2019中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)30切線的性質(zhì)和判定

一.選擇題（共11小題）

1.（2019?哈爾濱）如圖，點(diǎn)P為。。外一點(diǎn)，PA為00的切線，A為切點(diǎn)，P0交。0于點(diǎn)

B,NP=30°,0B=3,則線段BP的長為（）

【解答】解：連接0A,

：PA為。。的切線，

AZ0AP=90°,

VZP=30°,0B=3,

；.A0=3,則0P=6,

故BP=6-3=3.

2.（2019?眉山）如圖所示，AB是。。的直徑，PA切。0于點(diǎn)A,線段P0交。0于點(diǎn)C,連

結(jié)BC,若NP=36。，則/B等于（）

【解答】解：；PA切。0于點(diǎn)A,

Z0AP=90",

VZP=36°,

???NA0P=54°,

.\ZB=27°.

故選：A.

3.（2019?重慶）如圖，已知AB是。0的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，PD與。。相切于點(diǎn)

D,過點(diǎn)B作PD的垂線交PD的延長線于點(diǎn)C,若。0的半徑為4,BC=6,則PA的長為（）

【解答】解：連接D0,

??PD與GO相切于點(diǎn)D

\ZPD0=90°,

.*ZC=90o,

??DO〃BC,

,.△PDO^APCB,

,DQP042

,BCPB63'

x+4_2

設(shè)PA=x,則

x+83

解得:x=4,

故PAM.

故選：A.

4.（2019?福建）如圖,AB是。0的直徑,BC與。0相切于點(diǎn)B,AC交。0于點(diǎn)D,若NACB=50°,

則/BOD等于（）

A.40°B.50°C.60°D.80°

【解答】解：；BC是。0的切線，

AZABC=90°,

ZA=90°-ZACB=40°,

由圓周角定理得，ZB0D=2ZA=80°,

故選:D.

5.（2019?瀘州）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)0為圓心，1為半徑作圓，點(diǎn)P在直線

y=J5x+2盯上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作該圓的一條切線，切點(diǎn)為A,則PA的最小值為（）

A.3B.2C.73D.V2

【解答】解：如圖，直線丫=/a+2我與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D,作OH_LCD于H,

當(dāng)x=0時(shí)，y=J^x+2后2對(duì)，則D（0,2我），

當(dāng)y=0時(shí)，?x+2后0,解得x=-2,貝l|C（-2,0）,

“D刃2?+（2仃產(chǎn)%

V^（）H?CD=^-OC?OD,

22

...。且警正

連接0A,如圖，

VPA為。0的切線,

；.OA_LPA,

，PA^OP^A^VOP2-1-

當(dāng)0P的值最小時(shí)，PA的值最小,

而0P的最小值為0H的長，

APA的最小值為J（J5）2"r加?

6.（2019?泰安）如圖，BM與。。相切于點(diǎn)B,若NMBA=140°則NACB的度數(shù)為（）

【解答】解：如圖，連接OA、0B,

/.Z0BM=90°,

VZMBA=140°,

AZAB0=50°,

V0A=0B,

，NAB0=NBA0=50°,

???NA0B=80°,

AZACB=—ZA0B=40°,

2

故選：A.

7.（2019?深圳）如圖，一把直尺，60°的直角三角板和光盤如圖擺放，A為60°角與直尺

【解答】解：設(shè)三角板與圓的切點(diǎn)為C,連接0A、0B,

由切線長定理知AB=AC=3,0A平分/BAC,

AZ0AB=60°,

在Rt^ABO中，0B=ABtanN0AB=3代，

光盤的直徑為6弋母，

故選：D.

8.（2019?重慶）如圖，AABC中，ZA=30°,點(diǎn)。是邊AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)0為圓心，以0B

為半徑作圓，。。恰好與AC相切于點(diǎn)D,連接BD.若BD平分NABC,AD=2?,則線段CD

的長是（）

A.2B.V3C.|D.1V3

【解答】解：連接0D

?.?0D是。。的半徑，AC是。0的切線，點(diǎn)D是切點(diǎn),

A0D1AC

在RtZ\AOD中，VZA=30",AD=2?,

.?-0D=0B=2,A0=4,

.\ZODB=ZOBD,又；BD平分NABC,

ZOBD=ZCBD

ZODB=ZCBD

，OD〃CB,

.ADAO

,,CD=OB

即2M:4

CD-2

?'?CD=V3.

