.不確定度與數據處理一、 誤差與不確定度1．誤差與不確定度的關系（1）誤差：測量結果與客觀真值之差 x=x-A公認值—如物理常數等其中A稱為真值，一般不可能準確知道，常用約定真值代替：標準值—更高精度儀器測量結果理論值—理論公式計算結果對一個測量過程，真值A的最佳估計值是平均值x。在上述誤差公式中，由于A不可知，顯然x也不可知，對誤差的最佳估計值是不確定度u(x)。（2）不確定度：對誤差情況的定量估計，反映對被測量值不能肯定的程度。通常所說“誤差”一般均為“不確定度”含義。不確定度分為 A、B兩個分量，其中 A類分量是可用統計方法估計的分量，它的主要成分是隨機誤差。2．隨機誤差： 多數隨機誤差服從正態分布。定量描述隨機誤差的物理量叫標準差。（1）標準差與標準偏差標準差lim(xiA)2kk∵真值A不可知，且測量次數 k為有限次 ∴ 實際上也不可知，于是：用標準偏差S代替標準差(xix)2：S(x)——單次測量的標準偏差k1結果表述：xS(x)（置信概率68.3%）i真值的估計值 單次測量標準差最佳估計值S(x)的物理意義：在有限次測量中，每個測量值平均所具有的標準偏差。 （并不是只做一次測量）通常不嚴格區分標準差與標準偏差，統稱為標準差。2）平均值的標準差真值的最佳估計值是平均值，故結果應表述為：S(x)（置信概率68.3%）真值的最佳估計值 平均值的標準差最佳估計值其中S(x)(xix)2——平均值的標準偏差k(k1)例1：某觀察量的n次獨立測量的結果是X1,X2,,Xn。試用方差合成公式證明平均值的標準偏差是樣本標準偏差的S(X)。1，即S(X)nn解：Xi由題知Xi相互獨立，則根據方差合成公式有u2(X1)u2(Xn)Xu(X)nn利用樣本標準偏差的定義，可知u(Xi)=S(X)i=1,2,,n故S2(X)S2(X)nS2(X)S(X)u(X)S(X)nnn3．系統誤差與儀器誤差（限）1）系統誤差：在同一被測量的多次測量過程中，保持恒定或以可以預知方式變化的那一部分誤差稱為系統誤差。已被確切掌握了其大小和符號的系統誤差，稱為可定系統誤差；對大小和符號不能確切掌握的系統誤差稱為未定系統誤差。前者一般可以在測量過程中采取措施予以消除或在測量結果中進行修正；而后者一般難以作出修正，只能估計出它的取值范圍。在物理實驗中，對未定系統誤差的估計常常利用儀器誤差限來進行簡化處理。Word文檔.2）儀器誤差（限）：由國家技術標準或檢定規程規定的計量器具的允許誤差或允許基本誤差，經過適當簡化稱為儀器誤差限，用以代表常規使用中儀器示值和（作用在儀器上的）被測真值之間可能產生的最大誤差。常用儀器的儀器誤差（限） ：①長度測量儀器：游標卡尺的儀器誤差限按其分度值估計；鋼板尺、螺旋測微計的儀器誤差限按其最小分度的1/2計算。②指針式儀表：儀＝a%Nm式中Nm是電表的量程，a是準確度等級。數字儀表：△＝a%Nx+b%Nm或△＝a%N+n字儀儀x式中a是數字式電表的準確度等級，N是顯示的讀數，b是誤差的絕對項系數，Nm是儀表的滿度值，n代表儀器固定項x誤差，相當于最小量化單位的倍數。R0③電阻箱：儀＝ai%Rii式中R0是殘余電阻，Ri是第i個度盤的示值，ai是相應電阻度盤的準確度級別。④直流電位差計：△儀＝a%(UxU0)10式中a是電位差計的準確度級別，Ux是標度盤示值，U0是有效量程的基準值，規定為該量程中最大的10的整數冪。直流電橋：△儀＝a%(RxR0)10式中Rx是電橋標度盤示值，a是電橋的準確度級別，R0是有效量程的基準值，意義同上。（3）B類不確定度的處理在物理實驗中，B類不確定度的來源通常包括以下三種：儀器誤差儀、靈敏度誤差靈和估計誤差限估。其中靈敏度誤差可表示為0.20.2。靈n/SxB類不確定度與各種誤差限之間的關系為 ub 。34．不確定度的合成（1）直接測量 x：ua(x)，ub(x)則u(x)ua2(x)ub2(x)（稱為合成不確定度）（2）間接測量y=(,x,,x)其中x,x,,x為相互獨立的直接測量量112n2n則u(y)(f)2u2(xi)或u(y)(lnf)2u2(xi)ixiyixi（3）最終結果表述形式：()=（單位）NuN結果有效數字的確定原則：①不確定度u(N)只保留一位有效數字；②測量結果N與不確定度u(N)小數位數對齊。A例2：用分光計測棱鏡材料的折射率公式為nsin2。已測得A''，黃光（汞燈光源）所對應的'=602=5058sinA023'，則黃光所對應的折射率nu(n)=1.64790.0007。