第十一章假設檢驗

假設檢驗的基本原理顯著水平檢驗法與正態總體檢驗1謝謝觀賞2019-8-23第十一章假設檢驗1謝謝觀賞2019-8-23第十一章假設檢驗

一、檢驗問題的提法

假設檢驗是即同估計密切聯系，但又有重要區別的一種推斷方法。例如：某種電子元件壽命X服從參數為λ的指數分布，隨機抽取其中的n件。測得其壽命數據，

問題⑴，這批元件的平均壽命是多少？

問題⑵，按規定該型號元件當壽命不小于5000(h)為合格，問該批元件是否合格？

問題⑴是對總體未知參數μ=E(X)=1/λ作出估計。回答“μ是多少？”，是定量的。問題⑵則是對假設“這批元件合格”做出接受還是拒絕的回答，因而是定性的。2謝謝觀賞2019-8-23第十一章假設檢驗一、檢驗問題的提法2謝謝觀賞2019第十一章假設檢驗

對上述例子，還可做更細致考察，設想如基于一次觀察數據算出μ的估計值

，我們能否就此接受“這批元件合格”的這一假設呢？盡管但這個估計僅僅是一次試驗的結果，能否保證下一次測試結果也能得到μ的估計值大于5000呢？也就是說從觀察數據得到的結果與參考值5000的差異僅僅是偶然的呢？還是總體均值μ確實有大于5000的“趨勢”？

這些問題是以前沒有研究過的。一般而言，估計問題是回答總體分布的未知參數是多少？或范圍有多大？而假設檢驗問題則是回答觀察到的數據差異只是機會差異，還是反映了總體的真實差異？因此兩者對問題的提法有本質不同。3謝謝觀賞2019-8-23第十一章假設檢驗對上述例子，還可做更細致考察，設想如第十一章假設檢驗

下面通過一個例子介紹原假設和備擇假設二.原假設和備擇假設4謝謝觀賞2019-8-23第十一章假設檢驗下面通過一個例子介紹二.原假設和例1(酒精含量)一種無需醫生處方即可達到的治療咳嗽和鼻塞的藥。按固定其酒精含量為5﹪.今從一出廠的一批藥中隨機抽取10瓶,測試其酒精含量得到的10個含量的百分數:5.01,4.87,5.11,5.21,5.03,4.96,4.78,4.98,4.88,5.06

如果酒精含量服從正態分布N(μ,0.00016),問該批藥品的酒精含量是否合乎規定?任務:

通過樣本推斷X的均值μ是否等于5.假設:上面的任務就是要通過樣本去檢驗“X的均值=5”這樣一個假設是否成立.(在數理統計中把“X的均值μ=5”這樣一個待檢驗的假設記作“H0:μ=5”稱為

“原假設”或“零假設”.表明數據的“差異”是偶然的,總體沒有“變異”發生.

5謝謝觀賞2019-8-23例1(酒精含量)一種無需醫生處方即可達到的治療咳嗽和鼻塞

原假設的對立面是“X的均值μ≠10”記作“H1:μ≠10”稱為“對立假設”或“備擇假設”.表明數據的“差異”不是偶然的,是總體“變異”的表現.把它們合寫在一起就是:H0:μ=10

H1:μ≠10

原假設H0表明含量符合規定，這個5﹪也稱之為期望數，盡管10個數據都5﹪與有出入，這只是抽樣的隨機性所致;備擇假設H1表明總體均值μ已經偏離了期望數5﹪，數據與期望數5﹪的差異是其表現.假設檢驗的任務

必須在原假設與備擇假設之間作一選擇6謝謝觀賞2019-8-23原假設的對立面是“X的均值μ≠10”記作“H1:μ檢驗統計量是構造一個適當的能度量觀察數與原假設下的期望數之間的差異程度的統計量,此統計量為檢驗統計量.特點:在原假設H0下分布式完全一致或者說可以計算.因而通過標準化可得到檢驗統計量三.檢驗統計量

本例的觀察數通過樣本平均表示,它是μ的一個無偏估計,而在下的期望數為μ=5,在H0下7謝謝觀賞2019-8-23檢驗統計量是構造一個適當的能度量觀察數與原假特點:在原假設H

從試驗數據判斷是否導致一個矛盾的結果,一個重要的依據是小概率事件的實際推斷原理.

