結構動力學結構動力學1第1章緒論第1章緒論2振動引起的結構破壞——Tacoma橋振動引起的結構破壞——Tacoma橋31.1基本概念1、結構動力學固體力學靜力學動力學剛體變形體結構力學材料力學彈性力學理論力學剛體變形體剛體動力學結構動力學彈性動力學1.1基本概念1、結構動力學固體力學靜力學動力學剛體變形體42、動力自由度自由度靜力自由度動力自由度剛體變形體約束質量例1：分布質量簡支梁——無限自由度一階振型二階振型三階振型2、動力自由度自由度靜力自由度動力自由度剛體變形體約束質量例5四階振型五階振型例2：集中質量簡支梁——有限自由度1、單自由度系統2、二自由度系統一階振型四階振型五階振型例2：集中質量簡支梁——有限自由度1、單自由6一階振型二階振型3、三自由度二階振型三階振型一階振型一階振型二階振型3、三自由度二階振型三階振型一階振型73、結構動力學的兩類問題（1）正問題荷載結構響應（2）反問題（動力學反演）響應結構荷載已知已知+荷載結構已知已知+已知或未知+1.2研究對象1、結構——彈性恢復力fk(x)2、外力——時變特性fp(t)3、結構動力學的兩類問題（1）正問題荷載結構響應（2）反81.3研究內容1、結構動力特性——固有頻率、振型、阻尼2、結構響應——位移、速度、加速度1.4研究方法1、時域法——解析法、逐步積分法線性、非線性問題2、頻域法——譜分析法線性問題3、概率法——統計方法線性、非線性問題1.3研究內容1、結構動力特性——固有頻率、振型、阻尼2、9第2章單自由度系統第2章單自由度系統10圖2.2電視塔圖2.1水塔圖2.3導管架平臺圖2.4單層廠房圖2.2電視塔圖2.1水塔圖2.3導管架平臺圖2112.1無阻尼系統模型圖2.1典型的單自由度無阻尼系統動力學模型mkxmkxm

kxmθmg2.1.1系統力學模型——彈簧質量系統1、系統組成慣性元件（質量m）——運動物體彈性元件（剛度k）——提供恢復力2.1無阻尼系統模型圖2.1典型的單自由度無阻尼系統動122、系統特點①慣性元件為質點②彈性元件為無質量彈簧③不計次要自由度2.1.2系統數學模型——二階常系數線性微分方程mkxf(t)mgmkxf(t)2.1.3系統動力特性設：——齊次方程2、系統特點①慣性元件為質點②彈性元件為無質量彈簧③不計次要13代入得：解得：——系統固有頻率——系統固有周期2.1.4固有頻率計算1、直接法代入得：解得：——系統固有頻率——系統固有周期2.1.4固14ml(1)簡支梁固有頻率計算(2)懸臂梁固有頻率計算①彎曲變形ml(1)簡支梁固有頻率計算(2)懸臂梁固有頻率計算①彎曲變15②剪切變形(3)擺mθmgl小變形時則：②剪切變形(3)擺mθmgl小變形時則：16θmgamk1k2m(5)組合問題①彈簧串聯(4)倒擺θmgamk1k2m(5)組合問題①彈簧17ml②彈簧并聯2、能量法（瑞雷法）k1k2l2l1lm2θm1ml②彈簧并聯2、能量法（瑞雷法）k1k2l2l1lm2θm18即：設：代入得：等效剛度等效質量即：設：代入得：等效剛度等效質量192.2有阻尼系統模型2.2.1系統力學模型mkc圖2.6典型的單自由度有阻尼系統動力學模型m

kxcx2.2.2系統數學模型f(t)mkcx2.2有阻尼系統模型2.2.1系統力學模型mkc圖2.6202.2.3系統動力特性設：代入得：1、過阻尼系統2、臨界阻尼系統——臨界阻尼系數2.2.3系統動力特性設：代入得：1、過阻尼系統2、臨界阻213、小阻尼系統其中：——阻尼比——有阻尼頻率代入得：——有阻尼周期3、小阻尼系統其中：——阻尼比——有阻尼頻率代入得：——有阻22系統方程的標準形式2.3自由振動問題1、運動方程——初速度——初位移2、初始條件t=02.3.1