/第03講實際問題與一元二次方程(重點題型方法與技巧)目錄類型一：傳播問題類型二：平均增長（降低）率問題類型三：幾何圖形面積問題 類型四：數(shù)字問題 類型五：銷售利潤問題類型六：其他問題類型一：傳播問題傳染源第一輪被傳染的第二輪被傳染的第二輪傳染后的總數(shù)．典型例題例題1．（2022·河南信陽·九年級期末）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有225人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均每人傳染的人數(shù)為x人，則可列方程（

）A． B． C． D．例題2．（2022·黑龍江省八五四農(nóng)場學(xué)校九年級期末）2021年10月10日，第七屆黑龍江綠色食品產(chǎn)業(yè)博覽會開幕，虎林市組建團隊參加，在參加會議前團隊每兩個人間互送了一次名片，一共送出90張名片，這個團隊共有_____人．例題3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染，請用一元二次方程的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，那么經(jīng)過三輪感染后，被感染的電腦共有多少臺？同類題型演練1．（2022·四川廣元·九年級期末）有一人感染了新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人被感染，每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)x滿足的方程為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）有一人患了紅眼病，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了紅眼病，那每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為（

）人．A．10 B．11 C．12 D．133．（2021·山東·九年級期中）今年“國慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個人都要發(fā)一個紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動，群內(nèi)所有人共收到200個紅包，則可以列方程為__．4．（2022·江西九江·九年級期末）某樹主干長出x根枝干，每個枝干又長出x根小分支，若主干、枝干和小分支總數(shù)共133根，則主干長出枝干的根數(shù)x為______．5．（2021·湖北·荊州市荊南中學(xué)九年級期中）在一次聚會上，規(guī)定每兩個人見面必須握1次手．

（1）若參加聚會的人數(shù)為6，則共握手次，若參加聚會的人數(shù)為n（n為正整數(shù)），則共握手次；

（2）若參加聚會的人共握手36次，請求出參加聚會的人數(shù)？類型二：平均增長（降低）率問題（1）設(shè)基數(shù)為，平均增長率為，則第一次增長后的值為，兩次增長后的值為，依次類推，次增長后的．（2）設(shè)基數(shù)為，平均降低率為，則第一次降低后的值為，兩次降低后的值為，依次類推，次降低后的值為．典型例題例題1．（2022·黑龍江黑河·九年級期末）某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元，已知兩次降價的百分率相同，設(shè)每次降價的百分率為x，根據(jù)題意列方程得（

）A．100(1+x)2=81 B．100(1-x2)=81C．100(1-2x)=81 D．100(1-x)2=81例題2．（2022·全國·九年級單元測試）某種藥品的價格經(jīng)過兩次連續(xù)降價后，由每盒100元下調(diào)至64元，假設(shè)每次降價的百分率相等，這種藥品每次降價的百分率是________．例題3．（2022·河南平頂山·九年級期末）網(wǎng)絡(luò)購物已成為新的消費方式，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展，某小型的快遞公司，今年5月份與7月份完成快遞件數(shù)分別為5萬件和6.05萬件，假定每月投遞的快遞件數(shù)的增長率相同．(1)求該快遞公司投遞的快遞件數(shù)的月平均增長率：(2)如果每個快遞小哥平均每月最多可投遞0.8萬件，公司現(xiàn)有8個快遞小哥，按此快遞增長速度，不增加人手的情況下，能否完成今年8月份的投遞任務(wù)？同類題型演練1．（2022·云南紅河·九年級期末）某商品原售價是200元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為162元，設(shè)平均每次降百分率為x，則下面所列方程中正確的是（

）A． B． C． D．2．（2021·湖南株洲·九年級期中）某廠家2020年1～5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計如圖所示．從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率約為（

）．2020年1～5月份某廠家的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計圖A．45% B．50% C．67% D．75%3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）在國家政策的宏觀調(diào)控下，某市的商品房成交均價由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，則11、12兩月平均每月降價的百分率是_______%．4．（2021·湖南永州·九年級期中）某工廠今年元月份的產(chǎn)值是50萬元，3月份的產(chǎn)值達到了72萬元．若求2、3月份的產(chǎn)值平均增長率，設(shè)這兩個月的產(chǎn)值平均月增長率為x，依題意可列方程______．5．（2022·陜西安康·九年級期末）某商店以每件16元的價格購進了一批熱銷商品，出售價格經(jīng)過兩個月的調(diào)整，從每件25元上漲到每件36元，此時每月可售出160件商品．(1)求該商品平均每月的價格增長率；(2)因某些原因商家需盡快將這批商品售出，決定降價出售．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：售價每下降0.5元，每個月多賣出1件，當(dāng)降價多少元時商品每月的利潤可達到1800元．類型三：幾何圖形面積問題幾何圖形應(yīng)用題，關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，找出未知量與已知量的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)面積或體積公式列出方程．典型例題例題1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級期末）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為(