故選：B.

9.（2019?湘西州）如圖,直線AB與。0相切于點(diǎn)A,AC、CD是。0的兩條弦,且CD〃AB,

若。。的半徑為5,CD=8,則弦AC的長為（）

A.10B.8C.4aD.4代

【解答】解：?.?直線AB與00相切于點(diǎn)A,

.\OA±AB,

又：CD〃AB,

.-.AO±CD,記垂足為E,

VCD=8,

；.CE=DE=LD=4,

2

連接0C,則0C=0A=5,

在RtZ\0CE中，2=^22=3,

，AE=A0+0E=8,

則AC刃CE2+AE742+82=4代,

故選：D.

10.（2019?宜昌）如圖，直線AB是。。的切線，C為切點(diǎn)，OD〃AB交。0于點(diǎn)D,點(diǎn)E在

ED,則NCED的度數(shù)為（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【解答】解：：直線AB是。。的切線，C為切點(diǎn),

Z0CB=90°,

V0D/7AB,

，NC0D=90°，

AZCED-—ZCOD=45°，

2

故選:D.

11.（2019?無錫）如圖，矩形ABCD中，G是BC的中點(diǎn)，過A、D、G三點(diǎn)的圓。與邊AB、

CD分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,給出下列說法：（1）AC與BD的交點(diǎn)是圓0的圓心；（2）AF與DE

的交點(diǎn)是圓。的圓心；（3）BC與圓0相切，其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）

【解答】解：連接DG、AG,作GHLAD于H,連接0D,如圖,

是BC的中點(diǎn)，

；.AG=DG,

；.GH垂直平分AD,

...點(diǎn)0在HG上，

VAD/7BC,

.?.BC與圓0相切；

VOG=OG,

??.點(diǎn)0不是HG的中點(diǎn)，

圓心0不是AC與BD的交點(diǎn)；

而四邊形AEFD為。0的內(nèi)接矩形，

/.AF與DE的交點(diǎn)是圓0的圓心;

A（1）錯(cuò)誤，（2）（3）正確.

故選：C.

—.填空題（共14小題）

12.（2019?安徽）如圖，菱形AB0C的邊AB,AC分別與。0相切于點(diǎn)D,E.若點(diǎn)D是AB

的中點(diǎn)，則ND0E=60°.

AE

B

IO/

【解答】解：連接OA,

?..四邊形ABOC是菱形，

.,.BA=BO,

；AB與。。相切于點(diǎn)D,

A0D1AB,

,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),

/.直線0D是線段AB的垂直平分線,

.".OA=OB,

.".△AOB是等邊三角形，

OAB與。。相切于點(diǎn)D,

A0DXAB,

.,.ZA0D=—ZA0B=30°，

2

同理，ZA0E=30°,

ZD0E=ZA0D+ZA0E=60o,

故答案為：60.

13.（2019?連云港）如圖，AB是。0的弦，點(diǎn)C在過點(diǎn)B的切線上，且0CL0A,0C交AB

于點(diǎn)P,已知N0AB=22°,則/OCB=44°.

cB

??,BC是。。的切線，

A0B1BC,

AZ0BA+ZCBP=90o,

VOC±OA,

AZA+ZAP0=90°,

VOA=OB,NOAB=22°,

.\ZOAB=ZOBA=22°,

AZAP0=ZCBP=68°,

VZAPO=ZCPB,

/.ZCPB=ZABP=68°,

/.Z0CB=180°-68°-68°=44°,

故答案為：44°

14.（2019?泰州）如圖，AABC中,ZACB=90°,sinA=—,AC=12,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)

13

針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C,P為線段A'B'上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PAZ長為半徑作。P,

當(dāng)。P與4ABC的邊相切時(shí)，OP的半徑為孚■或警.

【解答】解：如圖1中，當(dāng)。P與直線AC相切于點(diǎn)Q時(shí)，連接PQ.