sinA2sin6005058AA解：n21.6479lnnlnsinA6002lnsinsinsin222dncosA(1dA1d)cosA1dA1AA1A22222)dActgdnAA(ctg2ctg22sin222sin2u(n)1(ctgActgA)2u2(A)1ctg2A2u2()n42241(ctg6005058ctg600)2(2180)21ctg26005058(3180)20.000426422604260Word文檔.u(n)nu(n)1.64790.0004260.0007∴nu(n)=1.64790.0007n5．有效數字及其運算法則（1） 有效數字：由若干位可靠數字加一位可疑數字構成。在不計算不確定度的情況下，結果的有效數字由運算法則決定。2）運算法則①加減法：以參加運算各量中有效數字最末一位位數最高的為準并與之取齊。N=A+B-C-D，則 u(N) u2(A)u2(B)u2(C)u2(D)取決于u(A)、u(B)、u(C)、u(D)中位數最高者，最后結果與之對齊。②乘除法：以參加運算各量中有效數字最少的為準，結果的有效數字個數與該量相同。NAB，則2222u(N)u(A)u(B)u(C)u(D)CDNABCD取決于其中相對不確定度最大者，即有效數字個數最少者。③混合四則運算按以上原則按部就班執行。例3：某物理量的計算公式為Yk，其中k為常數，1.6為準確數，H≈16cm，d=0.1500cm。若使Y1.6d/H1的表示式中分母的值具有4位有效數字，正確測H的方法是（d）。(a)用游標卡尺估讀到cm千分位(b)用米尺估讀到cm百分位(c)用米尺只讀到mm位(d)用米尺只讀到cm位1.6d1.60.1500分母11.6d解：0.0151.015為4位有效數字H16H即H只需2位有效數字即可，故應選(d)。④特殊函數的有效數字：根據不確定度決定有效數字的原則，從不丟失有效位數的前提出發，通過微分關系傳播處理。例4：tg452'=1.00116423最多可取幾位有效數字？解：令y=tgx，其中x=452'取x110.00029(rad)60180則y110.000290.00058即小數點后第四位產生誤差x45cos2xcos22tg452'=1.0012，有五位有效數字。例5：雙棱鏡測波長的計算公式為xbb，對實驗數據進行處理的計算結果如下表所示。SSx=0.28144mmb=5.9325mmb'=0.7855mmS=27.65cmS'=75.90cm-4m(b)/b=0.025(b')/b'=0.025(S)=0.5cm(S')=0.5cmu(x)=2.01010(b)=0.005m(b')=0.005m(S')=0.05cmm(S)=0.05cmmm注：下標1代表來自方法誤差，下標2代表來自儀器誤差。要求：（1）給出測量結果的正確表述（包括必要的計算公式）。2）定量討論各不確定度的分量中，哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是可以忽略的？如果略去次要因素和可以忽略項的貢獻，不確定度的計算將怎樣簡化？結果如何？解：（1）xbb0.281445.93250.78555.86716104mmSS(276.5759.0)Word文檔.lnlnx1lnb1lnbln(SS)dd(x)dbdbdSdS22x2b2bSSSSu()u(22u(b)222x)u(b)u(S)u(S)0.0111x2b2bSSSS其中u(x)2.0101040.000714；x0.28144u1(b)1(b)/311(b)0.0250.007222222b2b23b23u(b)u1(b)u2(b)u2(b)2(b)/30.0050.0002432b2b2b2b2b25.93253u1(b)1(b)/311(b)0.0250.007222222b2b23b23u1(b)u(b)u2(b)u2(b)2(b)/30.0050.001842b2b2b2b2b20.78553u1(S)1(S)/30.50.00279222SSSS(27.6575.90)3u(S)u1(S)u2(S)u2(S)2(S)/30.050.000279SSSSSSSSSS(27.6575.90)3u1(S)1(S)/30.50.00279222SSSS(27.6575.90)3u(S)u1(S)u2(S)u2(S)2(S)/30.050.000279SSSSSSSSSS(27.6575.90)3于是得u()=u()5.867161040.0111=6.5310-6mmu()=5877nm（2）由前面的計算可知，不確定度主要來自u1(b)和u1(b)，次要因素是u2(b)、u1(S)和u1(S)，可以忽略的因u(x)u2(b)u2(S)u2(S)2b2b2bSSSS、。