)A．35×20-35-20+22=600 B．35×20-35-2×20=600C．(35-2)(20-)=600 D．(35-)(20-)=600例題2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540m2，則道路的寬為_______．例題3．（2021·內(nèi)蒙古通遼·九年級期末）如圖，有一農(nóng)戶要建一個矩形雞舍，雞舍的一邊利用長為米的墻，另外三邊用米長的籬笆圍成，為方便進出，在垂直于墻的一邊上留一個米寬的門，(1)若，問矩形的邊長分別為多少時，雞舍面積為平方米(2)若住房墻的長度足夠長，問雞舍面積能否達到平方米？同類題型演練1．（2022·江蘇·九年級單元測試）如圖，在一塊寬為，長為的矩形空地上，修筑寬相等的兩條小路，兩條路分別與矩形的邊平行，如圖，若使剩余（陰影）部分的面積為，問小路的寬應(yīng)是多少？設(shè)小路的寬為，根據(jù)題意得（

）A． B．C． D．以上都不正確2．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積擴大了一倍，則小圓形場地的半徑為（

）A．5m B．（5+）m C．（5+3）m D．（5+5）m3．（2020·陜西商洛·九年級期末）如圖，一農(nóng)戶要建議個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12m的墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進出，在垂直于墻的一邊留一個1m寬的門，花圃面積為80m2，設(shè)于墻垂直的一邊長為xm，則可以列出方程是（

）A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝804．（2021·江蘇淮安·九年級期中）如圖，某小區(qū)有一塊長為、寬為的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為________．5．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）某校準備在一塊長為米，寬為米的長方形花園內(nèi)修建一個底部為正方形的亭子如圖所示，在亭子四周修四條寬度相同，且與亭子各邊垂直的小路，亭子邊長是小路寬度的倍，花園內(nèi)的空白地方鋪草坪，設(shè)小路寬度為米．(1)花園內(nèi)的小路面積為______平方米用含的代數(shù)式表示．(2)若草坪面積為平方米時，求這時道路寬度的值．類型四：數(shù)字問題若一個兩位數(shù)十位、個位上的數(shù)字分別為、，則這個兩位數(shù)表示為；若一個三位數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字分別為、、，則這個三位數(shù)表示為．典型例題例題1．（2019·全國·九年級）若兩個連續(xù)正偶數(shù)的平方差為36，則這兩個數(shù)為（

）A．-8和-10 B．8和10C．8和-10 D．-8和10例題2．（2021·江蘇常州·九年級期中）已知一個數(shù)的平方減去30的差等于這個數(shù)本身，則這個數(shù)為___．例題3．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）一個兩位數(shù)字，十位數(shù)字比個位數(shù)字大3，而這兩個數(shù)字之積等于這個兩位數(shù)的，求這個兩位數(shù)．同類題型演練1．（2019·全國·九年級）兩個連續(xù)整數(shù)的平方和為85，則這兩個整數(shù)為（

）A．6，7 B．-7，-6C．6，7或-7，-6 D．不定2．（2020·全國·九年級課時練習(xí)）已知一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4，這個兩位數(shù)十位和個位交換位置后，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積為1612，那么原兩位數(shù)是（

）A．95 B．59 C．26 D．623．（2021·青海·西寧市沈那中學(xué)九年級階段練習(xí)）一個兩位數(shù)等于它的兩個數(shù)字積的3倍，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小2，設(shè)個位上的數(shù)字為x，由此得到方程____．4．（2021·江西南昌·九年級階段練習(xí)）在2021年10月的日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為180，則這個最小數(shù)為______．5．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式．一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位上數(shù)字與十位上數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，求這個兩位數(shù)．類型五：銷售利潤問題；；；．典型例題例題1．（2022·全國·九年級單元測試）將進價為元/個的某種商品按元/個出售時，能賣出500個，已知這種商品每個每漲價1元，其銷售數(shù)量就減少個，若想使利潤達到元，售價應(yīng)是多少？設(shè)售價為元/個，則可列方程（

