1.1.2

空間向量的數量積運算第一章空間向量與立體幾何復習回顧1、共面向量定理及其作用2、平面向量的數量積

如果兩個向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實數對使平面向量及其線性運算空間向量及其線性運算推廣平面向量的數量積運算空間向量的數量積運算推廣一.兩個向量的夾角定義：已知兩個非零向量在空間任取一點O，則∠AOB叫做向量的夾角，記法：作范圍：一.兩個向量的夾角一.兩個向量的夾角思考1=思考2在正?ABC中，60°120°60°口訣：首首尾尾是夾角首尾相接找補角練習1.判斷(1)在銳角?ABC中，向量與的夾角等于向量與的夾角.( )(2)對于非零向量a，b，<a,b>=<a,-b>. ( )2.在如圖所示的正方體中，下列各對向量的夾角為45°的是（

）A√

設a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則（1）a·e＝e·a＝___________.（2）a⊥b?__________.

（3）當a，b同向時，a·b＝_________；當a，b反向時，a·b＝___________.（4）a·a＝_______或|a|＝_____.

（5）|a·b|≤_________.（6）cosθ＝_____.性質定義（垂直的判斷）（求向量模長）（求角度）以上性質說明,可以從向量角度有效地分析有關垂直、長度、角度等問題.

探究新知acb不能探究新知向量的數量積不滿足消去律不能

向量沒有除法運算，因為有兩種乘法：一是數量積a·b，二是向量積a×b，所以向量的除法沒有意義.探究新知不成立當a與c共線時，(a·b)·c＝a·(b·c)成立；當a與c不共線時，(a·b)·c≠a·(b·c).因此，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.向量的數量積不滿足乘法結合律.證明:探究新知回顧：在平面向量中，什么是投影？什么是投影向量？

ABA1B1CD

MM1ON

思考

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AA’BB’D'C'B'DABCA'例題講解例2如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求：lmng典例分析lmngABCC1A1B1B課堂練習BDACABCD空間向量的數量積空間兩個向量的夾角定義幾何意義運算律性質利用向量解決立體幾何問題的應用課堂小結

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思考（1）如何把已知的幾何元素轉化為向量表示？（2）一些未知的幾何元素能否用已知向量表示？（3）結論和已經表示出來的向量或其運算有何聯系？能否通過向量的運算獲得結論？（4）如何將向量運算的結果“翻譯”為幾何結論？共面向量定理方法一：向量法

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證明：

在直線l,g,m,n上取向量l,g,m,n因為m,n相交，所以m,n不平行，由共面向量定理得，存在唯一的實數對(x,y),使g=xm+ynl·g=l·xm+l·yn=x(l·m)+y(l·n)

glnmg【用向量解決幾何問題的常用方法（三部曲）】選擇恰當的向量表示問題中的幾何元素通過向量運算得出幾何元素的