2020-2021學年高一數學下學期期末考試全真模擬卷

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.復數z滿足|z-3/|=2（/為虛數單位），則復數z-4模的取值范圍是（）

A.[3,7]B.[0,5]C.[0,9]D.以上都不對

【答案】A

【解答】解：由|z-34=2,可知復數z對應點的軌跡為以8（0,3）為圓心，以2為半徑的圓上,

如圖：

則復數z-4模的最小值為|A8|-2=5-2=3,最大值為|A8|+2=5+2=7.

???復數z-4模的取值范圍是[3,7].

故選：A.

2.將一個總體分為甲、乙、丙三層，其個體數之比為5：4：1,若用分層抽樣的方法抽取容量為250的樣

本，則應從丙層中抽取的個體數為（）

D.100

【答案】A

【解答】解：因為甲、乙、丙三層，其個體數之比為5：4：1,

所以丙層所占的比例為一一=0.1,

5+4+1

所以應從丙層中抽取的個體數為0.1X250=25,

故選：4

3.排球比賽的規則是5局3勝制（5局比賽中，優先取得3局勝利的一方，獲得最終勝利，無平局），在

某次排球比賽中，甲隊在每局比賽中獲勝的概率都相等，均為2,前2局中乙隊以2：0領先，則最后乙

隊獲勝的概率是（

【答案】B

【解答】解：法一：根據題意，前2局中乙隊以2：0領先，則最后乙隊獲勝，有3種情況,

第三局乙隊獲勝，其概率為Pi=上，

3

第三局甲隊獲勝，第四局乙隊獲勝，其概率為。2=2義工=2,

339

第三、四局甲隊獲勝，第五局乙隊獲勝，其概率為P3=2X2XL=_￡,

33327

則最后乙隊獲勝的概率P=PI+P2+P3=』+2+_L=29；

392727

法二：根據題意，前2局中乙隊以2：0領先，

若最后甲隊獲勝，甲隊需要連勝三局，則甲隊獲勝的概率P'=（2）3=_§_,

327

則最后乙隊獲勝的概率P=I-P'=i-

2727

故選：B.

4.在△A8C中，點P滿足而=2衣，過點P的直線與AB,AC所在的直線分別交于點/W,N,若高二人族,

AN=HAC（A,n>0）,則2入+口的最小值為（）

A.B.3C.型D.4

33

【答案】A

【解答】如圖所示，BP=BA+AP-

PC=PA+BP.

又加=2五，

二-AB+AP=2（AC-AP）?

族=-語抻=在正僚而

又戶、M./V三點共線，

???--1--十+”2_—±1，

3九3|1

當且僅當u=2入時取“=”，

，2入+U的最小值是反.

3

故選：A.

5.某公司生產了一批新產品10000件，現從這些產品中隨機抽取200件，測量這些產品的一項質量指標值,

測量結果得如圖頻率分布直方圖，估計該公司的這批新產品的這項質量指標值不低于95的件數為

【答案】D

【分析】由頻率分布直方圖求出該公司的這批新產品的這項質量指標值不低于95的頻率，由此能求出該

公司的這批新產品的這項質量指標值不低于95的件數.

【解答】解：由頻率分布直方圖得：

該公司的這批新產品的這項質量指標值不低于95的頻率為：

(0.033+0.024+0.008+0.002)X10=0.67,

???該公司的這批新產品的這項質量指標值不低于95的件數為：

0.67X10000=6700.

故選：D.

6.如圖，在△ABC中，AN=2NC.P是BN上一點,若點=￡標+工正，則實數t的值為()

3

B

A.AB.2c.AD.3

6324

【答案】c

【解答】解：?.?屈=2前，

??AC或AN，

AAP=tABAC=tABAN'且&P，N三點共線，

t」=l，解得

122

故選：c.

7.如圖，三棱錐5rBe中，平面SAC_L平面ABC,過點8且與AC平行的平面a分別與棱SA、SC交于E,

F,若SA=SC=BA=BC=2,AC=2/2，則下列結論正確的序號為（）

①AC〃EF；

②若E,F分別為SA,SC的中點，則四棱錐B-AEFC的體積為返；

2

③若E,F分別為SA,SC的中點，則BF與SA所成角的余弦值為返；

3

@SC1.BE.

A.②③B.①②④C.①②③D.①②

【答案】C

【解答】①：AC〃平面BEF,平面SACC平面BEF=EF,ACu平面SAC,

：.AC//EF,即①正確；

②取AC的中點M,連接BM、SM,

"：BA=BC,：.BMLAM,

又平面SACJ_平面A8C,平面SACC平面A8C=AC,8/Wu平面A8C,

平面SAC,即點B到平面AEFC的距離為BM=圾.

