/專題13正多邊形與圓、弧長(zhǎng)和面積公式【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)題型1正多邊形和圓正多邊形概念：各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形．正多邊形的相關(guān)概念：正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．半徑、邊心距，邊長(zhǎng)之間的關(guān)系：畫圓內(nèi)接正多邊形方法（僅保留作圖痕跡）：量角器（作法操作復(fù)雜，但作圖較準(zhǔn)確）量角器+圓規(guī)（作法操作簡(jiǎn)單，但作圖受取值影響誤差較大）圓規(guī)+直尺（適合做特殊正多邊形，例如正四邊形、正八邊形、正十二邊形…..）例．（2022·江蘇·九年級(jí)）中心角為45°的正n邊形的邊數(shù)n等于（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的中心角，計(jì)算即可．【詳解】由題意得，45°，解得n＝8，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形中心角，解答這類題往往一些學(xué)生因?qū)φ噙呅蔚幕局R(shí)不明確，將正多邊形的中心角與內(nèi)角混淆而造成錯(cuò)誤計(jì)算．變式1．（2022·山東青島·中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)M在上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接OC、OD、OE，如圖所示：∵正六邊形內(nèi)接于，∴∠COD==60°，則∠COE=120°，∴∠CME=∠COE=60°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正n多邊形的中心角為是解答的關(guān)鍵．變式2．（2022·北京四中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，和分別為內(nèi)接正方形，正六邊形和正n邊形的一邊，則n是（

）．A．六 B．八 C．十 D．十二【答案】D【分析】分別求出∠AOB和∠COB，從而得到∠AOC，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OC，OB，∵AB和BC分別是正方形和正六邊形的一邊，∴,，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形邊數(shù)與中心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·河南信陽·九年級(jí)期末）若正六邊形的邊長(zhǎng)為4，則它的外接圓的半徑為（