設(shè)PQ=PA，=r,

?.?PQ〃CA',

.PQ_PBy

A，B，

.r_13T

>?一，

1213

156

r=南'

如圖2中，當(dāng)。P與AB相切于點(diǎn)T時(shí)，易證A'、B'、T共線,

VAA,BT^AABC,

.A7T_A?B

，，-AC--AB-'

.A'T_17

??，

1213

，r=4T=^-.

213

綜上所述，OP的半徑為電2或善.

2513

15.（2019?寧波）如圖，正方形ABCD的邊長為8,M是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，

連結(jié)PM,以點(diǎn)P為圓心，PM長為半徑作。P.當(dāng)。P與正方形ABCD的邊相切時(shí)，BP的長為

3或4\五?

【解答】解：如圖1中，當(dāng)。P與直線CD相切時(shí)，設(shè)PC=PM=m.

在RtAPBM中，,/PM2=BM2+PB2,

.\xM2+(8-x)2,

x=5,

APC=5,BP=BC-PC=8-5=3.

如圖2中當(dāng)。P與直線AD相切時(shí).設(shè)切點(diǎn)為K,連接PK,則PKJ_AD,四邊形PKDC是矩形.

KD

；.PM=PK=CD=2BM,

.\BM=4,PM=8,

在R3BM中，PB=A/g2_42=45/3,

綜上所述，BP的長為3或4y.

16.（2019?臺(tái)州）如圖，AB是。。的直徑，C是。。上的點(diǎn)，過點(diǎn)C作。。的切線交AB的

,則/D=26度.

【解答】解：連接0C,

由圓周角定理得，ZC0D=2ZA=64°,

：CD為。。的切線,

,,.0C1CD,

ZD=90°-ZC0D=26",

17.（2019?長沙）如圖，點(diǎn)A,B,D在。0上，ZA=20",BC是。。的切線，B為切點(diǎn)，0D

的延長線交BC于點(diǎn)C,則N0CB=50度.

【解答】解：

VZA=20°,

AZB0C=40°,

：BC是。。的切線，B為切點(diǎn),

；./0BC=90°,

AZ0CB=900-40°=50°,

故答案為：50.

18.（2019?香坊區(qū)）如圖，BD是。。的直徑，BA是。0的弦，過點(diǎn)A的切線交BD延長線于

點(diǎn)C,0ELAB于E,且AB=AC,若CD=2加,則0E的長為.

【解答】解：連接0A、AD,如右圖所示，

???BD是。。的直徑，BA是。0的弦，過點(diǎn)A的切線交BD延長線于點(diǎn)C,0ELAB于E,

AZDAB=90",Z0AC=90°,

VAB=AC,

ZB=ZC,

在△ACO和ABAD中，

rZC=ZB

AC=AB

'ZCA0=ZBAD，

AAACO^ABAD(ASA),

AA0=AD,

VA0=0D,

/.AO=OD=AD,

/.AAOD是等邊二角形,

AZAD0=ZDA0=60°,

ZB=ZC=30°,ZOAE=3O0,/DAC=30°,

.\AD=DC,

?；CD=2&,

，AD=2&,

.?.點(diǎn)0為AD的中點(diǎn),OE〃AD,OE±AB,

；.0E=&,

故答案為：

19.（2019?山西）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，以

CD為直徑作。0,。。分別與AC,BC交于點(diǎn)E,F,過點(diǎn)F作。0的切線FG,交AB于點(diǎn)G,

在Rtz^ABC中，根據(jù)勾股定理得，AB=10,

.?.點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，

；.CD=BD*B=5,

連接DF,

：CD是。。的直徑，

AZCFD=90°,

BF=CF與C二4,

2

ADF=VCD^CF^3>

連接OF,

V0C=0D,CF=BF,

AOF/7AB,

/.Z0FC=ZB,

??,FG是。。的切線，

/.Z0FG=90°,

/.Z0FC+ZBFG=90°,

???NBFG+NB=90°,

20.（2019?包頭）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。0上，過點(diǎn)C的切線與BA的延長線交

于點(diǎn)D,點(diǎn)E在筋上（不與點(diǎn)B,C重合），連接BE,CE.若ND=40°,則NBEC=115度.

O

B

D.