；SA=5C=2,AC=2&,...△SAC為等腰直角三角形，

-''SAEFC—S&SAC~S&sEf——S>4*SC--SE'SF——.

222

VB-AEFC——BM'SAEFC——X,即②正確；

3322

B

③連接MF,

VM>F分別為AC、SC的中點，.?.FM〃S4FM=lsA=l,/8F/W即為BF與SA所成角.

2

在RtZ\BMF中，tanNBFM=刈l=返=加,

_FM1

/.cosZBFM=返，

3_

；.8F與SA所成角的余弦值為返，即③正確；

3

④連接EM,

由②知，8M_L平面SAC,ABM1SC,

若5C_LBE,VBMC\BE=B,BM、BEu平面BME,，SCJ_平面8/WE,

又EMu平面B/WE,：.SC±EM,這與SC〃EM相矛盾，即④錯誤.

,正確的有①②③，

故選：C.

8.如圖，在△ABC中，AD1BC,垂足為D,BD：DC：AD=2：3：6,則/8AC的度數是（）

A.—B.—C.—D.—

3462

【答案】B

【分析】由題意和直角三角形中正切函數求出tan/BAD、tanZCAD,利用兩角和的正切函數求出tanZBAD

的值，由/BAC的范圍和特殊角的正切值求出ZBAC；

【解答】解：VBD：DC：AD=2：3:6,AD1.BC,

...tanNa4D=?5_=工tan/CAD=2?>=」，

AD3AD2

則tan/BAC=tan(ZBAD+ZCAD)1,

Hxi

又NBACe(0,TT),

貝!|/BAC=上;

4

故選：B.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.全對得5分，少選得3分，多選、錯選不得

分.

9.從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么不互斥的兩個事件是（）

A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”

B.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”

C.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”

D.“至少有一個黑球”與“都是紅球”

【答案】AB

【分析】根據互斥事件的定義可得.

【解答】解：”至少有一個黑球”中包含“都是黑球，A正確；

“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”可能同時發生，8正確；

“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”不可能同時發生，C不正確：

“至少有一個黑球”與“都是紅球”不可能同時發生，。不正確.

故選：AB.

10.如圖，在以下四個正方體中，直線A8與平面CDE垂直的是（）

【分析】對于4由/84)=三，CE//AD,得直線A8與平面CDE不垂直；對于8,由CE_L4B,DE1AB,

4

得直線AB_L平面CDE；對于C,由AB與CE所成角為乃，知直線A8與平面CDE不垂直；對于D,

3

推導出DE_L48,CErAB,從而A8_L平面COE.

【解答】解：對于A,VZB4D=—,CE〃/W,與CE不垂直，

4

：CEU平面CDE,.?.直線AB與平面CDE不垂直，故A錯誤；

對于B,'CCELAB,DE±AB,CECyDE=E,二直線AB_L平面8￡,故8正確；

對于C,A8與CE所成角為三，.,.直線A8與平面CDE不垂直，故C錯誤；

3

對于D,如圖，\'DE±BF,DELAF,BFDAF=F,平面ABF,

?.,48<=平面48尸，，。￡_1_48,同理得CEJ_AB,

\'DEC\CE=E,.?.A8_L平面CDE,故D正確.

【知識點】直線與平面垂直

11.中國籃球職業聯賽(CBA)中，某男能球運動員在最近兒次參加的比賽中的得分情況如表:

投籃次數投中兩分球的次數投中三分球的次數

1005518

記該運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A,投中三分球為事件B,沒投中為事件C,用頻率估計概率

的方法，得到的下述結論中，正確的是()

A.P⑷=0.55B.P(B)=0.18

C.P(C)=0.27D.P(B+C)=0.55

【答案】ABC

【分析】利用古典概型概率計算公式直接求解.

【解答】解：記該運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件4投中三分球為事件8,沒投中為事件C,

由古典概型得：

P(4)=至"=0.55,故A正確；

100

P(8)=一14_=0.18,故8正確；

100

P(C)=1-P(4)-P(S)=1-0.55-0.18=0.27,故C正確；

P(B+C)=P(8)+P(C)=0.18+0.27=0.45,故。錯誤.

故選：ABC.

12.RtZV?BC中，ZABC=90Q,AB=如,BC=L竺以下正確的是()

|PA||PBIIPCI

A.Z4PB=120°B.NBPC=120°C.2BP=PCD.AP=2PC

【答案】ABCD

【分析】根據平面向量的平行四邊形法則判斷A，8,構造相似三角形判斷C,D.

