專題07空間幾何體的平行于垂直1、【2019年江蘇卷】?如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別為BC,AC的中點，AB=BC．求1)a1B1#平面DEC1；2)BE丄qE?解析】(1)因為D,E分別為BC,AC的中點，所以ED〃AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB〃AQ,所以A1B1〃ED.又因為ED?平面DEC1,A1B1平面DEC1,所以A[B〔〃平面DEC,(2)因為AB=BC,E為AC的中點，所以BE丄AC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以Cq丄平面ABC.又因為BE?平面ABC,所以Cq丄BE.因為qC?平面A1ACC1,AC?平面A1ACC1,C1CAAC=C,所以BE丄平面A1ACC1.因為c1E?平面A1ACC〔，所以BEd^E.2、【2019年高考全國I卷文數】如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2,ZBAD=60°,E，M，N分別是BC，BB1,A1D的中點?證明：MN〃平面qDE；求點C到平面C1DE的距離.M,E分別為BB.BC的中【解析】(1)連結b1M,E分別為BB.BC的中點，所以ME〃B1C,且ME又因為N為A1D的中點，所以NDA1D2由題設知AB〃DC,可得BC〃AD,故ME〃ND,因此四邊形MNDE為平行四邊形，11=1=1二MN〃ED■又MN平面C1DE，所以MN〃平面C1DE.⑵過C作吋的垂線，垂足為H.由已知可得DEBC,DEC1C，所以DE丄平面C1CE，故DE丄CH.41717從而CH丄平面C1DE，故CH的長即為C到平面C1DE的距離，由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E17,故CH

從而點c到平面CDE的距離為41741717i173、【2019年高考全國II卷文數】如圖，長方體ABCD-AQCp的底面ABCD是正右旌棱AA1上,BE丄EC「證明：BE丄平面EB1C1；⑵若AE=A1E,AB=3,求四棱錐EBB&C的體積.【解析】(1)由已知得B1C1丄平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故BRBE.又BEEC，所以BE丄平面EBC.1112）由（1）知ZBEB1=90°.由題設知RtAABE竺Rt^A1B1E,所以AEBA1EB1455故AE=AB=3,AA12AE6.作EFBB1,垂足為F,則EF丄平面BB&C，且efab3

1所以，四棱錐EBB1C1C的體積V36318.1134、ADEB,2019年高考全國III卷文數】圖1是由矢矩形RtAABC和菱形BFGC4、ADEB,形，其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60?！鰧⑵溲谹B,BC折起使得BE與BF重合，連結DG,如圖2.證明：圖2中的A,C,G,D四點共面，且平面ABC丄平面BCGE；(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.【解析】(1)由已知得ADPBE,CGPBE,所以ADPCG,故AD,CG確定一個平面，從而A,C,G,D四點共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因為AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.取CG的中點M,連結EM,DM.因為AB〃DE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知，四邊形BCGE是菱形，且ZEBC=60。得EMCG,故CG平面DEM.因此DMCG.在Rt^DEM中，DE=1,EM=3,故DM=2?所以四邊形ACGD的面積為4.