）A． B．4 C． D．2【答案】B【分析】畫出圖形（見解析），先求出正六邊形的中心角的度數(shù)，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖，正六邊形的中心角，邊長(zhǎng)，，是等邊三角形，，即這個(gè)正六邊形的外接圓的半徑為4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確求出正六邊形的中心角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型2弧長(zhǎng)設(shè)的半徑為，圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為，弧長(zhǎng)公式：（弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)）例．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）實(shí)驗(yàn)學(xué)校的花壇形狀如圖所示，其中，等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，且⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2．已知實(shí)線部分為此花壇的周長(zhǎng)，則花壇的周長(zhǎng)為（）A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米【答案】C【分析】連接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根據(jù)等邊三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出優(yōu)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可．【詳解】解：連接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，∵等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2，∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，∴△AO1O2和△BO1O2是等邊三角形，∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，∴優(yōu)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)是360°﹣60°﹣60°＝240°，∴花壇的周長(zhǎng)為2×＝8π（米），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相交兩圓的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能求出圓心角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．變式1．（2022·河南三門峽·九年級(jí)期末）如圖，在扇形中，，將扇形沿著過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧上的點(diǎn)D處，折痕交于點(diǎn)C，則弧的長(zhǎng)為（結(jié)果保留）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接OD．根據(jù)折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)推知△ODB是等邊三角形，則易求∠AOD=100°-∠DOB=40°；然后由弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)的公式來求的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，連接OD．根據(jù)折疊的性質(zhì)知，OB=DB．又∵OD=OB，∴OD=OB=DB，即△ODB是等邊三角形，∴∠DOB=60°．∵∠AOB=100°，∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=40°，∴的長(zhǎng)為=2π．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，翻折變換（折疊問題）．折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．所以由折疊的性質(zhì)推知△ODB是等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵之處．變式2．（2021·浙江金華·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C．7 D．6【答案】A【分析】利用格點(diǎn)可知∠BAB′＝45°，再利用弧長(zhǎng)公式，可求出弧的長(zhǎng)．【詳解】解：根據(jù)圖示知，∠BAB′＝45°，弧的長(zhǎng)l＝．故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用格點(diǎn)得出∠BAB′＝45°是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和的長(zhǎng)分別為（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π【答案】D【分析】連接、，證出是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求出，再由弧長(zhǎng)公式求出弧的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接、，六邊形為正六邊形，，，為等邊三角形，，，，的長(zhǎng)為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由勾股定理求出是解決問題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型3扇形面積扇形面積公式：例．（2022·浙江湖州·九年級(jí)期末）如圖，已知扇形OAB的半徑OA=6，點(diǎn)P為弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥OA，PD⊥OB，連接CD，當(dāng)CD取得最大值時(shí)，扇形OAB的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】∠AOB＝90°時(shí)，CD最大，由求出扇形面積即可．【詳解】解：解：由PC⊥OA，PD⊥OB可知，∠OCP+∠ODP＝180°，∴O、C、P、D四點(diǎn)共圓，CD為此圓直徑時(shí)，CD最大，∴當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，CD最大，如圖：此時(shí)扇形面積為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握∠AOB＝90°時(shí)，CD最大．變式1．（2021·湖北恩施·一模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，以頂點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫弧，若頂點(diǎn)C恰好在BD弧上，則圖中陰影部分的面積等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證得是等邊三角形，進(jìn)而利用扇形面積和菱形面積即可求出．【詳解】解：連接AC，BD，交于點(diǎn)O，∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴AB＝BC＝2，，又∵AB＝AC，∴是等邊三角形，∴，AB＝AC＝2，OA＝1，OB＝OD，∴OB＝OD＝，∴BD＝，∴CD＝BC＝2，，∴圖中陰影部分的面積為．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)與面積，等邊三角形的判定，扇形的面積公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意證出是等邊三角形．變式2．（2022·內(nèi)蒙古北方重工業(yè)集團(tuán)有限公司第一中學(xué)三模）如圖，點(diǎn)A，B，C是上的點(diǎn)，連接，且，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)D．連接，已知半徑為2，則圖中陰影面積為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOB=30°，再由，可得，從而得到陰影面積等于扇形AOB的面積，即可求解．【詳解】解：∵，∴∠AOB=30°，∴，∵，∴，∴陰影面積等于扇形AOB的面積，∴陰影面積等于．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、扇形面積公式和同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等等知識(shí)，屬于常考題型，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·廣東河源·二模）如圖，已知平行四邊形ABCD，以B為圓心，AB為半徑作交BC于E，然后以C為圓心，CE為半徑作交CD于F，若，，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和題意可設(shè)AB=CD=BE=x，CE=CF=x-3，則BE+CE=BC=AD=5，求出x的值，再根據(jù)扇形面積公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∠C=180°-∠B=120°，設(shè)AB=x，則BE=AB=x，CE=CF=x-3，∴x+x-3=5，∴x=4，即AB=4，CE=4-3=1，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，扇形的面積公式，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和扇形面積公式是根據(jù)的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型4求圓心角例．（2022·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測(cè)）圓錐的底面圓半徑是1，母線長(zhǎng)是3，它的側(cè)面展開圖的圓心角是（

）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【分析】圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是，由題意得：，解得，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖、弧長(zhǎng)公式，熟記弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．變式1．（2021·山東泰安·期中）將一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的面積之比為，則這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的面積之比為，可得這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)之比為，可設(shè)這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)分別為，從而得到，即可求解．【詳解】解：∵一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的面積之比為，∴這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)之比為，設(shè)這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)分別為，根據(jù)題意得：，解得：，∴這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)分別為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形的圓心角，根據(jù)題意得到這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)之比為是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·福建師范大學(xué)附屬中學(xué)初中部九年級(jí)期中）已知扇形半徑是9cm，弧長(zhǎng)為cm，則扇形的圓心角為（