無阻尼系統自由振動3、解的形式系統方程的標準形式2.3自由振動問題1、運動方程——初速度234、振幅C和初相位——振幅——初相位——無阻尼自由振動位移函數4、振幅C和初相位——振幅——初相位——無阻尼自由振動位移函24txx0圖2.7無阻尼系統自由振動位移曲線t圖2.8無阻尼系統自由振動速度曲線圖2.9無阻尼系統自由振動加速度曲線ttxx0圖2.7無阻尼系統自由振動位移曲線t圖2.8無阻252.3.2有阻尼系統自由振動1、運動方程——初速度——初位移2、初始條件t=03、解的形式4、振幅C和初相位——振幅——初相位2.3.2有阻尼系統自由振動1、運動方程——初速度——初26——有阻尼自由振動位移函數tx圖2.10有阻尼系統自由振動位移曲線5、阻尼比ζ——有阻尼自由振動位移函數tx圖2.10有阻尼系統自由振動27——對數衰減率2.4簡諧荷載的強迫振動2.4.1無阻尼系統1、運動方程——對數衰減率2.4簡諧荷載的強迫振動2.4.1無阻尼28設：2、解的形式解得：——系統靜位移——頻率比其中：——動力放大系數定義：設：2、解的形式解得：——系統靜位移——頻率比其中：——動力29圖2.11幅頻特性曲線圖2.11幅頻特性曲線30則：代入邊界條件得：2.4.2有阻尼系統1、運動方程2、解的形式則：代入邊界條件得：2.4.2有阻尼系統1、運動方程2、31設：設：32其中：其中：代入邊界條件得：解得：代入解函數得：其中：其中：代入邊界條件得：解得：代入解函數得：33——動力放大系數3、幅頻特性由：得：——動力放大系數3、幅頻特性由：得：34阻尼比計算①共振點阻尼比計算②帶寬法（半功率）阻尼比計算阻尼比計算①共振點阻尼比計算②帶寬法（半功率）阻尼比計算354、相頻特性圖2.12相頻特性曲線4、相頻特性圖2.12相頻特性曲線36例：利用激振器測量單層廠房的動力特性，采用簡諧擾力激振，兩次測量的結果為：解：求系統的等效質量、等效剛度、固有頻率、粘滯阻尼系數和阻尼比。例：利用激振器測量單層廠房的動力特性，采用簡諧擾力激振，解：37代入得：代入得：38則：——阻尼系數由：得：5、基礎運動問題mkcx(1)

質量塊的絕對運動則：——阻尼系數由：得：5、基礎運動問題mkcx(1)質量39設：代入得：設：代入得：40Tr(2)

質量塊的相對運動設：Tr(2)質量塊的相對運動設：41設：代入得：或：代入得：設：代入得：或：代入得：42——傳遞系數由此可得：——傳遞系數由此可得：43例：汽車沿圖2-12所示路面行駛。速度v=20m/s，路面凹凸幅值為3cm。假設路面不平度按照正弦規律變化，并且路面正弦變化的波長l=12m，汽車質量為2000kg，汽車的彈簧剛度為39200N/m，阻尼比為0.4。計算汽車在此路面上行駛時，底盤垂向振動幅值。解：例：汽車沿圖2-12所示路面行駛。速度v=20m/s，路面凹442.5周期荷載的強迫振動2.5.1任意周期荷載的傅里葉級數表達式2.5周期荷載的強迫振動2.5.1任意周期荷載的傅里葉45(n=1,2,…)(n=1,2,…)2.5.2無阻尼系統響應設：則：其中：(n=1,2,…)(n=1,2,…)2.5.2無阻尼系統46而：2.5.3有阻尼系統響應其中：設：而：2.5.3有阻尼系統響應其中：設：47高等結構動力學課件48例：設單自由度系統受鋸齒波荷載（如圖）作用，系統的固有周期與荷載的周期比為2:1，阻尼比為0.05，分別計算無阻尼和有阻尼時的穩態振動響應。