E

［解答］解：

連接OC,

VDC切。0于C,

AZDC0=90°,

VZD=40°,

/.ZC0B=ZD+ZDC0=130°,

,血的度數(shù)是130°，

二施的度數(shù)是360°-130°=230°,

AZBEC=yX2300=口5。，

故答案為：115.

21.（2019?湘潭）如圖，AB是。0的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，若NA=30°,則NA0B=60°

【解答】解：：AB是。0的切線,

AZ0BA=90°,

ZA0B=90°-ZA=60°,

故答案為：60°.

22.（2019?徐州）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，CD與。。相切于點(diǎn)D.若

ZC=18°,則NCDA=126度.

【解答】解：連接0D,則N0DC=90°,ZC0D=72°；

VOA=OD,

AZODA=ZA=—ZC0D=36°,

2

AZCDA=ZCD0+Z0DA=90°+36°=126°.

23.（2019?青島）如圖，RtAABC,ZB=90°,ZC=30°,。為AC上一點(diǎn)，0A=2,以0為

圓心，以

0A為半徑的圓與CB相切于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)F,連接OE、0F,則圖中陰影部分的面積是

【解答】解：???NB=90°,ZC=30°,

AZA=60°,

V0A=0F,

.,.△AOF是等邊三角形，

AZC0F=120°,

V0A=2,

扇形OGF的面積為：與但兀

3603

VOA為半徑的圓與CB相切于點(diǎn)E,

AZ0EC=90°,

.\0C=20E=4,

AAC=0C+0A=6,

.\AB=—AC=3,

2

由勾股定理可知：BC=3?

」.△ABC的面積為：-^-X3XS-y^^x/3

「△OAF的面積為：-j-X2x73=73,

,陰影部分面積為:IVs-Vs-l51^-!31

4J/J

故答案為:vVs-4n

24.（2019?廣東）如圖，矩形ABCD中，BC=4,CD=2,以AD為直徑的半圓。與BC相切于點(diǎn)

E,連接BD,則陰影部分的面積為n.（結(jié)果保留

【解答】解：連接0E,如圖，

：以AD為直徑的半圓。與BC相切于點(diǎn)E,

；.0D=2,0E1BC,

易得四邊形OECD為正方形，

2

由弧DE、線段EC、CD所圍成的面積=S止方形OECD-S血形EOD=Z2-———三4-冗,

360

.?.陰影部分的面積=-1"X2X4-（4-n）=it.

故答案為九.

E

25.（2019?南京）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,以CD為直徑作。0.將矩形ABCD

繞點(diǎn)C

旋轉(zhuǎn)，使所得矩形A'B'C'D'的邊A'B'與。0相切，切點(diǎn)為E,邊CD'與00相交于點(diǎn)

F,則CF的長為4.

BC

【解答】解：連接0E,延長E0交CD于點(diǎn)G,作OHLB'C于點(diǎn)H,

A'

A

BC

則/OEB'=Z0HBz=90°,

?.?矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)所得矩形為A'B'C'D',

NB'=NB'CD'=90°,AB=CD=5、BC=B'C=4,

二四邊形OEB'H和四邊形EB'CG都是矩形,OE=OD=OC=2.5,

.?.B'H=0E=2.5,

.\CH=B,C-B'H=1.5,

???CG=B'E=OHWOC2VH々2.52-1.S-

?.?四邊形EB'CG是矩形,

AZ0GC=90°,即OG_LCD',

；.CF=2CG=4,

故答案為：4.

三.解答題（共25小題）

26.（2019?柯橋區(qū)模擬）如圖，已知三角形ABC的邊AB是。。的切線，切點(diǎn)為B.AC經(jīng)過

圓心0并與圓相交于點(diǎn)I）、C,過C作直線CE_LAB,交AB的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：CB平分/ACE；

(2)若BE=3,CE=4,求。0的半徑.