）A．20° B．40° C．60° D．80°【答案】D【分析】直接利用弧長(zhǎng)公式即可求出n的值，計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)，解得：n＝80，故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)公式：（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r）是解題的關(guān)鍵．注意在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．變式3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在半徑為的上，劣弧的長(zhǎng)為，則的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，利用同弧圓心角與圓周角的關(guān)系，需求∠AOB即可，利用AB弧長(zhǎng)與弧長(zhǎng)公式即可求出圓心角，∠ACB=∠AOB，可確定答案．【詳解】連接設(shè)劣弧的長(zhǎng)為，．故選擇：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角的度數(shù)問題，掌握弧長(zhǎng)公式，圓周角與圓心角的關(guān)系，會(huì)利用弧長(zhǎng)求圓心角，利用同弧所對(duì)圓心角確定圓周角的大小．◎考點(diǎn)題型5求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度例．（2021·廣東·江東鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)一模）一個(gè)鐘表的時(shí)針長(zhǎng)10厘米，在中午12時(shí)到下午3時(shí)，時(shí)針的針尖劃過的弧長(zhǎng)是（）厘米．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式，代入求得即可．【詳解】從中午12時(shí)到下午3時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過90°，所以時(shí)針針尖劃過的弧長(zhǎng)為厘米，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式，掌握?qǐng)A心角度數(shù)和扇形半徑是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·山西·大同市云州區(qū)初級(jí)示范中學(xué)校二模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，，將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)D和點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，則點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑弧CF的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意先求得菱形對(duì)角線的長(zhǎng)度，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角等于，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)，，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，，，將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑弧CF的長(zhǎng)為故選A【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握弧長(zhǎng)公式以及菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·河北石家莊·九年級(jí)期末）如圖，在扇形紙片中，，，在桌面內(nèi)的直線上，現(xiàn)將此扇形沿按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中無滑動(dòng)），當(dāng)落在上時(shí)，停止旋轉(zhuǎn)．則點(diǎn)所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】點(diǎn)O所經(jīng)過的路線是三段弧，一段是以點(diǎn)B為圓心，12為半徑，圓心角為90°的弧，另一段是一條線段，和弧AB一樣長(zhǎng)的線段，最后一段是以點(diǎn)A為圓心，12為半徑，圓心角為90°的弧，從而得出答案．【詳解】點(diǎn)經(jīng)過的路線長(zhǎng)為，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長(zhǎng)公式：，注意在使用公式時(shí)度不帶單位．變式3．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，．將繞直角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△；則點(diǎn)轉(zhuǎn)過的路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，即為所在的圓的半徑，由旋轉(zhuǎn)可知，求出的長(zhǎng)即為點(diǎn)轉(zhuǎn)過的路徑長(zhǎng)．【詳解】解：在中，，，．，，將繞直角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，，，點(diǎn)轉(zhuǎn)過的路徑長(zhǎng)為，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、有關(guān)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問題的求解等知識(shí)與方法，正確理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并且由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型6求扇形掃過的面積例．（2022·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至的位置，則邊BA掃過的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求出AB，再根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．【詳解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2.∵△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至的位置，∴邊BA掃過的面積是：.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形的面積，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·四川·一模）如圖，已知所在圓的半徑為4，弦AB長(zhǎng)為，點(diǎn)C是上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到，則在該旋轉(zhuǎn)過程中，線段CB掃過的面積是（）A． B． C．π D．【答案】B【分析】設(shè)所在圓的圓心為O，連接OC、OA、OB、AC、AC′，作OD⊥AB于D，根據(jù)已知條件求得∠AOD＝60°，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，線段CB掃過的面積＝S扇形ABB′﹣S扇形ACC′，進(jìn)而根據(jù)扇形面積公式求解即可【詳解】解：設(shè)所在圓的圓心為O，連接OC、OA、OB、AC、AC′，作OD⊥AB于D，∴AD＝BDAB＝2，∵OA＝4，∴sin∠AOD，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∵點(diǎn)C是上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，∴∠AOC＝90°，∴AC4，∴線段CB掃過的面積＝S扇形ABB′﹣S扇形ACC′16πππ，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積公式，解直角三角形，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·廣西柳州·中考真題）如圖所示，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的刻度分別為1，3，5，將線段繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形的邊上時(shí)，記為點(diǎn)，則此時(shí)線段掃過的圖形的面積為（

）A． B．6 C． D．【答案】D【分析】由題意可知，AC掃過的圖形為一個(gè)扇形，，半徑為4，求出，再根據(jù)扇形面積公式求解即可．【詳解】解：由圖可知：AC=A’C=4，BC=2，∴，∴，線段掃過的圖形為扇形，此扇形的半徑為，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，讀懂題目明確AC掃過的圖形為一個(gè)扇形，且扇形的半徑為4是解決本題的關(guān)鍵．變式3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40°得到△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為，則圖中陰影部分的面積為（