5、【2019年高考北京卷文數】如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD,底部ABCD為菱形，E為CD的中點.1）求證：BD丄平面PAC；2）若ZABC=60°,求證：平面PAB丄平面PAE；3）棱PB上是否存在點，使得CF〃平面PAE?說明理由.【解析】（1）因為PA平面ABCD,所以PABD.又因為底面ABCD為菱形，所以BDAC所以BD平面PAC.2）因為PA2）因為PA丄平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA丄AE.因為底面ABCD為菱形，ZABC=60°,且E為CD的中點，所以AE丄CD.所以AB丄AE?所以AE丄平面PAB.所以平面PAB丄平面PAE.（3）棱PB上存在點F,使得CF〃平面PAE.取F為PB的中點，取G為PA的中點，連結CF,FG，EG.1則FG〃AB,且FG二AB.2因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，1所以CE〃AB,且CE二AB.2所以FG〃CE,且FG=CE.所以四邊形CEGF為平行四邊形.所以CF〃EG.因為CF平面PAE,EG平面PAE,所以CF〃平面PAE.【名師點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.6、【2019年高考天津卷文數】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD1）設G,H分別為PB,AC的中點，求證：GH〃平面PAD；2）求證：PA平面PCD；3）求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.解析】（1）連接BD,易知ACIBDH,BHDH.又由BG=PG,故GH〃PD.在RtAAND在RtAAND孔sinDANDN3AD3平面因為又因為GH平面pad,PD平面PAD,所以GH〃平面PAD.取棱PC的中點N,連接DN.依題意，得DN丄PC,又因為平面PAC平面PCD,PACI平面PCDPC,所以DN平面PAC,又PA平面PAC,故DNPA.又已知PACD,CDIDND,所以PA平面PCD.連接AN,由(2)中DN平面PAC,可知DAN為直線AD與平面PAC所成的角，△PCD為等邊三角形，CD=2且N為PC的中點，所以DN3.又DNAN,所以，直線AD與平面PAC所成角的正弦值為、平行問題1.、平行問題1.平行問題的轉化關系直線與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)面與面平行的性質?平面與平面平行的主要判定方法面面平行的定義；面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉化.失誤與防范在推證線面平行時，一定要強調直線不在平面內，否則，會出現錯誤.在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”.解題中注意符號語言的規范應用.線面平行、垂直關系的證明問題的指導思想是線線、線面、面面關系的相互轉化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質定理；線線關系是線面關系、面面關系的基礎.證題中要注意利用平面幾何中的結論，如證明平行時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等；證明過程一定要嚴謹，使用定理時要對照條件、步驟書寫要規范.二、垂直問題證明線面垂直的方法線面垂直的定a與a內任何直線都垂直？m、n?a,mAn=A⑵判定定理1：?I丄a；l丄m,I丄n判定定理2：a〃b,a丄a?bda；面面平行的性質：a〃B,a丄a?a丄B；面面垂直的性質：a丄B,aAB=I,a?a,a丄I?a=B.證明線線垂直的方法定義：兩條直線所成的角為90°；平面幾何中證明線線垂直的方法；線面垂直的性質：a丄a,b?a?a丄b；⑷線面垂直的性質：a丄a,b〃a?a丄b.證明面面垂直的方法利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；⑵判定定理：a?a,a丄(3?a丄轉化思想：垂直關系的轉化證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a〃b,a丄a?b丄a)；③面面平行的性質(a丄a,a〃3?a丄3)；④面面垂直的性質?