【解答】解：在直線外,PB,PC上分別取點M,N,G,使得|而|=|由|=|同|=1，

以PM,PN為鄰邊作平行四邊形P/MQ/V,則而+而=同，

W-+基l-+W—=d即而+而+而=0

|PA||PBIIPCI

PQ+PG=o.，P，G,。三點共線且PQ=1,

故△PMQ和△PNQ均為等邊三角形，

：.ZAPB=ZBPC=ZAPC=120°,故4正確，B正確;

?；AB=M，BC=1,ZABC=90°，：.AC=2,ZACB=60°，

在△ABC外部分別以BC、AC為邊作等邊三角形BCE和等邊三角形ACD,

則8,C,。三點共線，A,P,E三點共線，

：.ZBCD=120Q,故NBCD=N8PC,

...更^^」，gppc=2BP,故C正確，

CPCD2

同理可得：△APCS/SACB,

...”2￡=2,即AP=2PC,故。正確.

CPBC

故選：ABCD.

三.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設復數z=l+2（其中，?為虛數單位），貝Hz|=.

i

【分析】根據復數的基本運算法則進行化簡，再利用復數的模長公式即可求出結果.

【解答】解：z=l+g=l-2i,

1?⑶=yj12+(-2)2=泥，

故答案為：^5-

【知識點】復數的模

14.從m個男生和c個女生（10/m>nN6）中任選2個人當班長，假設事件A表示選出的2個人性別相

同，事件8表示選出的2個人性別不同，如果A的概率和B的概率相同，貝U（m,"）可能為.

【答案】（10,6）

c2+c2

【分析】由A的概率和8的概率相同，得至小-工一工=T-上由此能求出（m,n）可能取值.

Lm-hiLm-hi

【解答】解：從m個男生和n個女生（10\m>n》6）中任選2個人當班長，

假設事件4表示選出的2個人性別相同，事件B表示選出的2個人性別不同，

A的概率和8的概率相同，

C：+C：clcl

「2廣2

Um-inIm-Hi

整理，得Cm-n）占m+c,

則（m,n）可能為（10,6）,

故答案為：（10,6）.

【知識點】互斥事件的概率加法公式

15.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=3,D,E與M,N分別是A8,AC的三等分點，且希?施=-1，則

cos4=,AB-BC=.

【分析】可取邊BC的中點為。，然后以點。為原點，以直線8C為x軸，建立平面直角坐標系，并設。c

=。，然后可得出A,B,C的坐標，進而根據定比分點坐標公式即可得出D,E,M,N的坐標,

從而得出向量而，施的坐標，從而根據DN?ME=-1即可求出然后即可求出向量

M,AC>標的坐標，從而可求出cosA和AB?BC的值.

【解答】解：取BC的中點為。，以點。為原點，直線BC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設

OC=a,a>0,則:

A（0,9-a2）?B（-a,0）'c（o<°）',E（一冬，a）>

oooo

嗚.嗎耳N號,厚1），

，5iJ=（a,-也工），亞=（-a,-耳￡），

OO

2

DN-ME=-a2+^y-=-l'解得。=房，

???A（0,

.一■?一“9],36

,AB?AC.553

lABllACl=3X3"5瓦書嘖X笈卷

【知識點】平面向量數量積的性質及其運算

16.已知長方體ABCD-4B1GD1，48=稱，AD=2,AA]=2?，已知P是矩形ABCD內一動點，力]與平面

A8CD所成角為匹，設P點形成的軌跡長度為a,則tana=；當JP的長度最短時，三棱錐5-

3—

DPC的外接球的表面積為

【分析】因為以1與平面ABCD所成角0為工，所以可得AP=2,即P點的軌跡為以A為圓心，以2為半

3

徑的圓與矩形ABCD的交點即征，由矩形的邊長可得質的值，進而求出它的正切值，當QP的

長度最短時，而JP=JccJ+CP2，所以當CP最小時，GP最小，而當4P,Q三點共線時，

CP最小，求出CP的值，進而由余弦定理求出DP,求出三角形。CP的外接圓的半徑，由。。1，面

CDP,所以三棱錐5-DCP的外接球的球心為過底面三角形DCP的外接圓的圓心的垂線與中截面

的交點，由外接球的半徑，和高的一半，由勾股定理可得R的值，進而求出外接球的表面積.