解：圖示荷載函數可表示為：n=0n=1,2,…例：設單自由度系統受鋸齒波荷載（如圖）作用，系統的固有解：圖49n=1,2,…無阻尼響應有阻尼響應2.6任意荷載的強迫振動2.6.1系統對沖擊荷載的響應1、強迫振動階段(0≤t≤t1)n=1,2,…無阻尼響應有阻尼響應2.6任意荷載的強迫振動502、自由振動階段(t1≤t)荷載頻率低于結構固有頻率（γ<1）2、自由振動階段(t1≤t)荷載頻率低于結構固有頻率（γ<151荷載頻率高于結構固有頻率（γ>1）荷載頻率高于結構固有頻率（γ>1）522.6.2系統對任意荷載的響應F(t)τtτ1、無阻尼系統由動量定理得：由得：2.6.2系統對任意荷載的響應F(t)τtτ1、無阻尼系53例：單自由度系統受三角形沖擊荷載F(t)=F0(1-t/t1)作用，t1為荷載持續時間。求最大位移和放大系數。解：當t≤t

1時，由杜哈梅積分得：(t≤t1)(t≤t1)——杜哈梅積分例：單自由度系統受三角形沖擊荷載F(t)=F0(1-t/t154當t≥t1時當t≥t1時552、有阻尼系統2.6.3杜哈梅積分的數值解法1、無阻尼系統2、有阻尼系統2.6.3杜哈梅積分的數值解法1、無阻尼系56其中：2、有阻尼系統其中：2、有阻尼系統572.6.4逐步積分法1、增量方程——系統增量方程其中：兩式相減得：其中：2.6.4逐步積分法1、增量方程——系統增量方程其中：兩582、Wilson-θ法將加速度在ti點展開式中：積分上式令：2、Wilson-θ法將加速度在ti點展開式中：積分上式令：59上式可寫成：式中：上式可寫成：式中：60或則：3、Newmark—β法——線性加速度法或則：3、Newmark—β法——線性加速度法61——平均加速度法——無條件穩定本章小結1、系統數學模型(1)無阻尼系統或其中：(2)有阻尼系統——平均加速度法——無條件穩定本章小結1、系統數學模型(1)62或2、系統動力特性(1)系統特征方程設：代入得：——特征方程——特征值(2)系統特征值由系統特征方程解得或2、系統動力特性(1)系統特征方程設：代入得：——特征方程63m——質量，系統慣性性質k——剛度，系統恢復力性質c——阻尼，系統耗能性質(1)物理參數——固有頻率3、系統動力學參數(2)模態參數或——固有周期——阻尼比——有阻尼頻率m——質量，系統慣性性質k——剛度，系統恢復力性質c——阻尼644、系統動力響應(1)自由振動——初始擾動無阻尼系統其中：——初相位——振幅有阻尼系統——初相位——振幅其中：4、系統動力響應(1)自由振動——初始擾動無阻尼系統其中：—65對數衰減率(2)簡諧荷載強迫振動無阻尼系統式中：有阻尼系統式中：——相位差對數衰減率(2)簡諧荷載強迫振動無阻尼系統式中：有阻尼系統式66基礎運動——隔振問題——基礎位移其中：——傳遞系數——相位差相對基礎運動——慣性傳感器——基礎位移其中：——傳遞系數基礎運動——隔振問題——基礎位移其中：——傳遞系數——相位差67——相位差(3)周期荷載強迫振動其中：(n=1,2,…)(n=1,2,…)無阻尼系統——相位差(3)周期荷載強迫振動其中：(n=1,2,…)(n68有阻尼系統(4)任意荷載強迫振動沖擊荷載——強迫振動——自由振動其中：——振幅——相位角脈沖荷載有阻尼系統(4)任意荷載強迫振動沖擊荷載——強迫振動——自由69——自由振動任意荷載①杜哈梅積分②逐步積分法——自由振動任意荷載①杜哈梅積分②逐步積分法70第3章串聯多自由度系統第3章串聯多自由度系統713.1系統模型3.1.1力學模型k1k2k3m1m2m3m1m2m3k2c2k3c3k1c1x1x2x3f1(t)f2(t)f3(t)3.1系統模型3.1.1力學模型k1k2k3m1m2723.1.2數學模型3.1.2數學模型73其中：其中：743.2特征值問題3.2.1系統特征方程設：有非零解的條件：或特征方程3.2特征值問題3.2.1系統特征方程設：有非零解的751、特征方程的根：3.2.2系統特征對2、特征向量（振型）：3、系統