證明線面垂直的核心是證線線垂直,而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.因此,判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想.線面垂直的性質,常用來證明線線垂直.(4)判定面面垂直的方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(a丄3,a?a?a丄B).(5)在已知平面垂直時,一般要用性質定理進行轉化.在一個平面內作交線的垂線,轉化為線面垂直,然后進一步轉化為線線垂直.垂直關系綜合題的類型及解法①三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化?②垂直與平行結合問題,求解時應注意平行、垂直的性質及判定的綜合應用.垂直與體積結合問題，在求體積時，可根據線面垂直得到表示高的線段，進而求得體積?三、解決立體幾何中的探索性問題的步驟：第一步：寫出探求的最后結論.第二步：證明探求結論的正確性.第三步：給出明確答案.第四步：反思回顧,查看關鍵點、易錯點和答題規范.溫馨提醒(1)立體幾何中的探索性問題主要是對平行、垂直關系的探究,對條件和結論不完備的開放性問題的探究,解決這類問題一般根據探索性問題的設問,假設其存在并探索出結論,然后在這個假設下進行推理論證,若得到合乎情理的結論就肯定假設,若得到矛盾就否定假設.這類問題也可以按類似于分析法的格式書寫步驟：從結論出發“要使……成立”，“只需使……成立”.四、證明面面關系的核心是證明線面關系,證明線面關系的核心是證明線線關系.證明線線平行的方法：(1)線面平行的性質定理；(2)三角形中位線法；(3)平行四邊形法.證明線線垂直的常用方法：(1)等腰三角形三線合一；(2)勾股定理逆定理；(3)線面垂直的性質定理；(4)菱形對角線互相垂直.五、垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行,需轉化為證明線線平行（2）證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.（3）證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.證明線面平行時，先直觀判斷平面內是否存在一條直線和已知直線平行，若找不到這樣的直線，可以考慮通過面面平行來推導線面平行，應用線面平行性質的關鍵是如何確定交線的位置，有時需要經過已知直線作輔助平面來確定交線．在應用線面平行、面面平行的判定定理和性質定理進行平行轉化時，一定要注意定理成立的條件，嚴格按照定理成立的條件規范書寫步驟，如把線面平行轉化為線線平行時，必須說清經過已知直線的平面與已知平面相交，則直線與交線平行．題型一、線線與線面的平行于垂直線線與線面的平行于垂直一定要熟練掌握它們的判定定理和性質定理。利用幾何方法證明垂直與平行問題是立體幾何的重要內容，也是高考考查的重點，求解的關鍵是根據線線垂直（平行）、線面垂直（平行）、面面垂直（平行）這三者之間的互化關系，借助輔助線與面，找出符號語言與圖形語言之間的關系，從而將問題解決例1、（2019南通、泰州、揚州一調）如圖，在四棱錐PABCD中，M，N分別為棱PA，PD的中點．已知側面PAD丄底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA=DP.求證：（1）MN〃平面PBC；MD丄平面PAB證明】（1）在四棱錐P-ABCD中，M,N分別為棱PA,PD的中點，所以MN〃AD.（2分）又底面ABCD是矩形，所以BC〃AD.所以MN〃BC.（4分）又BC?平面PBC,MN?平面PBC,所以MN〃平面PBC.（6分）（2）因為底面ABCD是矩形，所以AB丄AD■又側面PAD丄底面ABCD，側面PADA底面ABCD=AD,AB?底面ABCD,所以AB丄側面PAD.（8分）又MD?側面PAD,所以AB丄MD.（10分）因為DA=DP,又M為AP的中點，從而MD丄PA.（12分）又PA,AB在平面PAB內，PAQAB=A,所以MD丄平面PAB.