【解答】解：在長方體的底面矩形A8CD內一動點P,連接AP,

因為%1與平面A8CD所成角。為？L,AA\=2北,所以tanO="l=2Za=?,所以AP

3APAP

=2,

所以P點的軌跡為以A為圓心，以2為半徑的圓，與底面矩形8c的交點為E,D,

即P的軌跡為圓弧加，連接AE,

3,

在△A8E中，cos/EA8=坐=2=3,所以s\nZDAE=cosZEAB=旦，所以arcsinZD4E=2,

AE2444

所以a=DE=2?NDAE，可得a為鈍角,

所以sina=sin(2arcsinZD4E)—2,—3M7.,.,.cosa=-A,

4488

所以tana=-35;

當CiP的長度最短時，而JP=JcC[2+cp2,所以當CP最小時，JP最小,

而當A,P,Q三點共線時，CP=AC-AP=36產2=_1?最小，

3_

連接DP,由于cos/DCP=^=J2------^=3,

A。J22+(^)25

所以在三角形CDP中，由余弦定理可得DP=VCD2-K：P2-2CD-CP-COSZDCF=

KT"嚕

Via

而sin/OCP=^,設三角形CDP的外接圓的半徑為r,則2r=一比_10V7o.

5sinZDCP三~2~,

-5

所以r=叵,

4

由DDi面CDP,所以三棱錐Di-DCP的外接球的球心為過底面三角形DCP的外接圓的圓心的

垂線與中截面的交點,

設外接球的半徑為R，則R2=?+(DD］.)2=也+3=空,

2168

所以外接球的表面積S=4irR2=型也

2

四.解答題：本大題共5小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.在某次數學考試中，小江的成績在90分以上的概率是X,在［80,90］的概率是0.48,在［70,80)的概

率是0.11,在［60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.計算：

(I)x的值；

(n)小江在此次數學考試中取得so分及以上的概率；

(III)小江考試及格(成績不低于60分)的概率.

【分析】(I)分別記小江的成績在90分以上，［80,90),［70,80),［60,70),60分以下為事件A,

B,C,D,E,它們是互斥事件，由題意得P(4)+P(B)+P(C)+P(D)+P(.E)=1,由此能求

出X.

(H)小江的成績在80分及以上的概率為P(A+B),P(A+B)=P(A)+P(B),由此能求

出結果.

(III)小江考試及格(成績不低于60分)的概率為P(無)-1-P(E).

【解答】解：(I)分別記小江的成績在90分以上，［80,90),［70,80),［60,70),60分以下為事

件A,B,C,D,E,它們是互斥事件，

由條件得：P(A)=x,P(6)=0.48,P(C)=0.11,P(D)=0.09,P(E)=0.07,

由題意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(￡)=1,

；.x=l-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25.

(II)小江的成績在80分及以上的概率為P(A+B),

P(A+B)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73.

(Ill)小江考試及格(成績不低于60分)的概率為：

P(E)=1-P(￡)=1-0.07=0.93.

18.某服務電話，打進的電話響第1聲時被接的概率是0.1;響第2聲時被接的概率是0.2；響第3聲時被

接的概率是0.3；響第4聲時被接的概率是0.35.

(1)打進的電話在響5聲之前被接的概率是多少？

(2)打進的電話響4聲而不被接的概率是多少

【分析】(1)設事件”電話響第k聲時被接”為4(k6N),事件4彼此互斥，設“打進的電話在響5

聲之前被接”為事件4根據互斥事件概率加法公式，能求出打進的電話在響5聲之前被接的概

率.

(2)事件“打進的電話響4聲而不被接”是事件4“打進的電話在響5聲之前被接”的對

立事件，記為I根據對立事件的概率公式，能求出打進的電話響4聲而不被接的概率.

【解答】解：(1)設事件“電話響第A聲時被接”為Ak(k€N),

那么事件4彼此互斥，

設“打進的電話在響5聲之前被接”為事件A,

根據互斥事件概率加法公式，得：

P(A)=P(A1UA2UA3UA4)

=P(4i)+P"2)+P(A3)+P(4)

=0.1+0.2+03+035=0.95.

(2)事件“打進的電話響4聲而不被接”是事件A,

“打進的電話在響5聲之前被接”的對立事件，記為I

根據對立事件的概率公式，得P(仄)=1-P(A)=1-0.95=0.05.

19.某中學高一年級舉行了一次數學競賽，從中隨機抽取了一批學生的成績，經統計，這批學生的成績全

部介于50至至0之間,將數據按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作

出頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求頻率分布直方圖中。的值；

(2)若從高一學生中隨機抽取一人，估計這名學生數學競賽成績不低于80分的概率；

(3)假設同組中的每個數據都用該組區間的中點值代替，估計高一年級學生本次數學競賽的平均分.

