《管理運籌學》習題7解答1.某修理店只有一個修理工人，來修理的顧客到達次數服從泊松（普阿松）分布，平均每小時4人，修理時間服從負指數分布，平均需6min。求：（1）請畫出各狀態間概率強度的轉移圖，并寫出狀態概率的穩定方程。（2）修理店至少有一個顧客的概率。（3）店內有3個顧客的概率。（4）在店內顧客的平均數和平均逗留時間。若工人在修理店每逗留1小時平均喪失工作收入100元，修理服務費用正比于其服務率為每小時4元。假定顧客到達率不變，為使得店鋪和顧客的總損耗費用最低，求該店的最優服務率和平均最低費用。（5）平均等待修理（服務）時間。（6）必須在店內消耗15min以上的概率。（7）假設若店內已有3個顧客，那么后來的顧客即不再排隊。這時排隊系統的模型類型是什么？并求店內空閑的概率、在店內平均的顧客數、在店內平均逗留時間。（8）若顧客平均到達率增加到每小時12人，仍為泊松流，平均修理時間不變。是否需要增加工人？求修理工為2人時店內有兩個或更多顧客的概率。注：以上各問是無關聯的。解：入=4人/小時，卩=60/6=10人/小時，P=入/卩=0.4。（1）此系統為M/M/1排隊模型。各狀態間概率強度的轉移圖如下：入=4入=4狀態概率的穩定方程，如下：{-4P0+1OP]=O4Pn-1+10Pn+1-14Pn=0(n^1)修理店至少有一個顧客的概率等于1-P0；PO=1一p=1-0.4=0.6???1-P0=1-0.6=0.4P3=P3(1—p)=0.43(1—0.4)=0.0384店內顧客的平均數Ls=入/(卩-入)=4/(10-4)=2/3(人)一個顧客的平均逗留時間：Ws=Ls/入=2/3三4=1/6(小時)=10(分鐘)；系統單位時間總耗費T(u)=100L+4u=100?4/(u-4)+4usw令dT(u)/du=-400/(卩-4)2+4=0解得u*=14(人/小時)；此時，系統每小時平均總耗費最低，為T*(u)=100?4/(14-4)+4X4=56(元/小時)平均等待修理(服務)時間W=W-1/u=1/6-1/10=1/15(小時)=4(分鐘)qs15分鐘即1/4小時。P(Ws>l/4)=l-P(WsWl/4)=l-F(Ws)=l-(l-e-(io-4)?1/4)=e-(io-4)?1/4=0.2231(7)這是排隊系統是M/M/1/N模型。店內空閑的概率為p0=(1-p)/(1-P3+i)=(1-0.4)/(1-0.44)=0.6158店內平均顧客數為Ls=p/(l-p)-(3+l)p3+1/(1-p3+1)=0.4/(1-0.4)-(3+1)?0.43+1/(1-0.43+1)=0.5616(人);在店內平均逗留時間W=L/X=L/[u(1-P)]=0.5616/[10(1-0.6158)]=0.1462(小、時)sses0⑻此時卩=入/u=12/10=1.2。隊列將越來越長，故要增加工人。增加一個工人后，系統變為M/M/2排隊系統。尹1（九Y尹1（九Y1Jk!laLk=0、c!cg-九（出102!2x10-12'12、2<10丿-1=0.25卩=入/yXP=12/10X0.25=0.310則P{n±2}=1-P-P=1-0.25-0.3=0.45012（天津大學考研試題）.工件按泊松流到達服務臺，平均間隔時間為10min,假設對每一工件的服務（加工）所需時間服從負指數分布，平均服務時間為8min。試求：1）請畫出各狀態間概率強度的轉移圖，并寫出狀態概率的穩定方程。求出工件在系統內等待服務的平均數和工件在系統內平均逗留時間；（2）若要求有90%的把握使工件在系統內的逗留時間不超過30min,則工件的平均服務時間最多是多少？（3）若每一件工件的服務分成兩段，每段所需時間都服從負指數分布，平均都為4min。個工件完成兩個階段的加工后，緊接著的工件才能進入加工。在這種情況下，工件在系統內的平均數是多少？解：入=60/10=6人/小時，卩=60/8=7.5人/小時，P=入/卩=6/7.5=0.8（1）各狀態間概率強度的轉移圖如下：入=666n-1n+17.57.5入=666n-1n+17.57.5狀態概率的穩定方程，如下：?6P0+7.5P]=0|_6Pn-1+7.5Pn+1-13.5Pn=0（n^1）工件在系統內等待服務的平均數Lq=P入/（—入）=0.8X6/（7.5-6）=3.2（件）工件在系統內平均逗留時間Ws=1/（卩-入）=1/（7.5-6）=2/3（小時）=40（分鐘）（2）30分鐘即1/2小時。由F（Ws）=P（WsWl/2）=1-e-（片6）.1/2^90%得到工件的平均服務時間最多是1/uW0.09429（小時）~5.66（分鐘）。???工件在系統內的平均數是:⑶每個工件的加工時間服從2階愛爾朗分布，即本系統為M/E2/1類型。1/^=4/60+4/60=2/15卩=入/u=6X2/15=0.8；Var（T）=1/（k?卩2）=1/2X（2/15）???工件在系統內的平均數是:L=p+P2+嚴y]=0.8+082+62鬲=3.2s2（1-p）2（1一0.8）3?顧客以每小時4人的平均到達率到一個雙人理發店理發，顧客到達過程為Poisson流。當顧客到達理發店時發現理發店已有2個顧客在理發，則該顧客就拒絕進入此店，并不再來若理發店的理發時間服從負指數分布。請畫出各狀態間概率強度的轉移圖，并寫出狀態概率的穩定方程。并求：（1）若要保證在可能到達的顧客中至多有40%的顧客不進入理發店，則每個理發師必須以怎樣的服務率進行服務？

