2.2.2反證法反證法東平一中2.2直接證明與間接證明2023/8/30復習1.直接證明的兩種基本證法：綜合法和分析法2.這兩種基本證法的推證過程和特點：由因導果執果索因3、在實際解題時，兩種方法如何運用？通常用分析法尋求思路，再由綜合法書寫過程綜合法已知條件結論分析法結論已知條件2023/8/30本節重點：反證法概念的理解以及反證法的解題步驟．本節難點：應用反證法解決問題．

教學目標1．知識與技能結合實例的間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程與特點．2．過程與方法了解反證法的特點、增強應用反證法證明的能力．3．情感、態度與價值觀培養學生的數學素養，發展學生的數學思維能力．2023/8/30前言：推理與證明是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。反證法是繼前面學習完推理知識后，證明方法中的一種（間接證明問題的）基本方法，它彌補了直接證明的不足，完善了證明方法，有利于培養逆向思維能力。2023/8/30王戎不取路邊李王戎七歲的時候，曾經與小朋友們一起玩耍。他們見路邊有棵李樹，結了很多李子把枝條都壓彎了，那些小朋友都爭先恐后地跑去摘，只有王戎沒有動。有孩子問他為什么不去摘李子，王戎回答說：“這樹長在大路邊上，還有這么多李子，這李子一定是苦的。”孩子們摘來一嘗，果然是這樣。[1]?2023/8/30將9個球分別染成紅色或白色。那么無論怎樣染，至少有5個球是同色的。你能證明這個結論嗎？假設有某種染法使紅色球和白色球的個數都不超過4，則球的總數不應超過8，這與球的總數是9相矛盾假設不正確，因此，無論怎樣染至少有5個球是同色的思考：探究：思考1：掀起你的蓋頭來——認識反證法2023/8/30思考2：A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。則C必定是在撒謊，為什么？分析:假設C沒有撒謊,則C真.那么A假且B假;由A假,知B真.這與B假矛盾.那么假設C沒有撒謊不成立;則C必定是在撒謊.2023/8/301．反證法的定義一般地，假設原命題不成立，經過

，最后得出

，因此說明假設

，從而證明了原命題

，這樣的證明方法叫做反證法．反證法是

的一種基本方法．2．反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與

矛盾，或與

矛盾，或與定義、公理、

、

矛盾等．正確的推理矛盾錯誤成立間接證明已知條件假設定理事實反證法的思維方法：正難則反2023/8/301．反證法證明數學命題的四個步驟：第一步：分清命題的條件和結論；第二步：做出與命題結論相矛盾的假設；第三步：由假設出發，應用演繹推理方法，推出矛盾的結果；第四步：斷定產生矛盾結果的原因，在于開始所做的假設不真，于是原結論成立，從而間接地證明了命題為真．2.常見的主要矛盾有：(1)與數學公理、定理、公式、定義或已被證明了的結論相矛盾；(2)與假設矛盾；(3)與公認的簡單事實矛盾．探究2：深度挖掘——了解反證法2023/8/303．反證法適宜證明存在性、唯一性、帶有“至少有一個”或“至多有一個”等字樣的一些數學問題．4．用反證法證明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面為“<”；“≤”的反面為“>”；“>”的反面為“≤”；“<”的反面為“≥”；“≠”的反面為“＝”；“＝”的反面為“≠”或“>及<”．5．反證法屬于邏輯方法范疇，它的嚴謹體現在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一個否定是指“否定結論(假設)”；第二個否定是指“邏輯推理結果否定了假設”．反證法屬于“間接證明方法”，書寫格式易錯之處是“假設”錯寫成“設”．2023/8/30

常見的“結論詞”與“反設詞”如下：原結論詞反設詞原結論詞反設詞至少有一個一個也沒有對所有x成立存在某個x不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x成立至少有n個至多有n－1個p∨q(?p)∧(?q)至多有n個至少有n＋1個p∧q(?p)∨(?q)2023/8/30例1（課本例題7）已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。分析：要說明兩個方面存在性和唯一性；唯一性時可以用反證法探究3常見典型題目類型總結：2023/8/30證明；(存在性）a≠0，方程ax=b至少有一個根x=b/a。（以下為唯一性）2023/8/302023/8/30[例2]求證：一個三角形中，至少有一個內角不小于60°.[證明]

假設△ABC的三個內角A、B、C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.

相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.

這與三角形內角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小于60°的假設不能成立，從而一個三角形中，至少有一個內角不小于60°.2023/8/302023/8/30解：假設，a,b,c都小于等于0a+b+c=x2_2y+π/2+y2-2z+π/3+z2-2x+π/6=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3

>0所以a+b+c

>0這與a,b,c都小于等于0矛盾，假設不成立，原命題成立2023/8/30[說明]

(1)反證法是利用原命題的否定不成立則原命題一定成立來進行證明的，在使用反證法時，必須在假設中羅列出與原命題相異的結論，缺少任何一種可能，反證法都是不完全的．(2)對于否定性命題或結論中出現“至多”、“至少”、“不可能”等字樣時，常用反證法．2023/8/30練習2變形練習題講解：練習1假設B不是銳角練習2假設可以成等差數列2023/8/301、直接證明困難，原因何在？原因：①情況很多，分類討論②條件太少直接證明找不到突破口反證法主要用于以下兩種情形：1、要證的結論和條件之間的聯系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰。2、如果從正面證明，需要分成多種情況進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形。對于“不可能，至少，唯一性”等題目常用課堂小結：2023/8/30我來告訴你

1.存在性問題2.否定性問題3.唯一性問題4.至多、至少類問題5.一些基本命題、基本定理哪些問題適宜用反證法總之，直接證明比較困難的命題大家議一議！2023/8/30[規律方法]

當結論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適于應用反證法．例如證明異面直線，可以假設共面，再把假設作為已知條件推導出矛盾．2023/8/30名家情系反證法

反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具。牛頓說：“反證法是數學家最精當的武器之一”。英國數學家哈代也曾這樣稱贊它：“反證法是數學家最有力的一件武器，比起象棋開局時犧牲一子以取得優勢的讓棋法，它還要高明。象棋對弈者不外乎犧牲一卒或頂多一子，數學家索性把全局拱手讓給對方！”2023/8/30---德國數學家希爾伯特說，禁止數學家使用反證法，就象禁止拳擊家使用拳頭。

同學們，學了這節課，你們有何體會？反思與收獲你能談談舉反例與反證法的聯系和區別嗎？2023/8/30拓展閱讀—反證法典型例子證明：素數有無窮多個。這個古老的命題最初是由古希臘數學家歐幾里德(EuclidofAlexandria，生活在亞歷山大城,約前330～約前275,是古希臘最享有盛名的數學家)在他的不朽著作《幾何原本》里給出的一個反證法：假設命題不真，則只有有限多個素數，設所有的素數是2=a1<a2<……<an.此時，令N=a1*a2*……*an+1,那么所有的ai(i=1,2,……,n)顯然都不是N