理可得，所以，由可得，當且僅當，即時等號成立，所以.故選：D.二、多選題9．將函數的圖象先向左平移個單位，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，得到的函數圖象關系式可以為（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據三角函數圖象變換以及誘導公式可得出所求函數的解析式.【詳解】將函數的圖象先向左平移個單位，可得到函數的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，可得到函數的圖象，且，故選：BD.10．以下說法正確的是（

）A．若，則或B．若，則向量，的夾角為鈍角C．已知，，則向量在向量上的投影向量的坐標為D．設，是同一平面內兩個不共線的向量，則，可作為該平面的一個基底【答案】CD【分析】根據向量數量積的定義和性質判斷AB，根據投影向量公式判斷C；判斷是否共線，即可判斷D.【詳解】A.若，則或或，故A錯誤；B.若，則向量，的夾角為鈍角或，故B錯誤；C.向量在向量上的投影向量的坐標為，故C正確；D.不存在使，所以向量不共線，那么可作為該平面的一個基底，故D正確.故選：CD11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結論正確的是（

）A． B．△ABC是鈍角三角形C．若，則△ABC內切圓半徑為4 D．若，則△ABC外接圓半徑為13【答案】ACD【分析】對于A，由正弦定理判斷，對于B，利用余弦定理判斷，對于C，利用等面積法求解，對于D，利用正弦定理求解【詳解】對于A，因為，所以由正弦定理得，所以A正確，對于B，由，設，則，因為，所以，所以△ABC為直角三角形，所以B錯誤，對于C，當時，，由選項B可知△ABC為直角三角形，設△ABC內切圓半徑為，則，所以，解得，所以△ABC內切圓半徑為4，所以C正確，對于D，當時，，由選項B可知△ABC為直角三角形，設△ABC外接圓半徑為，則由正弦定理得，，解得，所以△ABC外接圓半徑為13，所以D正確，故選：ACD12．氣候變化是人類面臨的全球性問題，隨著各國二氧化碳排放，溫室氣體猛增，對生命系統形成威脅，我國積極參與全球氣候治理，加速全社會綠色低碳轉型，力爭2030年前實現碳達峰，2060年前實現碳中和目標，某校高一數學研究性學習小組同學研究課題是“碳排放與氣候變化問題”，研究小組觀察記錄某天從6時到14時的溫度變化，其變化曲線近似滿足函數，，以下說法正確的是（

）

A．B．函數的最小正周期為C．，D．若是偶函數，則的最小值為2【答案】ACD【分析】根據圖象的最大值和最小值求，再根據對稱軸間的距離求周期和，再將點代入解析式中可求出的值，從而可求得函數解析式，然后逐個分析判斷.【詳解】根據題圖可知得所以．根據題圖可知，，B錯誤．，，，即．又，所以，所以，解得，A正確．，，所以，C正確．因為是偶函數，所以，，得，，所以當時，取最小值，為2，D正確．故選：ACD．三、填空題13．若復數為實數，則的值為.【答案】【分析】根據復數的概念可得出關于實數的等式，解之即可.【詳解】因為為實數，則，解得.故答案為：.14．若，是夾角為60°的兩個單位向量，，則.【答案】【分析】根據數量積的定義求出，再根據及數量積的運算律計算可得；【詳解】解：因為，是夾角為60°的兩個單位向量，所以，，所以.故答案為：四、雙空題15．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且外接圓的面積為，請寫出一組滿足上述條件的邊和角：，．【答案】（答案不唯一）【分析】根據給定條件，求出的外接圓半徑，再利用正弦定理求出即可求解作答.【詳解】依題意，的外接圓半徑，由正弦定理得，即，又，取，則.故答案為：；16．已知函數，當時，的最小值為；若的最大值為2，則的值為.【答案】【分析】第一空換元法即可求出函數的最值；第二空換元后根據動軸定區間進行分類討論即可求出結果.【詳解】因為，令，則，當時，，因此當時，，由于開口向上，對稱軸為，若，即，此時，則；若，即，此時，則；綜上：，故答案為：；.五、解答題17．當實數取什么值時，復平面內表示復數的點分別滿足下列條件(1)位于第二象限；(2)位于直線上，并求.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出復數在復平面內對應的點的坐標，根據點在第二象限可得出關于實數的不等式組，即可解得實數的取值范圍；（2）將復數在復平面對應的點的坐標代入直線的方程，求出的值，可得出的值，利用復數的模長公式可求得的值.【詳解】（1）解：因為為實數，復數在復平面內對應的點的坐標為，若復數在復平面內對應的點位于第二象限，則，解得.（2）解：由題意可知點在直線上，則，解得或，當時，，此時；當時，，此時.綜上所述，當時，；當時，.18．記△ABC得內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知sinA=3sinB，C=，c=.(1)求a；(2)求sinA.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，結合余弦定理得出；（2）由正弦定理得出.【詳解】（1）因為sinA=3sinB，所以，由余弦定理可得，所以（2）由可得，19．如圖，，，點M關于點A的對稱點為S，點S關于點B的對稱點為N.(1)用，表示向量；(2)若，，且點C為線段AB的中點，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）（1）根據連接AB，根據AB是△SMN的中位線，結合向量的運算求解即可;（2）以，為基底向量表示，再結合數量積的運算法則求解即可（2）如圖，連接AB，由對稱性，可知AB是△SMN的中位線，∴，∴，∴.（2）由（1）知，，當點C為線段AB的中點，，又，，∴..20．已知函數.(1)求函數的最小正周期；(2)求不等式在上的解集.【答案】(1)最小正周期為(2)【分析】（1）化簡解析式，由求得的最小正周期.（2）由得，解三角不等式求得不等式在上的解集.【詳解】（1）.所以函數的最小正周期為.（2）由（1）可知，，即，可得，即當時，，當時，，綜上所述，不等式在上的解集為.21．如圖1魚牙齒呈三角形，牙根處有凹陷.為測鯊魚牙齒面積，把鯊魚牙齒視為如圖2模型，測得，，.(1)若，，求平面凹四邊形ABCD面積；(2)若，求平面凹四邊形ABCD面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）連接AC，在ABC中，利用余弦定理求得AC，在ACD中，求得，再利用面積公式，由求解.（2）在ACD中，利用余弦定理結合基本不等式，得到，再由求解.【詳解】（1）解：如圖，連接AC，ABC中，，，，由余弦定理可得，.ACD中，，，，由余弦定理可得，，∴，∴，又，∴.（2）由（1）知.ACD中，，，即，∴，，平面凹四邊形ABCD面積的最小值為.當且僅當時等號成立.22．摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，某摩天輪最高點距離地面100，最低點距離地面10，摩天輪上均勻設置了依次標號為1~36號的36個座艙.開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，開始轉動t后距離地面的高度為H，轉一周需要30.(1)求在轉動一周的過程中，關于的函數解析式；(2)若甲、乙兩人分別坐在1號和7號座艙里，在轉動一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關于的函數解析式，并求高度差的最大值.【答案】(1)(2)最大高度差45m.【分析】(1)利用正弦函數的圖象性質求解；(2)利用三角恒等變換公