特征對：3.2.3特征對的性質1、特征根的性質1、特征方程的根：3.2.2系統特征對2、特征向量（振型762、特征向量的性質證明：3、規格化特征向量2、特征向量的性質證明：3、規格化特征向量773.2.4特征值的計算1、迭代法最高階特征值計算設：例：迭代矩陣3.2.4特征值的計算1、迭代法最高階特征值計算設：例：78設：設：79高等結構動力學課件80證明：證明：81其中：一階特征值計算其中：其中：一階特征值計算其中：82例：例：83證明：證明：84其中：2、逐階濾頻法——GramSchmidt法計算二階特征值其中：2、逐階濾頻法——GramSchmidt法計算二階特85例：——一次濾頻例：——一次濾頻86——二次濾頻計算三階特征值——二次濾頻計算三階特征值87其中：3、Jacobi（雅可比）法條件：K和M是實對稱矩陣，且K是正定的令：其中：3、Jacobi（雅可比）法條件：K和M是實對稱矩陣，88則：其中：正交矩陣對角陣mnnm則：其中：正交矩陣對角陣mnnm89例：設：例：設：90高等結構動力學課件913.3方程的解耦3.3.1廣義坐標設：其中：3.3方程的解耦3.3.1廣義坐標設：其中：923.3.2廣義坐標方程其中：——模態質量矩陣——第i階模態質量——模態剛度矩陣——第i階模態剛度3.3.2廣義坐標方程其中：——模態質量矩陣——第i階模態93——模態阻尼矩陣——第i階模態阻尼系數——模態力向量則系統解耦方程為：或——模態阻尼矩陣——第i階模態阻尼系數——模態力向量則系統解94——固有頻率——模態阻尼——模態力3.4阻尼問題3.4.1瑞雷阻尼——固有頻率——模態阻尼——模態力3.4阻尼問題3.4.953.4.2常阻尼模型穩態運動條件下：3.4.2常阻尼模型穩態運動條件下：963.5強迫振動3.5.1廣義坐標解其中：3.5強迫振動3.5.1廣義坐標解其中：973.5.2時程分析法3.5.2時程分析法98Wilson-θ法Wilson-θ法99或Newmark-β法——線性加速度法——平均加速度法或Newmark-β法——線性加速度法——平均加速度法100高等結構動力學課件1013.6耦合振動的應用——振動控制問題3.6.1主、從系統的動力特性1、系統固有頻率設：3.6耦合振動的應用——振動控制問題3.6.1主、從102其中：——質量比——頻率錯開系數2、系統耦合特性質量比的影響頻率錯開系數的影響——主從系統強烈耦合——主從系統不耦合其中：——質量比——頻率錯開系數2、系統耦合特性質量比的影響1033.6.2主、從系統的減振問題3.6.2主、從系統的減振問題104高等結構動力學課件105本章小結：1、運動方程2、系統動力特性(1)物理參數——質量矩陣——剛度矩陣本章小結：1、運動方程2、系統動力特性(1)物理參數——質量106——阻尼矩陣(1)特征值問題特征方程固有頻率與振型——第i階固有頻率——第i階振型——阻尼矩陣(1)特征值問題特征方程固有頻率與振型——第i階107標準化振型其中：3、系統阻尼問題(1)瑞雷阻尼標準化振型其中：3、系統阻尼問題(1)瑞雷阻尼108其中：(2)常阻尼模型4、廣義坐標方程——模態質量矩陣——模態剛度矩陣其中：其中：(2)常阻尼模型4、廣義坐標方程——模態質量矩陣——模109——第i階模態質量——第i階模態剛度——模態阻尼矩陣式中：——第i階模態阻尼5、強迫振動問題①廣義坐標解——解析解——第i階模態質量——第i階模態剛度——模態阻尼矩陣式中：—110②時程分析法——數值解Wilson-θ法其中：②時程分析法——數值解Wilson-θ法其中：111Newmark-β法Newmark-β法112其中：其中：113m1m2kx1x2例1：寫出圖示系統以相對坐標表示的運動方程，并求系統固有頻率。