素是、S和SSx2bSu()22(b)若只考慮主要項的貢獻：u1(b)u1(b)12b2b0.01026b則有u()=6nmu()=5876nm比嚴格計算的結果稍小但相差無幾。二、數據處理方法1．列表法：按一定規律把數據列成表格。列表原則：1）表格的標題欄中注明物理量的名稱、符號和單位；2）記錄原始數據（如記錄刻度數，而不是記錄長度）；3）簡單處理結果（如算出長度）或函數關系；（4）參數和說明（如表格名稱、儀器規格、環境參數、常量以及公用單位等） 。2．作圖法：把實驗數據用自變量和因變量的關系作成曲線，以便反映它們之間的變化規律或函數關系。作圖要點：（1）原始數據列表表示——見列表法；（2）用坐標紙作圖，圖紙大小以不損失有效數字和能包括所有點為最低要求，因此至少應保證坐標紙的最小分格（通常為1mm）以下的估計位與實驗數據中最后一位數字對應；（3）選好坐標軸并標明有關物理量的名稱（或符號）、單位和坐標分度值。其中分度比例一般取1、2、5、10Word文檔.較好，以便于換算和描點；（4）實驗數據點以+、×、、、△等符號標出，一般不用細圓點“·”標示實驗點；光滑連接曲線并使實驗點勻稱地分布于曲線兩側（起平均的作用）；（5）圖解法求直線斜率和截距時，應：在線上取點（不能使用實驗點）；所取兩點要相距足夠遠（以提高精度）；在圖上要注明所取點的坐標。24.26例6：拉伸法測彈性模量的載荷——伸長曲線如圖所示，圖上至少有5處繪制錯誤或23.64不規范。它們是坐標軸應標注物理量和單位，軸上缺少分度值，實驗點應以醒目標記標出，曲線應光滑連接，計算點坐標標注不規范。1.442.163．最小二乘法與一元線性回歸法1）最小二乘法：對等精密度測量若存在一條最佳的擬合曲線，那么各測量值與這條曲線上對應點之差的平方和應取極小值。例7：試用最小二乘原理推導直線方程y=kx中回歸系數k的計算公式。nkxi)2解：根據最小二乘原理應有(yimini1nnnn即(yikxi)202(yikxi)(xi)0xiyikxi20ki1i1i1i1于是得kxiyixyxi2x2（2）一元線性回歸法： 設直線方程 y=a+bx，其中自變量 x的誤差可略k由最小二乘原理，應有i[yi(a1k(abxi)]2kai[yi0i2[yi11即kk(abxi)]2bi[yi02[yi1i1xiyikxiyibkxi2解之得(xi)2xiyixiyiyxi2ax)2kx2(ii

bxi)]2minkk(abxi)](1)0akbxiyii1i1(abx)](x)0kxkx2kyiabxiiii111ixyxyx2x2ybx（3）相關系數r：用于檢驗x和y之間是否存在線性關系。rxyxy(x2x2)(y2y2)Word文檔.r1通過全部實驗點yabxr1xi、yi之間線性相關強烈r物理意義r0yi隨xi增加而增加r0yi隨xi增加而減小r0xi、yi之間無線性關系擬合直線為與x軸平行的直線例8：根據所給相關系數r作出實驗點分布草圖：①=-1②r=0.9993③=0.015rryyyx x x（4）回歸法使用要點：①自變量x測量誤差可略，即應選擇測量精度較高的物理量作自變量；②因變量y為等精度測量或近似等精度測量，即 u(yi)近似相等；③作線性關系的檢驗 ：利用物理規律或作圖等其它方法確認線性關系的存在；或檢驗相關系數是否滿足 |r|1。例9：實驗線路及測量數據如下，用一元線性回歸法計算電壓表內阻R（寫出計算公式即可）。VERRVR()20.050.0100.0200.0300.0400.0V(V)2.802.722.602.382.202.04V解：根據線路圖可得EVRRVERVRRVRVVu(R)~0.1，0.10.005，1R20.0400.00.00025精度：可知R的精度較高計算R、u(1/V)u(V)0.01，0.01，V0.00361/VV~2.040.0052.80故將公式變形為11R1令1yRx并設直線方程y=+VERVEVabxa11aRVa則有bERVRV∴bE4．