）A．π－6 B．π C．π－3 D．＋π【答案】B【分析】對(duì)圖形進(jìn)行分析，可得所求陰影面積等于扇形DAB的面積，從而計(jì)算扇形面積即可．【詳解】，，由題，在直角三角形ABC中，由勾股定理可得AB=5，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積計(jì)算，靈活對(duì)所求面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型7拱形面積例．（2022·河北唐山·二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若，⊙O的半徑r=4，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理，扇形面積公式和三角形面積公式解答．【詳解】解：∵，∴，∴陰影部分的面積．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角、扇形面積和三角形面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理、扇形面積公式和三角形面積公式．變式1．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)OC作OD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠AOB=2×=60°，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，∴OD=，∴陰影部分的面積為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計(jì)算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．變式2．（2022·云南·雙柏縣教師進(jìn)修學(xué)校二模）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝，則圖中陰影部分的面積為(

)A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4【答案】C【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系，可以得到∠BOC的值，然后根據(jù)勾股定理可以得到OB的長(zhǎng)，由圖可知S陰影＝S扇形BOC?S△BOC，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵OB＝OC，OB2＋OC2＝BC2，BC＝4，∴2OB2＝()2，解得OB＝4，∴S陰影＝S扇形BOC?S△BOC＝＝4π?8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算、勾股定理、圓周角定理，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．變式3．（2021·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)、、在上，若，，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)圓周角定理求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)代入數(shù)值，求出結(jié)果即可.【詳解】解：∵∠BAC=45°，∴，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，扇形的面積公式等，將求陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為求扇形面積減去三角形的面積是解題的關(guān)鍵.◎考點(diǎn)題型8求不規(guī)則圖形的面積例．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，以為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是（

）A．9 B．6 C．3 D．12【答案】A【分析】設(shè)AC與半圓交于點(diǎn)E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，證明BE=CE，得到弓形BE的面積=弓形CE的面積，則．【詳解】解：設(shè)AC與半圓交于點(diǎn)E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OCE=45°，∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE=45°，∴∠EOC=90°，∴OE垂直平分BC，∴BE=CE，∴弓形BE的面積=弓形CE的面積，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求不規(guī)則圖形的面積，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，以邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC頂點(diǎn)A為圓心、一定的長(zhǎng)為半徑畫弧，恰好與BC邊相切，分別交AB，AC于D，E，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作AF⊥BC，再根據(jù)勾股定理求出AF，然后根據(jù)陰影部分的面積=得出答案．【詳解】過點(diǎn)A作AF⊥BC，交BC于點(diǎn)F．∵△ABC是等邊三角形，BC=2，∴CF=BF=1．在Rt△ACF中，．∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求陰影部分的面積，涉及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及扇形面積計(jì)算等知識(shí)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積-扇形的面積是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·山西·中考真題）如圖，扇形紙片AOB的半徑為3，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊，，進(jìn)一步得到四邊形OACB是菱形；進(jìn)一步由得到是等邊三角形；最后陰影部分面積=扇形AOB面積-菱形的面積，即可【詳解】依題意：，∴∴四邊形OACB是菱形∴連接OC∵∴∴是等邊三角形同理：是等邊三角形故由三線合一，在中：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，菱形面積公式，扇形面積公式；解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)是等邊三角形變式3．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，以BC為直徑的半圓O交對(duì)角線BD于點(diǎn)E．則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接根據(jù)正方形的性質(zhì)求得，則可得，利用即可求得答案．【詳解】解：連接，四邊形為正方形，且邊長(zhǎng)為4，，，，，，，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算、正方形的性質(zhì)、梯形面積的計(jì)算，借助輔助線求出扇形的面積是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型9求圓錐的側(cè)面積母線的概念：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周任意一點(diǎn)的線段。圓錐體表面積公式：（為母線）備注：圓錐的表面積=扇形面積＋底面圓面積例．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）已知圓錐的母線長(zhǎng)8cm，底面圓的直徑6cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=×底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)計(jì)算即可求解．【詳解】解：底面直徑為6cm，則底面周長(zhǎng)=6π，側(cè)面面積=×6π×8=24πcm2．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積=×底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)．變式1．（2022·遼寧大連·九年級(jí)期末）如圖，圓錐的底面半徑OB＝3cm，高OC＝4cm．則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是(