⑵若u=2人/小時，貝y進入理發店的平均顧客數是多少?(3)接第(1)問，顧客的平均逗留時間是多少？解：本題屬于M/M/2”損失制排隊系統模型。各狀態間概率強度的轉移圖如下：入=4入=4狀態概率的穩定方程，如下：-4P0+卩P1=04P1+2卩P2—(4+卩)P1=0、4P1-2HP2=0服務臺個數c=2,系統容量N=2。1+1+4+-42-由P=(九卩)2P=丄61——=8<40%npn2或卩<—6(舍去)22!02卩21+#+十卩2+4卩+8卩2卩2即每個理發師必須以每小時至少理發2人的服務率才能保證60%以上的顧客能隨時得到理發。由(1)計算可知，當h=2人/小時，則P2=40%。進入理發店的平均顧客數：Ls=“2(1-P2)=4/2?(1-40%)=1.2(人)顧客平均逗留時間就是其接受理發服務的平均時間1/卩。1/卩=1/2=0.5(小時)某通訊系統有數個通訊通道，此系統只要以40％的概率保證所有的通道通暢，就可以認為處于正常的導通狀態。假定每個通道暢通時間滿足參數為1的負指數分布，一旦一個通道發生故障，貝單位時間修理次數具有參數為4的負指數分布，且只能逐個進行修理(只有一個修理工)。請畫出各狀態間概率強度的轉移圖，并寫出狀態概率的穩定方程。并求：若要保證系統處于正常導通狀態，貝此系統至多只能設置多少個通訊通道?在正常導通狀態下所有通道都發生故障的概率?發生故障通道的平均數?在正常導通狀態下每個通道的平均損壞時間以及通道發生故障后等待修理的平均等待時間?解：本題排隊系統屬于M/M/1/m/m類型1)P0>0.4九=1；卩=4；P=X/1)P0>0.4當m=3時，P=0.4507〉0.4；當m=4時，P=0.3107〈0.4。00i=0故取m=3，即至多只能設置3個通道。各狀態間概率強度的轉移圖如下：

2入=2入=12入=2入=13入=3狀態概率的穩定方程，如下：「-3P0+4P]=Oy(3-n+1)Pn-1+4Pn+1=[(3-n)+4]Pn(n=1,2)也化=0在正常導通狀態下所有通道都發生故障的概率:3?P二0.09375x0.45070二0.04230發生故障通道的平均數:L=m—f(1-P)=3-4(1-0.4507)=0.8028(個)發生故障通道的平均數:S尢0134(1-34(1-0.4507)1二0?3654(單位時間)在正常導通狀態下每個通道的平均損壞時間:通道發生故障后等待修理的平均等待時間:11W=W-—=0.3654--=0.1154(單位時間)qsf4(選做題，華中科技大學考研試題)若系統｛N(t),t20｝以平均到達率入>0的最簡單流到達，且到達的顧客以概率a(0<a〈l)允許進入排隊。若以M(t)表示在長為t的時間區間內實際進入系統的顧客數。證明：“(\\(九at)〃PXM(t\=mJ=e-九at,t>0,m=0,1,2，…；m!若入=5人/min,a=4/5，試問在t=10min內實際進入系統的平均顧客數。解:(1)任給N(t)=n(n>0)的條件下，M(t)的條件分布為貝努利分布，所以，當0<mWn時,p{m(t)=m}=另p{mC)=m,NC)=n}=藝P^NC)=n}p^MC)=m|NC)=n}n=mn!e-In=mn!e-Itam(1-a)n-mn!m!(n-m)!n=mn=ma、1-a?mkt(1-a)lykt(1-a)lOiat\門=e-iat,t>0e-itm!n!n=0m!me-Itm!(n-m)!n=m(2)依上式，每分鐘實際進入的顧客為Aa4人，因此10min內實際進入系統的平均顧客數為40人。(選做題，上海理工大學考研試題)試證明M/M/1等待制排隊系統的等待時間分布為W(t)=1—pe-卩(i-p)t(t>0,pv1)；并求其期望值E(Wq)。q證明：設第n+1個顧客到達時，系統已有n個顧客，這個顧客的等待時間就是這n個顧客全部服務時間之和，即Wn=T'1+T2+_+Tno片0=2,3,…,n)都服從參數為卩的負指數分布，根據負指數分布的無記憶性，T'1也服從同分布的負指數分布，它們之間相互獨立，所以對于第n+1個顧客來說，Wn服從n階愛爾朗分布(n±l)oWn的概率密度函數為f(Wln+1),表示在系統已有n個顧客時的條件概率密度。即fWn+1)=如4」(n-1)!所以第n+1個顧客的等待時間Wq(n=0時，W=0)的概率密度：fW)=p-o+藝pfWn+J=區G-p)pn.yCw)-ie計=g_p)p比-叩藝GQ」qonn(n-1)!(n-1)!n=1n=1n=1=11—pJke-vw>e-九w=(1-p幾e-Q-d其中