兩個計數原理集體備課記錄胡茂梅第7周2013-4-10，沂水縣第三中學高二數學組集體備課主備人田德清。課題：分類加法計數原理與分步乘法計數原理目標：理解兩個計數原理，能夠應用解決簡單問題，培養學生歸納概括能力，實現“以學生為中心”的理念，感受數學的人文價值，提高學習興趣，體會數學學習的美感。教學過程：通過實例激發學生的興趣，引導學生從數學角度發現問題，正確使用數學語言表達問題，形成一定的數學應用意識。同時，讓學生在自主探索和合作交流中獲得新知識，感受探索數學的樂趣和成功體驗，培養學生實事求是的科學態度和鍥而不舍的探索精神。重點難點：分類加法計數原理與分步乘法計數原理的準確理解。教學方法：群策群力，集思廣益，通過“自主、合作與探究”實現教學目標。下面是一些練習題：9.設a∈Z，且≤a＜13，若512012＋a能被13整除，則a＝？10.將字母a,a,b,b,c,c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，有幾種排列方式？6.將2名教師和4名學生分成2個小組，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有幾種？7.若從1,2,2,…,9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有幾種？8.方程ay＝b22x＋c中的a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有幾條？本次備課的主題是分類加法計數原理與分步乘法計數原理。通過學習這兩個原理，我們的目標是讓學生理解它們的含義，并能夠應用解決簡單的問題。同時，我們也希望培養學生的歸納概括能力，實現“以學生為中心”的教學理念，讓學生感受到數學的人文價值，提高學習興趣，體會數學學習的美感。在教學過程中，我們將通過實例來激發學生的興趣，引導學生從數學角度發現問題，并正確使用數學語言表達問題。同時，我們也會讓學生在自主探索和合作交流中獲得新知識，感受探索數學的樂趣和成功體驗，培養學生實事求是的科學態度和鍥而不舍的探索精神。為了達到我們的教學目標，我們需要重點關注分類加法計數原理與分步乘法計數原理的準確理解，這也是本次備課的難點。在教學方法上，我們將采用群策群力的方式，集思廣益，通過“自主、合作與探究”實現教學目標。下面是一些練習題：9.設a∈Z，且≤a＜13，若512012＋a能被13整除，則a＝？10.將字母a,a,b,b,c,c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，有幾種排列方式？6.將2名教師和4名學生分成2個小組，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有幾種？7.若從1,2,2,…,9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有幾種？8.方程ay＝b22x＋c中的a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有幾條？“加法原理與乘法原理”是數學中基本的計數原理，它們是從大量的實踐經驗中歸納出來的基本規律，具有廣泛的應用性。這兩個原理不僅是推導排列數、組合數計算公式的理論依據，而且是培養學生數學應用意識和實踐能力的良好素材。正確使用這兩個基本原理的前提是使學生分清楚它們的使用條件：分類用加法原理，分步用乘法原理。這兩個原理也是幫助學生發展思維能力，培養學生周密思考、細心分析的良好習慣的好素材。在學習分類加法計數原理和分步乘法計數原理時，首先要理解它們的基本概念和應用方法。分類加法計數原理是指將一個問題分成若干個互不相交的部分，分別計算每個部分的方案數，再將各部分的方案數相加得到總方案數的計數原理。分步乘法計數原理是指將一個問題分成若干個步驟，每個步驟的方案數相乘得到總方案數的計數原理。正確使用分類加法計數原理和分步乘法計數原理可以幫助學生分析和解決一些簡單的實際問題，如乒乓球比賽中各種輸贏情況的可能性、從不同顏色的卡片中選出三張不同顏色的卡片的方案數等等。因此，掌握這兩個原理是本章內容的教學要求。本文介紹了分類加法計數原理和分步乘法計數原理的基本概念和應用。其中包括以下幾個實例：1.在一個二元組中，第一個元素取自集合{1,2,3,4,5,6}，第二個元素取自集合{1,2,3}，且兩個元素不能同時為偶數。問這樣的二元組有多少個？解：根據分類加法計數原理，可以將問題分為兩類，即第一個元素為奇數和第一個元素為偶數兩類。對于第一類，有6個選擇；對于第二類，有3個選擇。因為兩個元素不能同時為偶數，所以第一類中只有3個選擇。所以，總共有6×3-3=15個二元組滿足條件。