（14分）例2、（2019南京、鹽城二模）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC,A1C丄BC「AB1丄BC「D,E分別是AB1和BC的中點.求證：（1）DE〃平面ACC1A1；(2)AE丄平面BCC1B1.規范解答（1）連結A1B,在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1#BB1且AA1=BB1,所以四邊形AA[B〔B是平行四邊形.又因為D是AB1的中點，所以D也是BA1的中點.（2分）在厶BA1C中，D和E分別是BA1和BC的中點，所以DE#A1C.又因為DE?平面ACCA，A〔C?平面ACCA，所以DE〃平面ACC〔A1.（6分）（2）由（1）知DE〃A1C,因為A少丄BC1,所以BC1±DE.（8分）又因為BC1丄AB1,AB1ADE=D,AB1,DE?平面ADE，所以BC[丄平面ADE.又因為AE?平在ADE，所以AE丄BC1.（10分）在厶ABC中，AB=AC,E是BC的中點，所以AE丄BC.（12分）因為AE丄BC1,AE丄BC,BC1ABC=B,BC1,BC?平面BCC1B1,所以AE丄平面BCC1B1.（14分）題型二平面與平面的平行與垂直熟練掌握平面與平面的平行與垂直的判定定理和性質定理，注意條件。例3x（2019泰州期末）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點0為對角線BD的中點，點E,F分別為棱PC,PD的中點■已知PA丄AB,PA丄AD.求證：（1）直線PB〃平面0EF；（2）平面OEF丄平面ABCD.規范解答證明：（1）在△PBD中，0為BD的中點，F為PD的中點■所以0F〃PB,（3分）因為PB?平面OEF,OF?平面OEF,（7分）所以直線PB〃平面OEF（2）解法1連結AC,因為底面ABCD為平行四邊形，0為BD的中點，所以0為AC的中點．在厶PAC中，0為AC的中點，E為PC的中點，所以OE〃PA,（9分）因為PA丄AB,PA丄AD,所以0E丄AB,0E丄AD,（11分）又因為ABAAD=A,AB,AD在平面ABCD內，所以0E丄平面ABCD.因為0E?平面0EF，所以平面0EF丄平面ABCD.（14分）解法2連結AC,因為ABCD為平行四邊形,所以AC與BD交于點0,0為AC中點,又E為PC中點，所以PA〃0E,因為PA丄AB,PA丄AD,ABAAD=A,所以PA丄平面ABCD，所以0E丄平面ABCD.又0E?平面0EF,所以0EF丄平面ABCD.例4、（2019蘇州期末）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB丄BC,E,F分別是A1C1,BC的中點．（1）求證：平面ABE丄平面B1BCC1；⑵求證：C1F〃平面ABE.思路分析（1）要證平面ABE丄平面B1BCC〔，只要先證AB丄平面B〔BCC門只要先證AB丄B1B.（2）要證C/〃平面ABE，只要先證C/平行于平面ABE內的某條直線.取AB的中點G,可證四邊形GFC1E是平行四邊形.解:（1）證明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB〔丄底面ABC,因為AB?平面ABC，所以BB1丄AB.（2分）又因為AB丄BC,BB1ABC=B,BB1,BC?平面B1BCC1,所以AB丄平面B1BCC1.（4分）又AB?平面ABE，所以平面ABE丄平面B1BCC1.（6分）（2）證明：取AB中點G,連結EG,FG.因為E,F分別是A1C1,BC的中點，1所以FG〃AC，且FG=1AC.（8分）211因為AC〃A1C1，且AC=A1C1,所以FG〃EC1,且FG=EC1.所以四邊形FGEC1為平面四邊形,（11分）所以吋丄EG.又因為EG?平面ABE,C1F?平面ABE,所以C/〃平面ABE.（14分）題型三題型一、線線、線面與面面的綜合問題(1)立體幾何中的探索性問題主要是對平行、垂直關系的探究，對條件和結論不完備的開放性問題的探究，解決這類問題一般根據探索性問題的設問，假設其存在并探索出結論，然后在這個假設下進行推理論證，若得到合乎情理的結論就肯定假設，若得到矛盾就否定假設.例5、(2017年泰州期末)如圖，在四面體PABC中，PC丄AB,PA丄BC,點D,E,F,G分別是棱AP，AC,BC,PB的中點.