令：或：m1m2kx1x2例1：寫出圖示系統以相對114其中：例2：求圖示二層框架的固有頻率和振型。其中：例2：求圖示二層框架的固有頻率和振型。115高等結構動力學課件116例3：求例2二層框架的強迫振動。已知：設：代入得：解得：例3：求例2二層框架的強迫振動。設：代入得：解得：117穩態響應為：例4：求圖示結構的固有頻率和振型。解：穩態響應為：例4：求圖示結構的固有頻率和振型。解：118設：設：119解得：解得：120高等結構動力學課件121第4章分布參數系統第4章分布參數系統1224.1直桿的軸向振動4.1.1運動方程4.1直桿的軸向振動4.1.1運動方程1234.1.2等截面均質直桿其中：4.1.3方程的解令：4.1.2等截面均質直桿其中：4.1.3方程的解令：1244.1.4頻率與振型1、邊界條件（兩端自由桿）4.1.4頻率與振型1、邊界條件（兩端自由桿）1252、固有頻率由：2、固有頻率由：126得：3、振型函數得：3、振型函數1274、初始條件例：一等截面均質直桿兩端自由，初始時，兩端的壓縮變形量為δ。求桿的運動狀態。4、初始條件例：一等截面均質直桿兩端自由，初始時，兩端的壓縮128討論：討論：1294.1.5任意直桿振型的正交性代入：證明：4.1.5任意直桿振型的正交性代入：證明：130得：由邊界條件固定邊界自由邊界得：上式右端項分部積分得得：由邊界條件固定邊界自由邊界得：上式右端項分部積分得131因此同理：兩式相減得：代入：得：因此同理：兩式相減得：代入：得：1324.2圓截面直桿的扭轉振動4.2圓截面直桿的扭轉振動133其中：設：則：式中：其中：設：則：式中：1344.3高腹梁的剪切振動則：4.3高腹梁的剪切振動則：135代入上式得：等截面均質梁其中：設：則：式中：代入上式得：等截面均質梁其中：設：則：式中：1364.4梁的彎曲振動4.4.1純彎曲振動1、運動方程式中：4.4梁的彎曲振動4.4.1純彎曲振動1、運動方程式137代入上式得：均質等截面梁2、動力特性設：代入上式得：代入上式得：均質等截面梁2、動力特性設：代入上式得：138分離變量得：其中：設：代入得：解得：分離變量得：其中：設：代入得：解得：139則：由Eular公式：可得：①簡支梁固有頻率與振型則：由Eular公式：可得：①簡支梁固有頻率與振型140頻率方程：則：簡支梁純彎曲固有頻率：簡支梁純彎曲振型：簡支梁純彎曲自由振動頻率方程：則：簡支梁純彎曲固有頻率：簡支梁純彎曲振型：簡支梁141設：則：②懸臂梁固有頻率與振型設：則：②懸臂梁固有頻率與振型142得頻率方程：解得前三階頻率：得頻率方程：解得前三階頻率：143振型函數：由邊界條件：得：代入得：其中：3、克雷洛夫函數振型函數：由邊界條件：得：代入得：其中：3、克雷洛夫函數144高等結構動力學課件145③固端梁固有頻率與振型③固端梁固有頻率與振型146解得前三階頻率：由邊界條件：得：代入得：解得前三階頻率：由邊界條件：得：代入得：147其中：4、標準振型的正交性設：由虛功原理有：代入得：將其中：4、標準振型的正交性設：由虛功原理有：代入得：將148整理得：5、純彎曲梁的強迫振動設：代入得：標準振型滿足：整理得：5、純彎曲梁的強迫振動設：代入得：標準振型滿足：149代入得：上式兩端乘，并積分整理得：其中：引入阻尼：或代入得：上式兩端乘，并積分整理得：其中：150例1：求圖示簡支梁的強迫振動。Pylx1x解：已知簡支梁振型函數振型力：振型質量：例1：求圖示簡支梁的強迫振動。Pylx1x解：已知簡151例2：求圖示固端梁在簡諧荷載作用下的強迫振動。yxl=240例2：求圖示固端梁在簡諧荷載作用下的強迫振動。