微積分（高等數學）——中國藥科大學龍益如01初等數學預備知識03導數與微分05不定積分07多元函數微分學02極限與連續04導數的應用06定積分08微分方程C目錄ONTENTS2023/9/2函數與極限3數學既是對于自然界事實的總結和歸納，如英國的哲學家培根所說“一切多依賴于我們把眼睛緊盯在自然界的事實之上”；又是抽象思考的結果，如法國哲學家笛卡爾所說“我思故我在”。這兩個方法造就了目前絢麗多彩，美麗非凡的數學，非常值得欣賞。從事科學研究，最重要的是掌握思維方法。在這里，我舉兩個例子：牛頓是偉大的物理學家和數學家，他在《自然哲學的數學原理》中敘述了四條法則。其中“法則1：除那些真實而已足夠說明其現象者外，不必去尋找自然界事物的其他原因”。這條法則后來被人們稱作“簡單性原則”，正如愛因斯坦所說：“從希臘哲學到現代物理學的整個科學史中，不斷有人力圖把表面上極為復雜的自然現象歸結為幾個簡單的基本概念和關系。這就是整個自然哲學的基本原理。”數學之美2023/9/2函數與極限4函數1234小結與練習反函數函數的特性函數基本概念一、基本概念2023/9/2函數與極限51.集合:具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集2023/9/2函數與極限6數集分類:N----自然數集Z----整數集Q----有理數集R----實數集數集間的關系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規定空集為任何集合的子集.2023/9/2函數與極限72.區間:是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區間的端點.稱為開區間,稱為閉區間,2023/9/2函數與極限8稱為半開區間,稱為半開區間,有限區間無限區間區間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區間的長度.2023/9/2函數與極限93.鄰域:2023/9/2函數與極限104.常量與變量:

在某過程中數值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.2023/9/2函數與極限115.絕對值:運算性質:絕對值不等式:2023/9/2函數與極限12因變量自變量數集D叫做這個函數的定義域二、函數概念2023/9/2函數與極限13自變量因變量對應法則f函數的兩要素:定義域與對應法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值.2023/9/2函數與極限14定義:如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫與多值函數．2023/9/2函數與極限15(1)符號函數幾個特殊的函數舉例1-1xyo2023/9/2函數與極限16(2)取整函數y=[x][x]表示不超過的最大整數12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線2023/9/2函數與極限17有理數點無理數點?1xyo(3)狄利克雷函數2023/9/2函數與極限18(4)取最值函數yxoyxo2023/9/2函數與極限19在自變量的不同變化范圍中,

對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.2023/9/2函數與極限20例1脈沖發生器產生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間的函數關系式.解單三角脈沖信號的電壓2023/9/2函數與極限212023/9/2函數與極限22例2解故三、函數的特性2023/9/2函數與極限23M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數的有界性:2023/9/2函數與極限242．函數的單調性:xyo2023/9/2函數與極限25xyo2023/9/2函數與極限263．函數的奇偶性:偶函數yxox-x2023/9/2函數與極限27奇函數yxox-x2023/9/2函數與極限284．函數的周期性:（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）.2023/9/2函數與極限29

直接函數與反函數的圖形關于直線對稱.四、反函數五、小結2023/9/2函數與極限30基本概念集合,區間,鄰域,常量與變量,絕對值.函數的概念函數的特性有界性,單調性,奇偶性,周期性.反函數2023/9/2函數與極限31思考題2023/9/2函數與極限32思考題解答設則故2023/9/2函數與極限33練習題2023/9/2函數與極限342023/9/2函數與極限35練習題答案2023/9/2函數與極限36初等函數1234小結與練習雙曲函數和反雙曲函數復合函數基本初等函數一、基本初等函數2023/9/2函數與極限371.冪函數2023/9/2函數與極限382.指數函數2023/9/2函數與極限393.對數函數2023/9/2函數與極限404.三角函數正弦函數2023/9/2函數與極限41余弦函數2023/9/2函數與極限42正切函數2023/9/2函數與極限43余切函數2023/9/2函數與極限44正割函數2023/9/2函數與極限45余割函數2023/9/2函數與極限465.反三角函數2023/9/2函數與極限472023/9/2函數與極限482023/9/2函數與極限49