⑴求證：DE〃平面BCP；求證：四邊形DEFG為矩形；是否存在點Q,到四面體PABC六條棱的中點的距離相等？說明理由⑴證明因為D,E分別是AP,AC的中點，所以DE〃PC.又因為DE?平面BCP,所以DE〃平面BCP.(2)證明因為D,E,F,G分別為AP,AC,BC,PB的中點，所以DE〃PC〃FG,DG〃AB〃EF.所以四邊形DEFG為平行四邊形又因為PC丄AB,所以DE丄DG.所以四邊形DEFG為矩形.⑶解存在點Q滿足條件，理由如下：連結DF,EG，設Q為EG的中點，1由(2)知，DFAEG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.2分別取PC,AB的中點M,N,連結ME,EN,NG,MG,MN.1與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點為EG的中點Q,且QM=QN=EG,所以2Q為滿足條件的點?例6、(2018蘇州暑假測試)如圖,在三棱錐PABC中,已知平面PBC丄平面ABC.⑴若AB丄BC,CP丄PB,求證：CP丄PA；(2)若過點A作直線I丄平面ABC，求證：1〃平面PBC.規范解合⑴因為平面PBC丄平面ABC，平面PBCQ平面ABC=BC,AB?平面ABC,AB丄BC,所以AB丄平面PBC.（2分）因為CP?平面PBC，所以CP丄AB.（4分）又因為CP丄PB,且PBAAB=B,PB,AB?平面PAB,所以CP丄平面PAB.（6分）又因為PA?平面PAB，所以CP丄PA.（8分）⑵如圖，在平面PBC內過點P作PD丄BC,垂足為D.因為平面PBC丄平面ABC，又平面PBCQ平面ABC=BC,PD?平面PBC,所以PD丄平面ABC.（11分）又I丄平面ABC，所以I〃PD.又丨？平面PBC,PD?平面PBC,所以丨〃平面PBC.（14分）解后反思一般地,已知面面垂直,需要將面面垂直轉化為線面垂直,找出兩平面的交線后,尋找平面中是否有直線垂直于另外一個平面,若沒有,則在某平面內構造一條線垂直于交線即可．例7、（2016南京三模）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱BC上一點.（1）若AB=AC,D為棱BC的中點，求證：平面ADC〔丄平面BCC1B1；BD（2）若A1B#平面ADC1,求DC的值.思路分析（1）要證平面ADC1丄平面BCC1B1,只要證AD丄平面BCC1B1?可先證AD丄BC,AD丄B1B.（2）要用A1B〃平面ADC〔的性質，需過A1B作一個與平面ADC〔相交的平面，得A1B平行于交線．規范解答⑴因為AB=AC,點D為BC中點，所以AD丄BC.（2分）因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以BB1丄平面ABC.因為AD?平面ABC，所以BB1丄AD.（4分）因為BCABB1=B,BC?平面BCC1B1,BB1?平面BCC1B1,所以AD丄平面BCC1B1.因為AD?平面ADC1，所以平面ADC1丄平面BCC1B1.（6分）（2）連結A1C,交AC1于0,連結0D,所以0為AC1中點.（8分）因為A〔B〃平面ADC〔，A〔B?平面A〔BC,平面ADC平面A〔BC=0D,所以A〔B〃0D.（12分）因為0為AC1中點，所以D為BC中點，所以BD=1.（14分）DC一、填空題1、（2018南京三模）已知a,B是兩個不同的平面，I,m是兩條不同的直線，有如下四個命題：若丨丄a,I丄B,則a〃B;②若丨丄a,a丄B,貝0I〃B;③若丨〃a,l丄B,貝I」a丄④若l〃a,a丄B,貝0丨丄B?其中真命題為___（填所有真命題的序號）．【答案】①③【解析】①考查定理：垂直同一直線的兩個平面平行；②直線丨可能在平面B內；③正確；④不一定垂直；2、（2017南京、鹽城二模）已知a,B為兩個不同的平面，m,n為兩條不同的直線，下列命題中正確的是（填上所有正確命題的序號）．若a〃B,m?a,貝I」m〃B;②若m〃a,n?a,貝m〃n；③若a丄B,aAB=n,m丄n,貝I」m丄B;④若n丄a,n丄B,m丄a,貝I」m丄B.【答案】①④【解析】思路分析逐一判斷每個命題的真假．這是面面平行的性質，正確；②只能確定m,n沒有公共點，有可能異面，錯誤；③當m?a時，才能保證m丄B,錯誤；④由m丄a,n丄a,得m〃n,又n丄B,所以m丄B,正確.3、（2016南京三模）已知a,B是兩個不同的平面，l,m是兩條不同的直線，I丄a,m?B給.