yxl=152令：令：1534.4.2考慮軸向力的彎曲振動M+dMQ+dQNNMQdydxP(x,t)fI1、運動方程4.4.2考慮軸向力的彎曲振動M+dMQ+dQNNMQd1542、動力特性設：2、動力特性設：155其中：設：其中：設：156其中：例4：求軸向壓力作用下的簡支梁的固有頻率和振型。代入：其中：例4：求軸向壓力作用下的簡支梁的固有頻率和振型。代入：157由得：代入由得：代入158得：將代入得：振型函數：位移函數：得：將代入得：振型函數：位移函數：1594.4.3Timoshenko梁的彎曲振動1、運動方程由dx平衡條件得：4.4.3Timoshenko梁的彎曲振動1、運動方程由160式中：將代入得：再將變形協調關系代入得：式中：將代入得：再將變形協調關系代入得：161將代入求導得：由解出代入將代入求導得：由解出代入162得：整理得：將代入得：得：整理得：將代入得：1632、動力特性設：設：2、動力特性設：設：1644.4.4連續體系的離散化令：1、動剛度矩陣代入：得：4.4.4連續體系的離散化令：1、動剛度矩陣代入：得：165或或或或166式中：式中：1672、傳遞矩陣①場矩陣解得：2、傳遞矩陣①場矩陣解得：168其中：其中：169②點矩陣設：則：因此：②點矩陣設：則：因此：170其中：例：求兩端自由梁的頻率和振型其中：例：求兩端自由梁的頻率和振型171邊界條件：頻率方程：邊界條件：頻率方程：172例：求一端固定一端簡支梁的頻率和振型邊界條件：例：求一端固定一端簡支梁的頻率和振型邊界條件：173頻率方程：頻率方程：174例：求串聯多自由度系統的傳遞矩陣由彈簧平衡條件得：寫成矩陣形式：例：求串聯多自由度系統的傳遞矩陣由彈簧平衡條件得：寫成矩陣形175令：——場矩陣由質點動平衡條件得：設：寫成矩陣形式：則：令：——場矩陣由質點動平衡條件得：設：寫成矩陣形式：則：176令：——點矩陣傳遞矩陣：其中：——傳遞矩陣：單自由度系統的固有頻率：邊界條件：代入得：令：——點矩陣傳遞矩陣：其中：——傳遞矩陣：單自由度系統的固177展開第二式得：4.5薄板的彎曲振動tOa

bx

yz4.5.1薄板彎曲運動方程展開第二式得：4.5薄板的彎曲振動tOabxy1781、應力應變分量①薄板彎曲假定直法線假定xzzdxO不計擠壓應力剛性中面假定σyσxτxyτyxτyzτzyxyz②應力、應變分量1、應力應變分量①薄板彎曲假定直法線假定xzzdxO不計擠壓1792、彎曲運動方程①應變與位移關系（幾何方程）同理：由：得：2、彎曲運動方程①應變與位移關系（幾何方程）同理：由：得：180積分得：由剛性中面假定得：則：積分得：由剛性中面假定得：則：181②應力與位移關系（物理方程）③內力與位移關系②應力與位移關系（物理方程）③內力與位移關系182其中：④平衡條件xyzO其中：④平衡條件xyzO183高等結構動力學課件184略去高階小量得：同理可得：代入：得：將略去高階小量得：同理可得：代入：得：將185代入得：或其中：4.5.2簡支板固有頻率和振型1、邊界條件代入得：或其中：4.5.2簡支板固有頻率和振型1、邊界條186由得：由得：2、固有頻率設：代入方程得：由得：由得：2、固有頻率設：代入方程得：187解出本章小結1、桿的軸向振動其中：解出本章小結1、桿的軸向振動其中：188分離變量：——頻率方程——振型方程振型函數：兩端自由桿：頻率方程：得：分離變量：——頻率方程——振型方程振型函數：兩端自由桿：頻率189頻率：振型：2、梁的彎曲振動——橫向動力平衡——截面彎矩平衡①純彎曲振型方程：頻率：振型：2、梁的彎曲振動——橫向動力平衡——截面彎矩平衡190振型函數：——橫向動力平衡——截面彎矩平衡②軸力影響振型方程：振型函數：其中：振型函數：——橫向動力平衡——截面