福建省福州市良鎮中學2022年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復數滿足(為虛數單位)，則的共軛復數為

A.

B.

C.

D.

參考答案：D略2.函數的圖像大致是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B3.已知函數，則不等式的解集是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C由題意得，函數的定義域為R．∵，∴函數為奇函數．又根據復合函數的單調性可得，函數在定義域上單調遞增．由得，∴，解得，∴不等式的解集為．故選C．

4.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為6，動點E、F在棱A1B1上，動點P、Q分別在棱AB、CD上，若EF=2，DQ=x，AP=y，則四面體PEFQ的體積

（

）

A．與x，y都無關

B．與x有關，與y無關

C．與x、y都有關

D．與x無關，與y有關參考答案：A略5.函數的定義域是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D6.設，若z的最大值為12，則z的最小值為 A．-3 B．-6 C．3 D．6參考答案：B7.在等比數列等于A．2

B．3

C．

D．參考答案：答案：C8.定義平面上兩條相交直線的夾角為：兩條相交直線交成的不超過90°的正角.已知雙曲線E：，當其離心率時，對應雙曲線的漸近線的夾角的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.下列不等式一定成立的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：【知識點】不等式比較大小．

E1【答案解析】C

解析：A選項不成立，當x=時，不等式兩邊相等；B選項不成立，這是因為正弦值可以是負的，故不一定能得出sinx+≥2；C選項是正確的，這是因為x2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0，D選項不正確，令x=0，則不等式左右兩邊都為1，不等式不成立綜上，C選項是正確的.故選C【思路點撥】由題意，可對四個選項逐一驗證，其中C選項用配方法驗證，A，B，D三個選項代入特殊值排除即可.10.某設備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統計數據(x,y)分別為(2,1.5)，(3,4.5)，(4,5.5)，(5,6.5)，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計劃維修費用超過15萬元將該設備報廢，則該設備的使用年限為（

）A.8年 B.9年 C.10年 D.11年參考答案：D【分析】根據樣本中心點在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，，由，估計第11年維修費用超過15萬元.故選:D.【點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應用，屬于基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.展開式中項的系數490,則實數的值為

.參考答案：

12.函數為奇函數，則增區間為

參考答案：略13.已知函數，則

．參考答案：14.已知點A（0，2），拋物線的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，若|FM|：|MN|=1：5，則a的值等于．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】作出M在準線上的射影，根據|KM|：|MN|確定|KN|：|KM|的值，進而列方程求得a．【解答】解：依題意F點的坐標為（，0），設M在準線上的射影為K，由拋物線的定義知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：5，則|KN|：|KM|=2：1，∵kFN==﹣，kFN=﹣2∴=2，求得a=．故答案為：．15.將正整數1,2,3，……，n,……，排成數表如圖所示，即第一行3個數，第二行6個數，且后一行比前一行多3個數，若第i行、第j列的數可用（i,j）表示，則2015可表示為