逐差法（1）測量次數為偶數的逐差法設自變量和因變量之間存在線性關系yabx，并有一組實驗數據：x1,,xn,xn1,x2ny1,,yk,yn1,；y2n隔n項逐差，可得到byn1y1,,bny2nyn取平均值b1nbi1nyniyi。1xn1x1x2nxnni1ni1xnixi對于自變量x等間隔分布的情況，有xnixinx于是b1n(yniyi)nxin1求得b后，可由公式yiabxi求出ayibxiWord文檔.例10：已知R=R(1+t)，實驗數據如下，用逐差法求電阻溫度系數（不要求計算不確定度）。0t(℃)85.080.075.070.065.060.055.050.0R()0.36220.35650.34990.34370.33800.33240.32700.3215解：=+Rt并設=+bx則有a=Rb=R=a0000即b而利用逐差法可得：ai1234平均t=ti+4-ti(℃)20.020.020.020.020.0R=R-R()0.02420.02410.02290.02220.02335i+4i于是有bR0.023350.0011675t20.0a1(Rbt)1n(2.73120.0011675540.0)0.26268故b0.00116754.45103（1/℃）0.2626例11：邁克爾遜干涉儀實驗數據處理條紋吞吐n0100200300400M2鏡位置X(mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300條紋吞吐n500600700800900M2鏡位置X(mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.77085解法一：由逐差法可得i12345平均dN=ni+5-ni500500500500500500=Xi+5-X(mm)0.161600.160500.159700.158850.157850.15970500i2d50020.15970u()22u(d500)u(N)N638.8(nm)d500N500ua(d500)(did500)20.000648(mm)ua2(d500)54u(d500)ub2(d500)其中0.00005ub(d500)0.0000289(mm)0.53u(N)0.289ub(N)3220.00064820.2892于是u()u(d500)u(N)2.6(nm)d500638.80.1597025002N故u()=6393(nm)解法二：由逐差法可得i12345平均N'=(ni+5-ni)/5100100100100100100d100=(Xi+5-Xi)/50.0323200.0321000.0319400.0317700.0315700.031940(mm)Word文檔.2d10020.031940u()u(d100)2u(N)2N638.8(nm)d100N100ua(d100)(did100)2u(d100)ua2(d100)ub2(d100)540.000130(mm)其中0.000050.00000577(mm)ub(d100)30.55u(N)ub(N)0.057753220.00013020.05772于是u(u(d100)u(N))d100N638.8210022.6(nm)0.031940故u()=6393(nm)2）測量次數為奇數的逐差法處理原則：去掉中間的數據。例12：重新處理邁克爾遜干涉儀實驗數據條紋吞吐n0100200300400M2鏡位置X(mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300條紋吞吐n5006007008009001000M2鏡位置X(mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.7708534.80280解：去掉中間的數據后為條紋吞吐n0100200300400M2鏡位置X(mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300條紋吞吐n6007008009001000M2鏡位置X(mm)34.6763534.7080034.7394534.7708534.80280由逐差法可得i12345平均N=ni+6-ni600