冪函數,指數函數,對數函數,三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數.二、復合函數初等函數2023/9/2函數與極限501.復合函數定義:2023/9/2函數與極限51注意:1.不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的;2.復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.2.初等函數

由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.2023/9/2函數與極限52例1解2023/9/2函數與極限53綜上所述三、雙曲函數與反雙曲函數2023/9/2函數與極限54奇函數.偶函數.1.雙曲函數2023/9/2函數與極限55奇函數,有界函數,2023/9/2函數與極限56雙曲函數常用公式2023/9/2函數與極限572.反雙曲函數奇函數,2023/9/2函數與極限582023/9/2函數與極限59奇函數,四、小結2023/9/2函數與極限60函數的分類:函數初等函數非初等函數(分段函數,有無窮多項等函數)代數函數超越函數有理函數無理函數有理整函數(多項式函數)有理分函數(分式函數)2023/9/2函數與極限61思考題2023/9/2函數與極限62思考題解答不能．2023/9/2函數與極限63一、填空題:練習題2023/9/2函數與極限642023/9/2函數與極限65練習題答案2023/9/2函數與極限662023/9/2函數與極限67數列的極限1234小結與練習數列極限的性質數列的極限數列的定義一、概念的引入2023/9/2函數與極限68“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：播放——劉徽2023/9/2函數與極限69正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2023/9/2函數與極限702、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”二、數列的定義2023/9/2函數與極限71例如2023/9/2函數與極限72注意：1.數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取2.數列是整標函數2023/9/2函數與極限73播放三、數列的極限2023/9/2函數與極限74問題:當