2.在一個直角坐標系中，橫坐標取自集合{0,1,2,3,4,5}，縱坐標取自集合{1,4,5,6}，且橫坐標和縱坐標不能同時為偶數。問有多少個點滿足條件？解：根據分步乘法計數原理，可以將問題分為兩步。第一步是選擇橫坐標，有6個選擇；第二步是選擇縱坐標，有4個選擇。因為橫坐標和縱坐標不能同時為偶數，所以只有在第一步選擇偶數時，第二步才有3個選擇。所以，總共有(6×3)+(3×2)=24個點滿足條件。3.在方程x+a=2b+c中，a、b、c取自集合{-2,0,1,2,3}，且a、b、c互不相同，問有多少個方程滿足條件？解：根據分步乘法計數原理，可以將問題分為三步。第一步是選擇a，有5個選擇；第二步是選擇b，有4個選擇；第三步是選擇c，有3個選擇。因為a、b、c互不相同，所以第二步只有在選擇完a后，才有3個選擇；第三步只有在選擇完a和b后，才有2個選擇。所以，總共有5×3×2=30個方程滿足條件。4.一個口袋內裝有5個小球，另一個口袋內裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同，從兩個口袋內分別取1個小球有20種取法。解：根據分類加法計數原理，可以將問題分為兩類，即第一個小球來自哪個口袋和第二個小球來自哪個口袋兩類。對于第一類，有5種選擇；對于第二類，有4種選擇。因為兩個口袋內的小球顏色互不相同，所以總共有5×4=20種取法。5.一種號碼撥號鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數字，這4個撥號盤可以組成10,000個四位數號碼。解：根據分步乘法計數原理，可以將問題分為四步。每個撥號盤上的數字有10種取法，所以第一步有10個選擇；第二步也有10個選擇；第三步還有10個選擇；第四步同樣有10個選擇。因為是四位數號碼，所以總共有10×10×10×10=10,000個號碼。Step1:從A村到B村有36種方法，具體計算方法為8+7+6+5+4+3+2+1=36。Step2:已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，求方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解法。Step3:從C村到D村的方法數未知。因此，無法確定從A村到D村的總方法數。問題1、問題2的相同點是完成一件事情，不同點是問題1是分類加法，問題2是分步乘法。2、兩個基本計數原理：①分類加法計數原理：完成一件事情可以分為n類，每類有mi種方法。則完成這件事共有N種方法。②分步乘法計數原理：完成一件事情需要經過n個步驟，每個步驟相互依存。則完成這件事共有N種方法。3、有一項活動需從3名老師、8名男同學和5名女同學中選人參加。若只需一人參加，則有16種不同的選法。若需老師、男同學、女同學各一人參加，則有3×8×5=120種不同的選法。若需一名老師和一名學生參加，則有3×(8+5)=39種不同的選法?；A檢測備注：1、完成一項工作有兩種方法，其中5個人只會第一種方法，另外4個人只會第二種方法。若從9個人中選1個人完成這項工作，則有9種不同的選法。2、在1,2,3，···，200中，能夠被5整除的數共有40個。3、在平面直角坐標系中，確定若干點，點的橫坐標取自集合P={1,2,3}，縱坐標取自集合Q={4,5,6}。則確定的點的總數為9。本文介紹了兩個基本原理的運用：分步乘法計數原理和加法原理。首先通過一個書架上放置不同書籍的例子，讓學生理解了如何使用加法原理計算不同的取法。然后通過命名程序模塊和RNA分子的例子，讓學生學會如何使用分步乘法計數原理解決問題。在例1中，學生需要用3個字符給程序模塊命名，其中首字符要求使用字母A—G或U—Z，后兩個要求使用數字。通過分析可以得知，命名程序模塊可以分成三個步驟：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后字符。而首字符又包含兩類。關鍵是讓學生體會到數字符可以重復，因此第2步與第3步都有9種方法。同時，提示學生可以建立不同的模型，探索不同的解法。在例2中，學生需要計算由100個堿基組成的RNA分子的不同種數。每一個位置都可以從A、C、G、U中任意選一個填入，每一個位置有4種填充的方法。所以由分步乘法計數原理，可知分子數目有4×4×4×4=4100種。師可以讓學生體會生活中的事例，同時讓學生體會可重復排列的問題的特點。1.有三個人需要去5間工廠參加社會實踐，問有多少種分配方案？分析：每個人均有5種可能性，按分步乘法計數原理，N=5^3=125種分配方案。2.計算機內部采用了每一位只有0或1兩種數字的記數法，為使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼。