段偉，周小姣，沙金鑫：高壓鍋銷售量分析與驗證段偉，周小姣，沙金鑫：高壓鍋銷售量分析與驗證#遼寧工程技術大學數學建模課程成績評定表學期11-12學年1學期姓名段偉05,周小姣28，沙金鑫17專業通信工程班級09-2班課程名稱數學建模論文題目高壓鍋銷售量分析與驗證評定指標分值得分知識創新性20理論正確性20內容難易性15評結合實際性10定知識掌握程度15疋書寫規范性10標工作量10準總成績100準評語:任課教師魏林時間11年9月8日備注TOC\o"1-5"\h\z摘要3一?模型的背景問題描述3基本假設3問題分析3符號說明4模型建立41?建立高壓鍋指數增長模型42?高壓鍋銷售線性模型的假設63?建立高壓鍋logistic模型74擬合Gompertz模型9綜合評價與結論10參考文獻10摘要本文根據給定的1981年到1993年高壓鍋銷售量的數據，并運用Logistic和Gompertz兩種曲線模型研究了某地區高壓鍋的銷售量的變化規律，分別建立指數增長模型、Logistic增長曲線模型和Gompertz增長曲線模型來對高壓鍋的銷售量進行預測分析，并對各模型進行了比較分析。一.模型的背景問題描述比較分析法是通過對財務報表中各類相關數字資料，將多期連續的相同指標或比率進行定基對比和環比對比，得出它們的增減變動方向、數額和幅度，以揭示企業財務狀況、經營情況和現金流量變化趨勢的一種分析方法。趨勢分析法在定量預測。趨勢分析法又可稱為趨勢曲線分析、曲線擬合或曲線回歸。它是根據已有的歷史數據資料來擬合一條曲線，使得這條曲線能夠反映出研究對象本身的增長趨勢，然后按增長趨勢曲線，對要求的未來的某一點進行估計，預測出該點該時刻的研究對象的預測值。F表為某地區1981年到1993年間高壓鍋的銷售量列表（單位：萬臺）。年份ty年份ty1981043.65198871238.7519821109.86198981560.0019832187.21199091824.2919843312.671991102199.0019854496.581992112438.8919865707.651993122737.7119876960.25表1-1:高壓鍋的銷售量（單位：萬臺）根據表1-1高壓鍋的銷售量數據，分析其變化規律，得到該地區高壓鍋的銷售量的變化趨勢的擬合曲線，建立銷售量的模型，通過建立的銷售量模型，得到模擬曲線，根據得到的擬合曲線，對該地區的高壓鍋銷售量進行預測。當地企業可以根據預報的高壓鍋銷售量，對高壓鍋生產量進行控制。二基本假設1、忽略人為因素對銷售量的影響。2、高壓鍋的銷售量隨時間連續變化。3、高壓鍋的增長量與當時的高壓鍋總量總是成正比。4、銷售量的增長律恒定。三?問題分析本文要求根據某地的1981年到1993年間高壓鍋銷售量的數據，建立高壓鍋的銷售量模型。根據表1-1:高壓鍋的銷售量(單位：萬臺)提供的數據，以時間t為衡軸，銷售量y為縱軸，建立銷售時間t與銷售量的關系圖，高壓鍋的銷售量圖表3-1顯然，高壓鍋的銷售量隨時間的變化呈指數增長。高壓鍋的銷售數量是連續變化的，但總體分析可以得出增長量與當時的高壓鍋總量成正比，銷售量的增長律是不變的。據此，建立高壓鍋的銷售量指數增長模型。rx(t)固有高壓鍋銷售量增長率，即：r(0)=r時段t的高壓鍋銷售量數xm高壓鍋的最大銷售量，顯然有r(xm)=0五■模型建立1?建立高壓鍋指數增長模型假設商品是自然銷售的，即不受人為因素影響，記時刻t的銷售量為x(t)，在銷售量基數很大的情況下，突然地增加或減少的只是少數幾個個體數，相對于全體數量而言可以忽略不計。將x(t)視為連續、可微函數。記初始時刻銷售量為x0，增長率為常數r,考慮t到t+At時間內高壓鍋銷售量的增量，有x(t+At)一x(t)=rx(t)Atdx令AtT0，得到dt"x(0)=x0⑴解出：x(t)=x0ert(2)

(2)式的參數r和x0可以用表1-1數據估計。為了利用最小二乘法，將(2)式取對數，可得y=rt+y=rt+a，y=Inx，a=Inx0(3)分別以1981年到1992年的數據和1981年到1993年的數據擬合(3)式，用matlab計算：t=0:11;x=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.7515601824.2921992438.89];y=log(x);p=polyfit(t,y1)r=p(1),x0=exp(p(2))Y=polyval(p,t);X=exp(Y);p=0.34354.4914r=0.3435x0=89.2424得到r=0.3435,x0=89.2424t=0:12;x=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.7515601824.2921992438.892737.71];y=log(x);p=polyfit(t,y1)r=p(1),x0=exp(p(2))Y=polyval(p,t);X=exp(Y);得到r=0.3205，x0=97.1060結果分析：用上面得到的參數r和x0代入⑶式,將結果與實際數據比較。x1是用1981年到1992年的數據擬合的結果，計算人口x2用的是全部數據的擬合的結果。年實際銷售量計算銷售量x1計算銷售量198143.6589.242497.10601982109.86125.8205133.79421983187.21177.3910184.34391984312.67250.0989253.99211985496.58352.6078349.95451986707.65497.132348225700.8937664.3460