看例1,由觀察數據,可算得的觀察值為4.989,代入統計量Z的表達式,得Z的觀察值為

四.否定論證及實際推斷原理

否定論證是假設檢驗的重要推理方法,其要旨是:先假定原假設H0成立,如果從試驗觀察數據及此假定將導致一個矛盾的結果,則必須否定這個原假設;反之,如果不出矛盾的結果,就不能否定原假設.8謝謝觀賞2019-8-23從試驗數據判斷是否導致一個矛盾的結果,一個重要的依據是小概

在H0下,Z服從標準正態分布,對于特定的一次試驗,統計量Z取得觀察值-2.7509，是十分罕見的，以至于實際不會發生.事實上,當H0成立時,事件發生的機會只有5﹪(如圖)

這是一個小概率事件.今從試驗數據得到Z=-2.7509,由于表明這一小概率事件在該次試驗中發生,這與實際推斷原理矛盾.因此否定原假設.至此本例已獲得解答,即基于數據該批藥品的酒精含量不符合規定.注意:

在否定論中最終能否得出矛盾的結果，取決于數據.02.5﹪1.96-1.96-2.75099謝謝觀賞2019-8-23在H0下,Z服從標準正態分布,對于特定的一次試驗,統第二節顯著水平檢驗法與正態總體檢驗正確正確假設檢驗的兩類錯誤H0為真H0為假真實情況所作判斷接受H0拒絕H0第一類錯誤(棄真)第二類錯誤(取偽)注意:不可能消除這兩種錯誤,而只能控制發生這兩類錯誤之一的概率.10謝謝觀賞2019-8-23第二節顯著水平檢驗法與正態總體檢驗正確正確假設檢驗的兩類錯第二節顯著水平檢驗法與正態總體檢驗

假設H0與H1從一開始就不是“平等的”.在很多情況下,人們希望通過收集數據拒絕H0,從而達到接受H1的目的.因而控制犯第一類錯誤概率就變得十分重要了,使得拒絕了一個真實的H0的可能性降低到一個我們能接受的程度.二.顯著水平檢驗法

顯著水平檢驗法:

在數據收集之前就已經設定好一個檢驗規則,即文獻上稱之為拒絕域R,使得當樣本觀察值落入R就拒絕R0.

對拒絕域R的要求是:在H0

下{樣本落入R}為一小概率事件,擠兌預先給定的0<α<1有P({樣本落入R}|H0)≤α11謝謝觀賞2019-8-23第二節顯著水平檢驗法與正態總體檢驗假設H0與H1從作為未知參數μ的點估計,因此偏小應該拒絕H0.若H0成立,例3某降價盒裝餅干，其包裝上的廣告上稱每盒質量為269g.但有顧客投訴，鈣餅干質量不足269g。為此質檢部門從準備出廠的一批盒裝餅干中，隨機抽取30盒，由測得的30個質量數據算出樣本平均為268.假設盒裝餅干質量服從正態分布N(μ，22),以顯著水平α=0.05檢驗該產品廣告是否真實.解:依題意,可設原假設H0:μ=269備擇假設

H1:μ<269則有則在下Z~N(0,1),即Z的分布已知，因而Z可以做檢驗統計量，偏小等價于Z偏小，從而得到拒絕域的形式如下其中k待定，稱之為臨界值.12謝謝觀賞2019-8-23作為未知參數μ的點估計,因此偏小應該拒絕H0.α=0.05,為求顯著水平0.05的檢驗,只需選取k使得查表可得因而得到水平0.05檢驗的拒絕域代入數據得Z=-2.74,顯然小于臨界值-1.645,因而依據檢驗規則應該拒絕H0,即該盒裝廣告有不實廣告行為.總結求解步驟13謝謝觀賞2019-8-23α=0.05,為求顯著水平0.05的檢驗,只需選取k使得查表例4(例3續)在上例中，若盒裝餅干重量服從正態分布N(μ,σ2),μ與σ2均未知，已知樣本平均修正樣本標準差為，求解相同的問題.第二節顯著水平檢驗法與正態總體檢驗三.正態總體的顯著水平檢驗此時不能用使用Z作為統計量,因為:其中σ未知,今用S*代替σ,得到t的統計量S*由正態總體抽樣分布基本定理可知:14謝謝觀賞