每一個字符可以用一個或多個字節來表示，其中字節是計算機中數據儲存的最小計量單位，每個字節由8個二進制位構成。問：（1）一個字節（8位）最多可以表示多少個不同的字符？（2）GB碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節表示？分析：每一位置只有兩個可能：0或1。因此可以用分步乘法原理來求解本題。解：（1）每一個字節共有2^8=256種選擇；（2）2個字符可以表示256×256=65536個不同的字符，這已經大于6763。所以至少用2個字節即可。3.某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照都必須有3個不重復英文字母和3個不重復的阿拉伯數字，并且3個字母必須合成一組出現，3個數字也必須合成一組出現。那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？分析：應該分成兩類，字母+數字或數字+字母。第一類時，在分成6步，依次可以算出每一個位置的選法。再同理可以計算第2類的選法。解：將汽車牌照分為2類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右。字母組合在左時，分6個步驟確定一個牌照的字母和數字：第1步，從26個字母中選1個，放在首位，有26種選法；第2步，從剩下25個字母中選1個，放在第2位，有25種選法；第3步，從剩下24個字母中選1個，放在第3位，有24種選法；第4步，從10個數字中選1個，放在第4位，有10種選法；第5步，從剩下的9個數字中選1個，放在第5位，有9種選法；第6步，從剩下的8個數字中選1個，放在第6位，有8種選法；根據分步乘法計數原理，26×25×24×10×9×8=11,232,000。同理，字母組合在右牌照也有11,232,000個。所以，共能給11,232,000+11,232,000=22,464,000輛汽車上牌照。、C三類方法，若A方法有m種，B方法有n種，C方法有p種，則完成一件事的總方法數為m+n+p。（3）分類加法計數原理常與分步乘法計數原理結合使用，即先按照某種標準分類，再在每一類中應用分步乘法計數原理。例如上面例1中，按照十位數的不同情況分類后，再在每一類中按個位數的不同情況應用分步乘法計數原理。（4）在解決實際問題時，應根據具體情況選擇分類的標準，分類的方法可能有多種，要根據實際情況選擇合適的方法。同時，要注意刪除明顯有問題的段落，避免干擾閱讀理解。注意到每個點的坐標都是由兩個數字組成的，因此可以將問題分解為兩個步驟：先選取橫坐標，再選取縱坐標。對于第一步，有6種選法（從集合M中選取一個數作為橫坐標），對于第二步，也有6種選法（從集合M中選取一個數作為縱坐標）。因此，根據分步乘法計數原理，共有6×6=36種不同的點。對于第二問，第二象限的點滿足橫坐標為負數，縱坐標為正數，因此在第一步中只有3種選法（從集合M中選取一個負數作為橫坐標），在第二步中只有2種選法（從集合M中選取一個正數作為縱坐標）。因此，根據分步乘法計數原理，共有3×2=6個第二象限的點。對于第三問，直線y=x上的點滿足橫坐標和縱坐標相等，因此只需要從集合M中選取一個數作為坐標即可，有6種選法。因此，共有36-6=30個不在直線y=x上的點。分步乘法計數原理是一種解決需要分成多個步驟，每個步驟都有多種不同方法的計數問題的方法。例如，在解析幾何中，我們可以先選取橫坐標，再選取縱坐標，從而計算出平面上不同的點的數量。此外，分步乘法計數原理還可以用于計算特定區域內的點的數量，例如第二象限或不在某條直線上的點。確定平面上的點P(a,b)的方法：首先確定a的值，有6種確定方法；然后確定b的值，也有6種確定方法。根據分步乘法計數原理，得到平面上的點數是6×6=36。確定第二象限的點的方法：首先確定a，由于a<0，所以有3種確定方法；然后確定b，由于b>0，所以有2種確定方法。根據分步乘法計數原理，得到第二象限點的個數是3×2=6。點P(a,b)在直線y=x上的充要條件是a=b。因此a和b必須在集合M中取同一元素，共有6種取法，即在直線y=x上的點有6個。根據第一問的結果，不在直線y=x上的點共有36-6=30個。已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2}，若a、b、c∈M，則：(1)y=ax^2+bx+c可以表示180個不同的二次函數。因為a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況。(2)y=ax^2+bx+c的開口向上時，可以表示72個圖象開口向上的二次函數。因為a的取值有2種情況，b和c的取值均有6種