19881989199019911988198919901991199219931238.751560.001824.292199.002438.892737.71988.17151393.21964.22769.33904.45504.7915.34691261.21737.72394.23298.84545表5-1根據表5-1的數據，用matlab制作指數增長型擬合圖形，圖5-1.1表示用1981年到1992年的數據擬合的結果圖，圖5-1.2表示用全部數據（1981年到1993年）擬合的結果。圖5-1.1、圖5-1.2中曲線是計算結果，“*”表示實際數據。定變化的，由此可見，高壓鍋的銷售量的增長律是不變的假設不成立。需重新建立模型分析。定變化的，由此可見，高壓鍋的銷售量的增長律是不變的假設不成立。需重新建立模型分析。2.高壓鍋銷售線性模型的假設由圖表3-1，假設y和t滿足線性關系，所以建立線性模型，設y=at+b利用最小二乘法確定a,b的具體值，并根據a,b的值擬合高壓鍋的銷售情況，與原數據進行比較。MATLAB的程序實現如下：y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.89;t=0:12;sp=polyfit(t,y,l);yy=polyval(p,t,l)plot(t,y,'*',t,yy)畫出原數據與擬合曲線圖5-2(yy-y)213=157.2915預測的標準誤差為：模型y=at+bsp=polyfit(t,y,l);yy=polyval(p,t,l)plot(t,y,'*',t,yy)畫出原數據與擬合曲線圖5-2(yy-y)213=157.2915預測的標準誤差為：模型y=at+b分析從圖形及標準誤差可以看出，線性模型雖然簡單，但誤差太大。并且當t時y，而高壓鍋銷售量是有限的，也就是說高壓鍋的銷售量是一個有限的數，不可能是一個無限大的。所以，用線性模型不能完全反映高壓鍋的銷售情況。必須尋找一個更好的模型去分析高壓鍋的銷售情況。3.建立高壓鍋logistic模型由于高壓鍋剛進入市場，人們對其需求量不是很大，高壓鍋銷售數量的增長率小；但隨時間推移，人們生活水平的提高，其銷售量增長率也逐漸提高，銷售數量將趨于一個定值，即L，此時銷售數量的增長率將趨于0?綜上，高壓鍋的銷售情況滿足Logistic模型。設高壓鍋的銷售數量的增長率為r(t)，高壓鍋的銷售量的上限為L，銷售量為y(t)dt則有：建立模型r(t)y=r(1-dy<dtr(1一模型分析y2yr=ry—當L與y(t)相比很大時，LL，與ry相比可以忽略不計，Logistic模型可以轉化為指數模型；而當L與y相比不是很大時，r疋就不能忽略，其作用是使高壓鍋的銷售量L的增長速度減緩下來。用Matlab對一階常微分方程模型做分析，程序如下：y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.89;t=0:12;y0=43.65;[tt,yy]=ode45(@Logistic,t,y0);plot(t,y,'*',tt,yy);作圖結果L圖5-3作圖結果L圖5-3y=Logistic增長曲線模型為t1+ae-kt.ae-ae-k兩邊同時取倒數得yL兩邊同時取對數得ln(—一1)=ln(ae-kt)=lna+lne-kt=lna一kty兩邊同時取對數得Lyl=ln(一1)令y，aa=-k，bb=lna.即得線性關系式：yy=aat+bb所以Logistic增長曲線模型能線性化。用Matlab對Logistic模型做非線性回歸Matlab程序如下：

y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.89;t=0:12;L=3000;y1=log(L./y-1);p=polyfit(t,y1,1);k=-p(1);a=exp(p(2));yy=L./(1+a*exp(-k*t));plot(t,y,'*',t,yy);擬合Logistic模型，畫出擬合圖形=Le擬合Logistic模型，畫出擬合圖形=Le_be「kt圖5-4Gompertz增長曲線模型為yt兩邊同時除以L得Lln兩邊同時取對數得=ln(_b)_ktln兩邊同時取對數得=ln(_b)_kt.再兩邊同時取對數得令y2=InIn-，aa=_k，bb=ln(_b).得線性關系式y2=aat+bb.擬合Gompertz模型用Matlab擬合Gompertz模型Matlab程序如下y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.892737.71];t=0:12;L=3000;

yl=log(log(y/L));a=polyfit(t,yl,l);b=-exp(a⑵)；k=-a(1);yy=L*exp(-b*exp(-k*t));plot(t,y,'*',t,yy);畫出Gompertz模型并與原數據比較，作圖如圖5-5圖5-5Ky=Logistic增長曲線模型，其一般形式為t1+ae-bt?增長曲線有兩個重要特征。一是y隨著t的增加直至+8而趨向于K，K即是Y的飽和值；反過來，當t~-時，y-0。二是增長曲線具有一個拐點，在拐點之前，y的增長速度越來越快；在拐點之后，y的增長速度越來越慢，逐漸趨近于0。在現實經濟生活中，許多指標的增長過程具有這兩個特征。所以，邏輯