彎矩平衡②軸力影響振型方程191——橫向動力平衡③Timshenko梁的橫向振動——截面彎矩平衡由：得：——橫向動力平衡③Timshenko梁的橫向振動——截面彎矩192②應力-位移關系(物理方程)3、薄板的彎曲振動①應變-位移關系(幾何方程)②應力-位移關系(物理方程)3、薄板的彎曲振動①應變-位移關193③內力-位移關系④平衡方程⑤運動微分方程或③內力-位移關系④平衡方程⑤運動微分方程或194第5章離散多自由度系統第5章離散多自由度系統195高等結構動力學課件196高等結構動力學課件1975.1系統自由度5.1.1結點自由度1、平面桁架①系統自由度②節點位移向量2、空間桁架①系統自由度②節點位移向量5.1系統自由度5.1.1結點自由度1、平面桁架①系統1983、平面剛架①系統自由度②節點位移向量2、空間剛架①系統自由度②節點位移向量3、平面剛架①系統自由度②節點位移向量2、空間剛架①系統自由1995.2桁架結構動力分析5.2.1桿的剛度、質量特性1、型函數由：積分得：代入桿端參數得：代入ly5.2桁架結構動力分析5.2.1桿的剛度、質量特性1、200得：其中：——型函數將代入得又代入得得：其中：——型函數將代入得又代入得2012、剛度矩陣由位移法方程令：則：由虛位移原理：設：由得：2、剛度矩陣由位移法方程令：則：由虛位移原理：設：由得：202代入得：同理可得：代入位移法方程寫成矩陣形式代入得：同理可得：代入位移法方程寫成矩陣形式203或其中：——桿單元剛度矩陣3、質量矩陣①集中質量矩陣慣性力方程或其中：——桿單元剛度矩陣3、質量矩陣①集中質量矩陣慣性力方204令：則：令：由虛位移原理：則：令：由虛位移原理：令：則：令：由虛位移原理：則：令：由虛位移原理：205則：同理：展開得：或其中：——集中質量矩陣則：同理：展開得：或其中：——集中質量矩陣206②一致質量矩陣令：令：由虛位移原理：同理：②一致質量矩陣令：令：由虛位移原理：同理：207其矩陣形式或——一致質量矩陣其中：其矩陣形式或——一致質量矩陣其中：2085.2.2平面桁架的動力分析1、桁架結構的受力特點2、坐標變換矩陣形式5.2.2平面桁架的動力分析1、桁架結構的受力特點2、坐209或其中：則：或①單元局部坐標方程：其中：3、整體坐標方程或其中：則：或①單元局部坐標方程：其中：3、整體坐標方程210②單元整體坐標方程：將代入得：左乘變換矩陣得：其中：③系統運動方程：②單元整體坐標方程：將代入得：左乘變換矩陣得：其中：③系統運211其中：代入單元整體坐標方程得：整理得：其中：其中：代入單元整體坐標方程得：整理得：其中：212例：求圖示平面桁架的固有頻率和振型132132例：求圖示平面桁架的固有頻率和振型132132213坐標變換坐標變換214高等結構動力學課件215高等結構動力學課件216高等結構動力學課件217高等結構動力學課件218由約束條件得：設：代入并求和設：由約束條件得：設：代入并求和設：21931323211132321231235.2.3空間桁架的動力分析1、單元矩陣(1)剛度矩陣31323211132321231235.2.3空間桁架220(2)質量矩陣(3)坐標變換矩陣(2)質量矩陣(3)坐標變換矩陣221高等結構動力學課件2225.3框架結構動力分析5.3.1梁單元動力特性1、型函數由積分得：或5.3框架結構動力分析5.3.1梁單元動力特性1、型函223令：則：代入得：整理得：整理得：同理：令：則：代入得：整理得：整理得：同理：2242、剛度矩陣由位移法方程其中：令：則：2、剛度矩陣由位移法方程其中：令：則：225由虛位移原理令：則：代入得：將由虛位移原理令：則：代入得：將226寫成矩陣的形式2、質量矩陣(1)集中質量矩陣