出下列命題：◎a〃B?丨丄m；②a丄B?I〃m；③m〃a?丨丄B;④丨丄B?m〃a.其中正確的命題是（填．寫．所．有．正．確．命．題．的．序．號．）．【答案】.①④【解析】①由丨丄a,a〃B,得丨丄B,又因為m?B,所以丨丄m；由丨丄a,a丄B,得I〃B或WB,又因為m?B,所以丨與m或異面或平行或相交；由丨丄a,m〃a,得丨丄m.因為丨只垂直于B內的一條直線m,所以不能確定丨是否垂直于B;由丨丄a,丨丄8,得?！˙-因為m?B,所以m〃a.4x（2016鎮江期末）設b,c表示兩條直線,a,B表示兩個平面，現給出下列命題：若b?a,c〃a,貝I」b〃c；②若b?a,b〃c,貝I」c〃a；③若c〃a,a丄B,貝Uc丄B；④若c〃a,c丄B,貝Ua丄B?其中正確的命題是．（寫出所有正確命題的序號）【答案】.④【解析】①b和c可能異面,故①錯；②可能c?a,故②錯；③可能c〃B,c?B,故③錯；④根據面面垂直判定a丄B,故④正確.5、（2015鎮江期末）設a,B為互不重合的平面，m,n是互不重合的直線，給出下列四個命題：若m〃n,n?a,則m〃a；若m?a,n?a,m〃B,n〃B,貝Ua〃B;若a〃B,m?a,n?B,貝Um〃n；若a丄B,aQB=m,n?a,n丄m,貝I」n丄B-其中正確命題的序號為____答案】④解析】對于①，直線m可能在平面故曲昔誤；對于②，沒有m與n相交的條件，故②錯誤;對于③，m與n也可能異面，故③錯誤.6、（201南京、鹽城、徐州二已知平面a，B,直線m,n,給出下列命題：m〃a,Bm丄n,貝I」Bm〃〃B,aa〃丄B,貝I」nm丄a,Bm丄n,則；a丄丄B,a『丄丄B,貝I」n其中是真命題，？丄（填.）的是序號解析】如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，CD〃平面ABCp,BC〃平面ADC1B1,且BC丄CD，又因為平面ABC1D1與平面ADC1B1不垂直，故①不正確；因為平面ABCD〃平面A1B1C1D1,且B1C1〃得③④正確.3AB平面ABCD,AB〃平面A1B1C1D1，但AB與B1C1不平行，故②不正確■同理，我們以正方體的模型來觀察，可7、（2015泰州期末）若a,B是兩個相交平面，則在下列命題中，真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）?若直線m丄a,則在平面B內，一定不存在與直線m平行的直線；若直線m丄a,則在平面B內，一定存在無數條直線與直線m垂直；若直線m?a,則在平面B內，不一定存在與直線m垂直的直線；若直線m?a,則在平面B內，一定存在與直線m垂直的直線.【答案】②④【解析】對于①，若兩個平面互相垂直，顯然在平面B內存在與直線m平行的直線，故①不正確；對于②，m丄a,m—定與兩平面的交線垂直，有一條直線就有無數條直線，故②正確；③與④是對立的，一定有一個是真命題，對于④，若m與兩個平面的交線平行或m為交線，顯然存在，若m與交線相交，設交點為A,在直線m上任取一點B（異于A）,過B點向平面B引垂線，垂足為C,則直線BC丄平面B,在平面B內作直線I垂直于AC,可以證明I丄平面ABC,貝I」l丄m，、解答題故④正確，③不正確?所以真命題的序號為②④.8、（2019無錫期末）在四棱錐PABCD中，銳角三角形PAD所在平面垂直于平面PAB,AB丄AD,AB丄BC.⑴求證：⑵*「PADI'■■■"ABCD?BC〃平面PAD；（1）因為AB丄AD,AB丄BC,且A,B,C,D共面，所以AD〃BC.（3分）因為BC?平面PAD,AD?平面PAD，所以BC〃平面PAD.（5分）（2）過點D作DH丄PA于點H,因為是銳角△PAD,所以H與A不重合.（7分）因為平面PAD丄平面PAB，平面PADQ平面PAB=PA,DH?平面PAD.所以DH丄平面PAB,（9分）因為AB?平面PAB，所以DH丄AB.（11分）因為AB丄AD,ADADH=DAD,DH?平面PAD,所以AB丄平面PAD.因為AB?平面ABCD.所以平面PAD丄平面ABCD.（14分）9x（2019常州期末）如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，點M,N分別是棱AB,CC1的中點■求證：（1）CM//平面AB1N；（2）平面A1BN丄平面AA1B1B.

