第第頁人教版高中數學必修第二冊6.2.4向量的數量積第1課時向量數量積的定義、投影向量同步練習（含解析）人教版高中數學必修第二冊6.2.4向量的數量積

第1課時向量數量積的定義、投影向量同步練習

一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)

1.已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角θ=150°,則a·b等于()

A.-6B.6

C.-6D.6

2.如圖L6-2-10所示,一力作用在小車上,其中力F的大小為10N,方向與水平面成60°角.當小車向前運動10m時,力F所做的功為()

圖L6-2-10

A.100J

B.50J

C.50J

D.200J

3.已知兩個單位向量e1,e2的夾角為θ,則下列說法不正確的是()

A.e1在e2上的投影向量為cosθe2

B.e1·e2=1

C.=

D.(e1+e2)⊥(e1-e2)

4.在四邊形ABCD中,·=0,=,則四邊形ABCD是()

A.直角梯形B.菱形

C.矩形D.正方形

5.已知△ABC中,·(+)=0,則△ABC的形狀為()

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

6.已知|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為,e是與向量a+b方向相同的單位向量,則a在向量a+b上的投影向量為()

A.eB.e

C.eD.e

7.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,AD是邊BC上的高,則·等于()

A.0B.4

C.8D.-4

8.已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為()

A.B.

C.D.

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)

9.已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角θ=120°,則a·b=.

10.已知|a|=2,|b|=8,a與b的夾角θ=60°,則向量b在向量a上的投影向量是,向量a在向量b上的投影向量是.

11.已知在△ABC中,AB=AC=4,·=8,則△ABC的形狀是.

12.已知A,B,C為圓O上的三點,若=(+),則與的夾角為.

三、解答題(本大題共2小題,共20分)

13.(10分)已知△ABC中,=a,=b,當a·b滿足下列條件時,能確定△ABC的形狀嗎

(1)a·b0.

14.(10分)若向量a,b,c滿足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,求a·b+b·c+c·a.

15.(5分)(多選題)設a,b是兩個非零向量,則下列說法中正確的是()

A.若|a+b|=|a|-|b|,則存在實數λ使得a=λb

B.若a⊥b,則|a+b|=|a-b|

C.若|a+b|=|a|+|b|,則a在b上的投影向量為|a|

D.若存在實數λ使得a=λb,則|a+b|=|a|-|b|

16.(15分)已知兩個不共線的向量a,b滿足|a|=3,|b|=1,它們的夾角為,求|xa-b|的最小值及對應的實數x的值,并判斷此時向量a與向量xa-b是否垂直.

參考答案與解析

1.C[解析]a·b=|a||b|cosθ=3×4×=-6.

2.B[解析]力F所做的功為10×10cos60°=50(J),故選B.

3.B[解析]e1在e2上的投影向量為|e1|·cosθe2=cosθe2,故A中說法正確;e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ,故B中說法不正確;|e1|2=|e2|2=1,故C中說法正確;(e1+e2)·(e1-e2)=|e1|2-|e2|2=0,故D中說法正確.

4.C[解析]由·=0,知AB⊥BC.由=,知BCAD,所以四邊形ABCD是矩形.

5.B[解析]因為+=,所以·(+)=·=0,所以⊥,所以△ABC為直角三角形,故選B.

6.A[解析]由題知a·b=-1,|a|=2,|b|=1,∴|a+b|===,a·(a+b)=a2+a·b=4-1=3,∴a在a+b上的投影向量為·e=·e=e.故選A.

7.B[解析]由題可得在上的投影向量為,所以·=||2.由已知可得AD=AB·sin∠ABC=2,所以·=||2=4.

8.C[解析]設兩個非零向量a,b的夾角為θ,因為a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,即2a2+|a||b|cosθ=0,又因為|b|=4|a|,|a|≠0,所以cosθ=-.因為θ∈[0,π],所以θ=.故選C.

9.-1[解析]a·b=|a||b|cosθ=1×2×=-1.

10.2a[解析]向量b在向量a上的投影向量是|b|cosθ·=8×cos60°·=2a.向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθ·=2×cos60°·=.

11.等邊三角形[解析]由·=||||cos∠BAC,得8=4×4cos∠BAC,所以cos∠BAC=,因為0°0時,A為銳角,△ABC的形狀不確定.

14.解:由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b,∴向量a與b同向,而向量c與它們反向,

∴a·b+b·c+c·a=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.

15.AB[解析]當|a+b|=|a|-|b|時,a,b方向相反且|a|≥|b|,則存在負實數λ使得a=λb,A選項說法正確,D選項說法錯誤;若|a+b|=|a|+|b|,則a,b方向相同,a在b上的投影向量為a,C選項說法錯誤;若a⊥b,則以a,b為鄰邊的平行四邊形為矩形,且|a+b|和|a-b|是這個矩形的兩條對角線長,則|a+b|=|a-b|,B選項說法正確.故選AB.

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