)A．15cm2 B．12πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2【答案】A【分析】首先根據(jù)底面半徑OB=3cm，高OC=4cm，求出圓錐的母線長(zhǎng)，再利用圓錐的側(cè)面積公式求出即可．【詳解】解∶根據(jù)題意得：，∴這個(gè)圓錐的側(cè)面積是．故選：A【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式求法，正確的記憶圓錐側(cè)面積公式是解決問題的關(guān)鍵．變式2．（2021·云南·文山二中九年級(jí)階段練習(xí)）如果圓錐的母線長(zhǎng)為5cm，底面半徑為2cm，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（

）A．10cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．20cm2【答案】B【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟記圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式．變式3．（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，圓錐底面圓的半徑AB＝4，母線長(zhǎng)AC＝12，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（）A．16π B．24π C．48π D．96π【答案】C【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式，其中l(wèi)是圓錐的母線，r是底圓的半徑，求解即可．【詳解】解：由題意可知：圓錐的側(cè)面積為：，其中l(wèi)是圓錐的母線，r是底圓的半徑，．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積公式，如果把圓錐的側(cè)面沿著它的一條母線剪開，那么它的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)，圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積．◎考點(diǎn)題型10求圓錐底面半徑例．（2022·浙江臺(tái)州·九年級(jí)期末）將一個(gè)圓心角為120°，半徑為6的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓錐底面圓的半徑為（

）A．2 B．6 C．6 D．18【答案】A【分析】該圓錐底面圓的半徑為，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，則根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)該圓錐底面圓的半徑為，根據(jù)題意得，解得，即該圓錐底面圓的半徑為2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．變式1．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）已知圓錐的側(cè)面展開圖的面積是30πcm2，母線長(zhǎng)是10cm，則圓錐的底面圓的半徑為（

）A．3cm B．6cm C．2cm D．4cm【答案】A【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2，即可求解．【詳解】解：圓錐的底面圓的半徑為rcm，則底面周長(zhǎng)為，根據(jù)題意得：，解得：r=3，即圓錐的底面圓的半徑為3cm．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要利用了圓錐側(cè)面積，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·黑龍江牡丹江·一模）如圖，將圓錐沿一條母線剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑，扇形的圓心角，則該圓錐母線的長(zhǎng)為（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，結(jié)合弧長(zhǎng)公式得到，最后解關(guān)于的方程即可．【詳解】根據(jù)題意得解得，，即該圓錐的母線的長(zhǎng)為6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于圓錐的計(jì)算，掌握“圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐圓錐底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)”是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵．變式3．（2022·江蘇宿遷·九年級(jí)期末）將半徑為16cm的半圓形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑是（

）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【分析】易得圓錐的母線長(zhǎng)為16cm，以及圓錐的側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)，也就是圓錐的底面周長(zhǎng)，除以2π即為圓錐的底面半徑．【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為2π×16÷2＝16π（cm），∴圓錐的底面半徑為16π÷2π＝8（cm），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算．用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)．◎考點(diǎn)題型11求圓錐的高例．（2022·四川廣元·一模）如圖，聰聰用一張半徑為6cm、圓心角為120°的扇形紙片做成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知半徑為6cm，圓心角為120°的扇形，就可以求出扇形的弧長(zhǎng)，即圓錐的底面周長(zhǎng)，從而可以求出底面半徑，因?yàn)閳A錐的高與底面半徑、圓錐母線構(gòu)成直角三角形的三邊，就可以根據(jù)勾股定理求出圓錐的高．【詳解】解：扇形弧長(zhǎng)為：L==cm，設(shè)圓錐底面半徑為r，則：，所以r=2cm，因?yàn)閳A錐的高與底面半徑、圓錐母線構(gòu)成直角三角形的三邊，設(shè)圓錐高為h，所以h2+r2=62，即：h2=32，，所以圓錐的高為．故選：A【點(diǎn)睛】考查了圓錐的計(jì)算．圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．變式1．（2022·江蘇·九年級(jí)）如圖，將半徑為15cm的圓形紙片剪去圓心角為144°的一個(gè)扇形，用剩下的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），這個(gè)圓錐的高是（