第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列……第1行123

第2行987654

第3行1011121314151617…………

參考答案：16.已知f(x)=過A(1,m)可作曲線的三條切線，則m的取值范圍是

.參考答案：(-3,-2)17.設函數，集合，且．在直角坐標系中，集合所表示的區域的面積為______．參考答案：因為，所以由得，即，它表示以為圓心，半徑為的圓面。由得，即，整理得，即或，顯然的交點為，且兩直線垂直，所以對應平面區域為二分之一個圓周的面積，所以集合所表示的區域的面積為，如圖：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線l的參數方程是，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，且取相同的長度單位建立極坐標系，圓C的極坐標方程為．（1）求直線l的普通方程與圓C的直角坐標方程；（2）設圓C與直線l交于A、B兩點，若P點的直角坐標為(1,0)，求的值．參考答案：（1）直線l的方程為,圓C的方程為（2）【詳解】試題分析：(1)消去參數可得直線的普通方程為，極坐標方程轉化為直角坐標方程可得圓C的直角坐標方程是(2)利用題意由弦長公式可得.試題解析：解：（1）∵直線l的參數方程是（是參數），∴．即直線的普通方程為．∵，∴∴圓C的直角坐標方程為，即或（2）將代入得，∴．∴．19.如圖在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的一點，PA=PD=4=AD=2BC，CD=2．（Ⅰ）求證：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C為30°，設|PM|=t|MC|，試確定t的值．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知可得PQ⊥AD，再由面面垂直的性質可得PQ⊥平面ABCD，得到PQ⊥BQ，再由已知可得BQ⊥AD，結合線面垂直的判定可得BQ⊥平面PAD，從而得到平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，QB、AD、QP兩兩互相垂直，以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP為x、y、z軸距離空間直角坐標系，可得則Q（0，0，0），P（0，0，），C（﹣2，2，0），由|PM|=t|MC|，得M（）．求出平面MQB與平面CBQ的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值結合已知列式求得t值．【解答】（Ⅰ）證明：如圖，∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，又平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，而BQ?平面ABCD，∴PQ⊥BQ，又底面ABCD為直角梯形，∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∵BC∥AD，BC=，∴四邊形QBCD為平行四邊形，則BQ∥CD，得BQ⊥AD，又PQ∩AD=Q，∴BQ⊥平面PAD，∵BQ?平面PBQ，則平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，QB、AD、QP兩兩互相垂直，以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP為x、y、z軸距離空間直角坐標系，則Q（0，0，0），P（0，0，），C（﹣2，2，0），∵|PM|=t|MC|，∴，可得M（）．，=（）．設平面MQB的一個法向量為，由，得，取z=1，得．由圖可知，平面CBQ的一個法向量．由|cos＜＞|=||=||=cos30，解得t=3．20.[選修4-5：不等式選講]（共1小題，滿分0分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（I）若ab≤m恒成立，求m的取值范圍；（II）若≥|2x﹣1|﹣|x+2|恒成立，求x的取值范圍．參考答案：【考點】函數恒成立問題．【分析】（Ⅰ）由基本不等式可得；（Ⅱ）問題轉化為|2x﹣1|﹣|x+1|≤4，去絕對值化為不等式，解不等式可得．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴ab≤（）2=，當且僅當a=b=時“=”成立，由ab≤m恒成立，故m≥；（Ⅱ）∵a，b∈（0，+∞），a+b=1，∴+=（+）（a+b）=5++≥9，故恒成立，則|2x﹣1|﹣|x+2|≤9，當x≤﹣2時，不等式化為1﹣2x+x+2≤9，解得﹣6≤x≤﹣2，當﹣2＜x＜，不等式化為1﹣2x﹣x﹣2≤9，解得﹣2＜x＜，當x≥時，不等式化為2x﹣1﹣x﹣2≤9，解得≤x≤12綜上所述x的取值范圍為[﹣6，12]．【點評】本題考查了絕對值不等式的解法，分段函數知識，考查運算能力，轉化思想以及分類討論思想，是一道中檔題．21.已知函數在處的切線方程為（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）若為整數，當時，恒成立，求的最大值（其中為的導函數）．參考答案：解：（Ⅰ），由已知得，故，解得又，得，解得

………………2分，所以當時，；當時，所以的單調區間遞增區間為，遞減區間為

…………4分（Ⅱ）法一.由已知，及整理得，當時恒成立令，

………………6分當時，；由（Ⅰ）知在上為增函數，又

………………8分所以存在使得，此時當時，；當時，所以

…10分故整數的最大值為.

………………12分法二.由已知，及整理得，令，得，

………6分當時，因為，所以，在上為減函數，

………8分，為增函數。為減函數。由已知

……10分令，，在上為增函數.又，故整數的最大值為

……………12分22.學校某文具商店經營某種文具，商店每銷售一件該文具可獲利3元，若供大于求則削價處理，每處理一件文具虧損1元；若供不應求，則可以從外部調劑供應，此時每件文具僅獲利2元．為了了解市場需求的情況，經銷商統計了去年一年（52周）的銷售情況．銷售量（件）10111213141516周數248131384以去年每周的銷售量的頻率為今年每周市場需求量的概率．（1）要使進貨量不超過市場需求量的概率大于0.5，問進貨量的最大值是多少？（2）如果今年的周進貨量為14，寫出周利潤Y的分布列；（3）如果以周利潤的期望值為考慮問題的依據，今年的周進貨量定為多少合適？參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（I）若進貨量定為13件，相應有13+13+8+4=38周．可得“進貨量不超過市場需求量”的概率P=＞0.5；同理：若進貨量定為14件，則“進貨量不超過市場需求量”的概率＜0.5，即可得出．（II）今年的周進貨量為14，設“平均今年周利潤”Y；若售出x件，x≤14時，則利潤y=x×3+（14﹣x）×（﹣1）．x≥15時，則利潤y=14×3+（x﹣14）×2．即可得出Y的分布列．（III）以周利潤的期望值為考慮問題的依據，今年的周進貨量定為11件或12件合適．【解答】解：（I）若進貨量定為13件，則“進貨量不超過市場需求量”是指“銷售兩不小于13件”，相應有13+13+8+4=38周．“進貨量不超過市場需求量”的概率P=＞0.5；同理：若進貨量定為14件，則“進貨量不超過市場需求量”的概率＜0.5；∴要使進貨量不超過市場需求量的概率大于0.5，進貨量的最大值是13．（II）今年的周進貨量為14，設“平均今年周利潤”Y；若售出10件，則利潤y=10×3+4×（﹣1）=26．售出11件，則利潤y=11×3+3×（﹣1）=30．售