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:2023/9/2函數與極限752023/9/2函數與極限76如果數列沒有極限,就說數列是發散的.注意：2023/9/2函數與極限77幾何解釋:其中2023/9/2函數與極限78數列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：2023/9/2函數與極限79例2證所以,說明:常數列的極限等于同一常數.小結:用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.2023/9/2函數與極限80例3證2023/9/2函數與極限81例4證四、數列極限的性質2023/9/2函數與極限821.有界性例如,有界無界2023/9/2函數與極限83定理1收斂的數列必定有界.證由定義,注意：有界性是數列收斂的必要條件.推論無界數列必定發散.2023/9/2函數與極限842.唯一性定理2每個收斂的數列只有一個極限.證由定義,故收斂數列極限唯一.2023/9/2函數與極限85例5證由定義,區間長度為1.不可能同時位于長度為1的區間內.3.(收斂數列與其子數列間的關系)如果數列收斂于a，那么它的任一子數列也收斂，且極限也是a2023/9/2函數與極限86五.小結2023/9/2函數與極限87數列:研究其變化規律;數列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數列的性質:有界性唯一性.2023/9/2函數與極限88思考題證明要使只要使從而由得取當時，必有成立2023/9/2函數與極限89思考題解答~（等價）證明中所采用的實際上就是不等式即證明中沒有采用“適當放大”的值2023/9/2函數與極限90從而時，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為2023/9/2函數與極限91練習題2023/9/2函數與極限92“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入三、數列的極限2023/9/2函數與極限932023/9/2函數與極限94三、數列的極限2023/9/2函數與極限95三、數列的極限2023/9/2函數與極限96三、數列的極限2023/9/2函數與極限97三、數列的極限2023/9/2函數與極限98三、數列的極限2023/9/2函數與極限99三、數列的極限2023/9/2函數與極限100三、數列的極限2023/9/2函數與極限101三、數列的極限2023/9/2函數與極限102三、數列的極限2023/9/2函數與極限103三、數列的極限2023/9/2函數與極限104三、數列的極限2023/9/2函數與極限105三、數列的極限2023/9/2函數與極限106函數的極限1234小結與練習函數極限的性質自變量趨向有限值時函數的極限自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限2023/9/2函數與極限107播放2023/9/2函數與極限108通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數學語言刻劃函數“無限接近”.2023/9/2函數與極限1092023/9/2函數與極限1102.另兩種情形:2023/9/2函數與極限1113.幾何解釋:2023/9/2函數與極限112例1證二、自變量趨向有限值時函數的極限2023/9/2函數與極限1132023/9/2函數與極限1142023/9/2函數與極限1152.幾何解釋:注意：2023/9/2函數與極限116例2證例3證2023/9/2函數與極限117例4證函數在點x=1處沒有定義.2023/9/2函數與極限118例5證2023/9/2函數與極限1193.單側極限:例如,2023/9/2函數與極限120左極限右極限2023/9/2函數與極限121左右極限存在但不相等,例6證三、函數極限的性質2023/9/2函數與極限1221.有界性2.唯一性2023/9/2函數與極限123推論3.不等式性質定理(保序性)2023/9/2函數與極限124定理(保號性)推論2023/9/2函數與極限1254.子列收斂性(函數極限與數列極限的關系)定義定理2023/9/2函數與極限126證2023/9/2函數與極限127例如,函數極限與數列極限的關系函數極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.2023/9/2函數與極限128例7證2023/9/2函數與極限129二者不相等,四、小結2023/9/2函數與極限130函數極限的統一定義(見下表)2023/9/2函數與極限131過程時刻從此時刻以后過程時刻從此時刻以后2023/9/2函數與極限132思考題2023/9/2函數與極限133思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.2023/9/2函數與極限134一、填空題:練習題2023/9/2函數與極限1352023/9/2函數與極限136練習題答案2023/9/2函數與極限137一、自變量趨向無窮大時函數的極限2023/9/2函數與極限138一、自變量趨向無窮大時函數的極限2023/9/2函數與極限139一、自變量趨向無窮大時函數的極限2023/9/2函數與極限140一、自變量趨向無窮大時函數的極限2023/9/2函數與極限141一、自變量趨向無窮大時函數的極限2023/9/2函數與極限142一、自變量趨向無窮大時函數的極限2023/9/2函數與極限143一、自變量趨向無窮大時函數的極限2023/9/2函數與極限144一、自變量趨向無窮大時函數的極限2023/9/2函數與極限145一、自變量趨向無窮大時函數的極限2023/9/2函數與極限146無窮大與無窮小1234小結與練習反函數無窮大無窮小一、無窮小2023/9/2函數與極限1471.定義:極限為零的變量稱為無窮小.2023/9/2函數與極限148例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數.2023/9/2函數與極限1492.無窮小與函數極限的關系:證必要性充分性2023/9/2函數與極限150意義1.將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質:定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數和仍是無窮小.證2023/9/2函數與極限151注意

無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小.2023/9/2函數與極限152定理3有界函數與無窮小的乘積是無窮小.證2023/9/2函數與極限153推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小二、無窮大2023/9/2函數與極限154絕對值無限增大的變量稱為無窮大.2023/9/2函數與極限155特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.2023/9/2函數與極限156不是無窮大．無界，2023/9/2函數與極限157證三、無窮小與無窮大的關系2023/9/2函數與極限158定理4在同一過程中,無窮大的倒數為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數為無窮大.證2023/9/2函數與極限159意義

關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.四、小結2023/9/2函數與極限1601、主要內容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮小（大）是變量,不能與很小（大）的數混淆，零是唯一的無窮小的數；（2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.2023/9/2函數與極限161思考題2023/9/2函數與極限162思考題解答不能保證.例有2023/9/2函數與極限163一、填空題:練習題2023/9/2函數與極限1642023/9/2函數與極限165練習題答案一、極限運算法則2023/9/2函數與極限167定理證由無窮小運算法則,得2023/9/2函數與極限1682023/9/2函數與極限169推論1常數因子可以提到極限記號外面.推論2有界，二、求極限方法舉例2023/9/2函數與極限170例1解2023/9/2函數與極限171小結:2023/9/2函數與極限172解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得例22023/9/2函數與極限173解例3(消去零因子法)2023/9/2函數與極限174例4解(無窮小因子分出法)2023/9/2函數與極限175小結:無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.2023/9/2函數與極限176例5解先變形再求極限.2023/9/2函數與極限177例6解2023/9/2函數與極限178例7解左右極限存在且相等,三、小結2023/9/2函數與極限1791.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限.2023/9/2函數與極限180思考題