）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm【答案】B【分析】設(shè)圓錐底面的圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形求出r的值，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算這個(gè)圓錐的高．【詳解】解：設(shè)圓錐底面的圓的半徑為r，360°-144°=216°，根據(jù)題意得，解得r=9，所以這個(gè)圓錐的高=（cm）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．變式2．（2022·山東淄博·九年級(jí)期末）如圖，在紙上剪下一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型，若圓的半徑為r，扇形的圓心角等于120°，則圍成的圓錐模型的高為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)扇形的半徑為，圓錐的高為，根據(jù)底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)即可列出等式求得，然后再利用，，構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理即可求得．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為，圓錐的高為，依題意得，解得，∵，，構(gòu)成以為斜邊的直角三角形，∴，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖的有關(guān)計(jì)算問題，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·廣東廣州·九年級(jí)期末）如圖，在紙上剪下一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型，若圓的半徑為，扇形的圓心角等于120°，則圍成的圓錐模型的高為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求得圍成的圓錐的母線長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得其高即可．【詳解】解：∵圓的半徑為r，扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)得出2πr．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，則=2πr，解得：R=3r．根據(jù)勾股定理得圓錐的高為r，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐側(cè)面面積的計(jì)算，正確理解圓的周長(zhǎng)就是扇形的弧長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型12求圓錐展開圖的圓心角例．（2022·江蘇南通·一模）如圖是一個(gè)圓錐體的三視圖（圖中尺寸單位：），則它的側(cè)面展開圖的圓心角為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓錐體的三視圖可得底面圓的半徑為3，然后根據(jù)圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由三視圖可得：圓錐底面圓的半徑為3，∴，解得：；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐側(cè)面展開圖、三視圖及弧長(zhǎng)公式，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開圖、三視圖及弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇·九年級(jí)）如圖是一個(gè)圓錐形冰淇淋外殼，已知其母線長(zhǎng)為10cm，底面半徑為3cm，則這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為（）．A．108° B．120° C．144° D．150°【答案】A【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度等于，即可得到答案．【詳解】解：∵母線長(zhǎng)為10cm，底面半徑為3cm，錐側(cè)面展開圖的圓心角度故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的計(jì)算，掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·廣西·南丹縣教學(xué)研究室二模）如圖，圓錐體的高，底面圓半徑，則該圓錐體的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是（

）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理，可求出母線長(zhǎng)為=3，圓錐的底面周長(zhǎng)為2πr=2π，根據(jù)圓錐展開圖弧長(zhǎng)公式即可求出圓心角.【詳解】解：圓錐的底面周長(zhǎng)為2πr=2π由勾股定理，得圓錐的母線長(zhǎng)為==3，∵=2π∴n=120故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐側(cè)面展開圖求圓心角的問題，注意等量的轉(zhuǎn)化，圓錐的底面圓周長(zhǎng)=展開圖扇形弧長(zhǎng)，圓錐母線長(zhǎng)=展開圖扇形半徑，同時(shí)注意母線長(zhǎng)=，熟練地掌握以上知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵.變式3．（2022·四川涼山·九年級(jí)期末）用半徑為R，圓心角為n的扇形圍成一個(gè)底面周長(zhǎng)是2π、高是的圓錐，則R和n的值分別為（

）A．，90° B．2，360° C．，180° D．2，180°【答案】D【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓的周長(zhǎng)公式可求出r=1，再利用勾股定理計(jì)算出R=2，然后利用弧長(zhǎng)公式得到2π×1=，則解方程得到n的值．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則2πr=2π，解得r=1，∴R==2，∵2π×1=，∴n=180°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．◎考點(diǎn)題型13圓內(nèi)側(cè)面上最短路徑問題例．（2022·河南三門峽·九年級(jí)期末）如圖，有圓錐形糧堆，其正視圖是邊長(zhǎng)為6的正三角形，糧堆母線的中點(diǎn)P處有一老