）A．B．C．D．例題2．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，為了擴大銷售量，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件．若商場平均每天銷售這種襯衫的盈利要達到1200元，則每件襯衫應(yīng)降價多少元？設(shè)每件襯衫降價x元，由題意列得方程______．例題3．（2022·陜西西安·九年級期末）為了滿足初中學(xué)業(yè)水平體育與健康考試的需求，某體育用品專賣店從廠家以單價40元進購了一種排球，如果以單價60元出售，那么每月可售出400個，根據(jù)銷售經(jīng)驗，銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少5個．(1)設(shè)銷售單價提高x元，則每個排球獲得的利潤是_____元；這種排球這個月的銷售量是_____個；(2)若該專賣店準備在這種排球銷售上一月獲利10500元，同時又要使顧客得到實惠，則售價應(yīng)定為多少元？同類題型演練1．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品.若每件商品的售價定為元，則可賣出件，若商店計劃從這批商品中獲取400元的利潤（不計其他成本），求售價．根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）小強為活動小組購買統(tǒng)一服裝，經(jīng)理給予如下優(yōu)惠：如果一次性購買不超過10件，單價為80元：如果一次性購買超過10件，那么每多買一件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價最終不低于50元．小強一次性購買這種服裝花費1200元，則他購買了這種服裝的件數(shù)是(

)A．20件 B．24件 C．20件或30件 D．30件3．（2022·山東青島·二模）扶貧工作小組對果農(nóng)進行精準扶貧，幫助果農(nóng)將一種有機生態(tài)水果拓寬了市場．與去年相比，今年這種水果的產(chǎn)量增加了1000千克，每千克的平均批發(fā)價比去年降低了1元，批發(fā)銷售總額比去年增加了20%．已知去年這種水果批發(fā)銷售總額為10000元，則這種水果今年每千克的平均批發(fā)價是______元．4．（2022·廣東清遠·九年級期末）2021年端午節(jié)期間，合肥某食品專賣店準備了一批粽子，每盒利潤為50元，平均每天可賣300盒，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)每降價1元，可多銷售10盒，為了盡快減少庫存，決定采取降價措施，專賣店要想平均每天盈利16000元，設(shè)每盒粽子降價元，可列方程________．5．（2022·河南安陽·九年級期末）近兩年直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音平臺上對一款成本價為60元的商品進行直播銷售，如果按每件100元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查，該商品售價每降低5元，日銷售量增加10件，設(shè)每件商品降價x元．(1)每件商品降價x元時，日銷售量為______件；(2)求x為何值時，日銷售能盈利1200元，同時又能盡快銷售完該商品；(3)麗麗的線下實體商店也銷售同款商品，標(biāo)價100元．為了提高市場競爭力，促進線下銷售，麗麗決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（2）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？類型六：其他問題典型例題例題1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級期末）某校八年級組織一次籃球賽，各班均組隊參賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩班之間都賽一場），共需安排36場比賽，則八年級班級的個數(shù)為(

)A．6 B．9 C．7 D．8例題2．（2022·全國·九年級）某年級舉行籃球比賽，賽制為雙循環(huán)賽，即每一個球隊都和其它的球隊進行一場比賽，已知共舉行了42場比賽，那么共有（

）支隊伍參加了比賽．A．7 B．6 C．12 D．14例題3．（2022·全國·九年級）某校九(1)班的學(xué)生互贈新年賀卡，共用去1560張賀卡，則九(1)班有________名學(xué)生．例題4．（2022·重慶沙坪壩·一模）助力上海疫情抗擊戰(zhàn)，愛心蔬菜送上門．志愿者將青菜與土豆打包成愛心蔬菜包，在當(dāng)?shù)胤饪匦^(qū)進行“免費送蔬菜”活動，每個愛心蔬菜包中青菜比土豆多3斤，第一天共送出300個愛心蔬菜包，青菜與土豆共送出2100斤．(1)求每個愛心蔬菜包中青菜和土豆各多少斤？(2)第二天經(jīng)過緊急調(diào)運，每個愛心蔬菜包中青菜比第一天多1斤，土豆比第一天多m斤，送出的蔬菜包個數(shù)比第一天多100m個，結(jié)果第二天送出的青菜比土豆多1200斤，求m的值．例題5．（2022·重慶南開中學(xué)三模）海姆立克急救法是日常搶救氣管被異物堵塞的急救方法，但兒童和成人的施救方法不同．北關(guān)中學(xué)為教職工開設(shè)“成人急救班”與“兒童急救班”．已知報名參加“成人急救班”與“兒童急救班”的人數(shù)共80人，其中報名參加“成人急救班”的人數(shù)比報名參加“兒童急救班”人數(shù)的一半還少10人．(1)報名參加“成人急救班”與“兒童急救班”的教職工各多少人？(2)開課當(dāng)天，參加“成人急救班”的人數(shù)在報名人數(shù)基礎(chǔ)上增加了4m人，人均操作道具時間比原計劃的每人5分鐘少分鐘；參加“兒童急救班”的人數(shù)在報名人數(shù)基礎(chǔ)上減少了3m人，人均操作道具時間比原計劃的每人3分鐘多1分鐘，則兩個班所有人操作道具的總時間比原計劃增加60分鐘，求m的值．同類題型演練1．（2022·湖北襄陽·二模）《田畝比類乘除捷法》是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百九十一步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為891平方