在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？2023/9/2函數與極限181思考題解答沒有極限．假設有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設錯誤．2023/9/2函數與極限182一、填空題:練習題2023/9/2函數與極限183二、求下列各極限:2023/9/2函數與極限1842023/9/2函數與極限185練習題答案一、無窮小的比較2023/9/2函數與極限187例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限2023/9/2函數與極限188定義:2023/9/2函數與極限189例1解例2解2023/9/2函數與極限190常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數的近似表達式:例如,二、等價無窮小替換2023/9/2函數與極限191定理(等價無窮小替換定理)證2023/9/2函數與極限192例3解不能濫用等價無窮小代換.對于代數和中各無窮小不能分別替換.注意2023/9/2函數與極限193例4解解錯2023/9/2函數與極限194例5解三、小結2023/9/2函數與極限1951.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比較.2.等價無窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.2023/9/2函數與極限196思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？2023/9/2函數與極限197思考題解答不能．例當時都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當時2023/9/2函數與極限198練習題2023/9/2函數與極限1992023/9/2函數與極限2002023/9/2函數與極限201練習題答案2023/9/2函數與極限202一、函數的連續性2023/9/2函數與極限2041.函數的增量2023/9/2函數與極限2052.連續的定義2023/9/2函數與極限2062023/9/2函數與極限207例1證由定義2知2023/9/2函數與極限2083.單側連續定理2023/9/2函數與極限209例2解右連續但不左連續,2023/9/2函數與極限2104.連續函數與連續區間在區間上每一點都連續的函數,叫做在該區間上的連續函數,或者說函數在該區間上連續.連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線.例如,2023/9/2函數與極限211例3證二、函數的間斷點2023/9/2函數與極限2122023/9/2函數與極限2131.跳躍間斷點例4解2023/9/2函數與極限2142.可去間斷點例52023/9/2函數與極限215解注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義,則可使其變為連續點.2023/9/2函數與極限216如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點.特點2023/9/2函數與極限2173.第二類間斷點例6解2023/9/2函數與極限218例7解注意不要以為函數的間斷點只是個別的幾個點.2023/9/2函數與極限219狄利克雷函數在定義域R內每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續,其余各點處處間斷.★★2023/9/2函數與極限220在定義域R內每一點處都間斷,但其絕對值處處連續.★判斷下列間斷點類型:2023/9/2函數與極限221例8解三、小結2023/9/2函數與極限2221.函數在一點連續必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區間上的連續函數;第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點(見下圖)2023/9/2函數與極限223可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx2023/9/2函數與極限224思考題2023/9/2函數與極限225思考題解答且2023/9/2函數與極限226但反之不成立.例但2023/9/2函數與極限227練習題2023/9/2函數與極限2282023/9/2函數與極限229練習題答案2023/9/2函數與極限230一、四則運算的連續性2023/9/2函數與極限232定理1例如,二、反函數與復合函數的連續性2023/9/2函數與極限233定理2嚴格單調的連續函數必有嚴格單調的連續反函數.例如,反三角函數在其定義域內皆連續.2023/9/2函數與極限234定理3證2023/9/2函數與極限235將上兩步合起來:2023/9/2函數與極限236意義1.極限符號可以與函數符號互換;例1解2023/9/2函數與極限237例2解同理可得2023/9/2函數與極限238定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,三、初等函數的連續性2023/9/2函數與極限239三角函數及反三角函數在它們的定義域內