0.0351....r1

0.030*.....1\

/If

II

0.010.：I-'

o.oo5.;：!:.

05060708090100成績(分)

【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質，列出方程，能求出。的值.

(2)抽取的樣本中，成績不低于80分的學生所占的比例是0.3,由此能估計這名學生數學競

賽成績不低于80分的概率.

(3)利用頻率分布直方圖能估計高一年級學生本次數學競賽的平均分.

【解答】解：(1)由題意可知(0.005+0.030+0.035+0+0.010)X10=l,

解得a=0.020.

(2)抽取的樣本中，

成績不低于80分的學生所占的比例是(a+0.010)X10=(0.020+0.010)X10=0.3,

所以若從高一學生中隨機抽取一人，

估計這名學生數學競賽成績不低于80分的概率為0.3.

(3)因為(55X0.005+65X0.030+750.035+85X0.020+95X0.010)X10=75,

因此估計高一年級學生本次數學競賽的平均分為75.

20.圖1,平行四邊形A8c。中，AC±BC,AC=BC=1,現將△ADC沿AC折起，得到三棱錐D-ABC(如圖

2),且DA_L8C,點E為側棱DC的中點.

D

(1)求證：AE_L平面OBC；

(2)求三棱錐。-AEB的體積；

(3)在/ACB的角平分線上是否存在點F,使得。F〃平面ABE?若存在，求DF的長；若不存在，請說明

理由.

【分析】(1)推導出AEJLCD,AC1BC,ADLBC,得至ljBC1平面ACD,又AE_L.BC,則AE_L平面8CD,由

此能證明平面ABE_L平面BCD.

(2)由14XBC=14ACE，由求出三棱錐O-AEB的體積.

(3)取AB中點。，連接CO并延長至點F,使CO=OF,連接AF,DF,BF,推導出射線C。是

ZACB的角平分線，推導出OE〃DF,從而DF〃平面ABE,推導出BC//AF,AF1AD,由此能

求出DF.

【解答】解：(1)證明：在平行四邊形ABC。中，AD=BC=AC,

VE是側棱DC的中點，，AE1.CD,

V4C1BC,AD1.BC,§.ACC\AD=A,8C_L平面ACD,

平面AS,：.AELBC,

vecncD=c,平面BCD,

?”Eu平面ABE,平面ABE_L平面BCD.

(2)'：VE-ABC=VB-ACE，BC_L平面ACD,；.8C是三棱錐C-ABD的高，

VBC=1,CD=A/2>AE=返，

2

?Fb恭AEx|xCE^yx*x/X亞=J，

乙乙乙乙乙

...三棱錐D-AEB的體積為：

―|XBCXSAACE=1X1X1=^

(3)取A8中點0,連接C。并延長至點F,使CO=OF,

連接AF,DF,BF,

；8C=AC,射線C。是NACB的角平分線，

?.?點E是CD中點，：.OE//DF,

：OEu平面A8E,DFC平面A8E,；.DF〃平面ABE,

"：AB,FC互相平行，.?.四邊形ACBF是平行四邊形，；.BC〃AF,

'：DA±BC,：.AF±AD,

\"AF=AD=1,：.DF=V2-

21.已知△ABC的內角A、B、C的對應邊分別為a、b、c,在①3cosC(acos8+bcosA)=csinC；②asinA+B

2

=csinA；③(sinB-sinA)^sidC-sinBsinA.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，當

時，且△ABC的外接圓半徑為1,求△A8C的面積S的最大值.

【分析】選①或選②或選③，利用正弦定理求得C=?L,再利用正弦定理可求c的值，利用余弦定理可

3

求ab的最大值，即可根據三角形的面積公式求解.

【解答】解：若選①J^cosC(acosB+bcosA)=csinC,

則由正弦定理得，VScosC(sin4cosB+sinBcos>4)=sinCsinC,

即J^cosCsin(4+B)=sinCsinC,可得J^=tanC,

又Ce(0,n),可得C=—；

3

若選②，則由正弦定理知，sinAsin2/■=sinCsin4,

2

即cos—=sinC=2sin—cos—,可得sin-=A,

22222

又ce(o,it),可得Ce(o,2L),解得C=_2L,可得c=2L：

22263

若選③，則由正弦定理得，(b-a)』c2-ab,

化簡得。2+62-c2—ab,

999

所以cosC=a+b-c=旦=_1,

2ab2ab2

由ce(0,n),可得c=±；

3

因為△ABC的外接圓半徑R=