規范解答（1）設AB〔交A1B于點0,連結0M,ON.在正三棱柱ABCA1B1C1中，BBJCC1,BB1=CC1,且四邊形AA1B1B是平行四邊形，所以0為AB弭勺中點.又因為M為AB的中點，所以0MIIBB1,且0M11=BB1.N為Cq的中點，CN=CC1,所以0M=CN,且0M〃CN,所以四邊形CMON是平行四邊221形，所以CM〃0N.（5分）又0N?平面AB1N,CM?平面AB1N,所以CM〃平面AB1N.（7分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB〔丄平面ABC,CM?平面ABC，所以BB1丄CM.（9分）又CA=CB,M為AB的中點，所以CM丄AB?又由（1）知CM〃0N,所以0N丄AB,0N丄BB1.又因為ABABB1=B,AB,BB1?平面AA1B1B,所以0N丄平面AA1B1B.（12分）又0N?平面A1BN，所以平面A1BN丄平面AA1B1B.（14分）10、（2019鎮江期末）如圖，在四棱錐VABCD中，底面ABCD是矩形，VD丄平面ABCD，過AD的平面分別與VB,VC交于點M,N.（1）求證：BC丄平面VCD；因為VD丄平面ABCD,BC?平面ABCD，所以VD丄BC.（3分）因為底面ABCD是矩形，所以BC丄CD.（4分）又CD?平面VCD,VD?平面VCD,CDAVD=D,則BC丄平面VCD.（7分）（2）因為底面ABCD是矩形，所以ADIBC.（8分）又AD?平面VBC,BC?平面VBC，則AD〃平面VBC.（11分）又平面ADNMQ平面VBC=MN,AD?平面ADNM，則AD〃MN.（14分）11、（2019揚州期末）如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形AA1B1B為矩形，平面AA袒袒丄平面ABC，點E,F分別是側面AA1B1B,BB1C1C對角線的交點.（1）求證：EF〃平面ABC；（2）求證：BB丿AC.規范解答（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形AA1B1B,四邊形BB1C1C均為平行四邊形，E,F分別是側面AA1B1B,BB1C1C對角線的交點，所以E,F分別是AB1,CB1的中點，所以EF〃AC.（4分）因為EF?平面ABC,AC?平面ABC，所以EF〃平面ABC.（8分）（2）因為四邊形AA1B1B為矩形，所以BB1±AB.因為平面AA[B〔B丄平面ABC，且平面AA[B〔BQ平面ABC=AB,BB〔？平面AA[B〔B,所以BB1丄平面ABC.（12分）因為AC?平面ABC，所以BB1丄AC.（14分）12、（2019蘇北三市期末）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D,E,F分別是B1C1,AB,AA1的中點．（1）求證：EF〃平面A1BD；（2）若A1B1=A1C1,求證：平面A1BD丄平面BB1C1C.規范解答⑴因為E,F分別是AB,AA1的中點，所以EF#A1B.（3分）分)因為EF?平面A[BD,A〔B?平面A〔BD,所以EF〃平面A〔BD.(6分)(2)在直二棱柱ABCA[B[C[中，BB[丄平面AQq,因為A〔D?平面A[B[C[,所以BB〔丄A〔D.(8因為A1B1=A1C1，且D是B1C1的中點，所以A1D丄B^.Cl