寫成矩陣的形式2、質量矩陣(1)集中質量矩陣227(2)一致質量矩陣其中：或令：則：(2)一致質量矩陣其中：或令：則：228令：由虛位移原理將代入得：令：由虛位移原理將代入得：2293、等效結點荷載設梁上作用分布荷載p(x,t)，等效結點荷載表示為：令：由虛位移原理則：將代入得：3、等效結點荷載設梁上作用分布荷載p(x,t)，等效結點荷載230均布荷載：4、幾何剛度均布荷載：4、幾何剛度231高等結構動力學課件2325.3.2平面框架動力分析1、框架單元的結點位移和結點力2、框架單元的剛度矩陣(1)拉壓剛度矩陣5.3.2平面框架動力分析1、框架單元的結點位移和結點力233(2)彎曲剛度矩陣(3)框架單元剛度矩陣3、框架單元的質量矩陣(1)集中質量矩陣桿單元質量矩陣(2)彎曲剛度矩陣(3)框架單元剛度矩陣3、框架單元的質量矩234梁單元質量矩陣框架單元質量矩陣梁單元質量矩陣框架單元質量矩陣235(2)一致質量矩陣桿單元質量矩陣梁單元質量矩陣框架單元質量矩陣(2)一致質量矩陣桿單元質量矩陣梁單元質量矩陣框架單元質量矩2364、坐標變換(1)線位移變換矩陣(2)角位移變換矩陣(3)框架單元變換矩陣4、坐標變換(1)線位移變換矩陣(2)角位移變換矩陣(3)框237例：用一致質量矩陣計算圖示框架的前三階固有頻率和陣型。12解：求系統剛度矩陣和質量矩陣例：用一致質量矩陣計算圖示框架的前三階固有12解：求系統238高等結構動力學課件239高等結構動力學課件240代入頻率方程解得：代入方程求得：代入頻率方程解得：代入方程求得：2415.3.3空間框架動力分析1、框架單元的結點位移和結點力2、框架單元的剛度矩陣3、框架單元的一致質量矩陣4、坐標變換5.3.3空間框架動力分析1、框架單元的結點位移和結點力242其中：令：其中：令：243高等結構動力學課件244d=0的情況d=0的情況2455.4自由度凝聚5.4.1靜力凝聚法1、剛度矩陣凝聚5.4自由度凝聚5.4.1靜力凝聚法1、剛度矩陣凝聚246由得：代入得：由得：代入得：2472、變換矩陣的計算例：2、變換矩陣的計算例：2483、質量矩陣凝聚例：解：凝聚自由度13、質量矩陣凝聚例：解：凝聚自由度1249矩陣分塊矩陣分塊250解出：例：解出：例：251凝聚自由度1和3凝聚自由度1和3252由得：由得：253高等結構動力學課件2545.4.2動力凝聚法1、凝聚矩陣設：其中：5.4.2動力凝聚法1、凝聚矩陣設：其中：2552、質量矩陣和剛度矩陣凝聚3、解特征值問題由解出：例：解：求凝聚矩陣和動力矩陣2、質量矩陣和剛度矩陣凝聚3、解特征值問題由解出：例：解：求256高等結構動力學課件257由得：代回得：由得：代回得：258由得：將由得：將259代入得：消元得：代入得：消元得：260由得：代回由得：代回261得：消元得：得：消元得：262由得：由得：2635.4.3改進的動力凝聚法5.4.3改進的動力凝聚法264由得：將代入求得：由得：將代入求得：265由得：5.4.4里茲法(能量法)或設：由得：5.4.4里茲法(能量法)或設：266則：令：其中：代入得：其中：則：令：其中：代入得：其中：267由能量駐值原理得：5.4.5子空間迭代法令：其中：由能量駐值原理得：5.4.5子空間迭代法令：其中：268其中：迭代格式其中：迭代格式2695.4.6模態綜合法1、固定界面法5.4.6模態綜合法1、固定界面法270高等結構動力學課件271高等結構動力學課件272例：例：273高等結構動力學課件274高等結構動力學課件275高等結構動力學課件276——模態綜合法——直接計算2、自由界面法——模態綜合法——直接計算2、自由界面法277其中：其中：278例：例：279由得：解出：由得：解出：