【解答】(1)證明：如圖1,連接0B,

；AB是。0的切線，

AOBIAB,

VCE±AB,

；.OB〃CE,

VOB=OC,

.\Z1=Z2

N2=N3,

...CB平分NACE；

(2)如圖2,連接BD,

VCE±AB,

AZE=90°,

=22=2Z=5

BCVBE+CEV3+4，

YCD是。。的直徑，

AZDBC=90°,

NE=NDBC,

AADBC^ACBE,

.CDBC

??二一,

BCCE

.\BC2=CD*CE,

.,.CD=-^1=—,

44

27.(2019?天津)已知AB是。。的直徑，弦CD與AB相交，ZBAC=38°,

(1)如圖①，若D為定的中點(diǎn)，求NABC和NABD的大?。?/p>

(II)如圖②，過點(diǎn)D作。0的切線，與AB的延長線交于點(diǎn)P,若DP/7AC,求/0CD的大小.

圖①圖②

【解答】解：(I)：AB是。。的直徑，弦CD與AB相交，ZBAC=38°,

AZACB=90°,

AZABC=ZACB-ZBAC=90°-38°=52°,

為定的中點(diǎn),ZA0B=180°,

AZA0D=90",

AZACD=45°；

(ID連接0D,

「DP切。0于點(diǎn)D,

.".ODIDP,即N0I)P=90°,

由DP〃AC,又/BAC=38°,

???NP二NBAC=38°,

ZAOD是AODP的一個(gè)外角，

.\ZA0D=ZP+Z0DP=128°,

AZACD=64°,

VOC=OA,ZBAC=38°,

/.ZOCA=ZBAC=38°,

AZOCD=ZACD-Z0CA=64°-38°=26°.

圖②

28.(2019?荊門)如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)C的切線交AB的延長

線于點(diǎn)E,ADJ_EC交EC的延長線于點(diǎn)I),AD交。0于F,FM_LAB于H,分別交。0、AC于M、

N,連接MB,BC.

(1)求證：AC平分NDAE；

(2)若cosM=冬BE=1,①求。。的半徑；②求FN的長.

5

【解答】(1)證明：連接0C,如圖,

,直線DE與。。相切于點(diǎn)C,

A0C1DE,

XVAD1DE,

A0C/7AD.

AZ1=Z3

VOA=OC,

AZ2=Z3,

AZ1=Z2,

???AC平方NDAE；

(2)解：①???AB為直徑,

AZAFB=90°,

而DE±AD,

ABF/7DE,

AOC±BF,

?人

??CF^BO

AZCOE=ZFAB,

而NFAB=NM,

???ZC0E=ZM,

設(shè)。。的半徑為r,

在RtaOCE中，cosNCOE二冬即上^鳥，解得r=4,

0E5r+15

即。。的半徑為4；

②連接BF,如圖,

在Rtz2kAFB中，cosNFAB二處,

AB

???_4^32

AF=8XTT

在RtZkOCE中,0E=5,0C=4,

ACE=3,

VAB1FM,

,余命

???N5=N4,

VFB/7DE,

AZ5=ZE=Z4,

-C『BG

???N1=N2,

???AAFN^AAEC,

:里雪即田管39,

CEAE3

y

39

.\FN=—.

15

29.(2019?隨州)如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，CN為。。的切線，0M1AB

于點(diǎn)0,分別交AC、CN于D、M兩點(diǎn).

(1)求證：MD=MC；

(2)若。。的半徑為5,ACMjm求MC的長.

;CN為。0的切線,

/.0C1CM,Z0CA+ZACM=90°,

V0M1AB,

AZ0AC+Z0DA=90°，

V0A=0C,

AZ0AC=Z0CA,

，ZACM=ZODA=ZCDM,

.?,MD=MC；

（2）由題意可知AB=5X2=10,AC=4旄,

。AB是。0的直徑,

AZACB=90°,

10^~（4x/5）2^5,

VZAOD=ZACB,ZA=ZA,

/.AAOD^AACB,

.QDAOOP__5

?,而W2后一煙

可得：0D=2.5,

設(shè)MC=MD=x,在Rtz^OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52,

解得：x=學(xué)，

4

即MC=—.

4

30.（2019?黃岡）如圖，AD是00的直徑，AB為（DO的弦，0P1AI）,0P與AB的延長線交

于點(diǎn)P,過B點(diǎn)的切線交0P于點(diǎn)C.

（1）求證：ZCBP=ZADB.

（2）若0A=2,AB=1,求線段BP的長.

【解答】（1）證明：連接0B,如圖,

?；AD是。0的直徑，

AZABD=90°,

AZA+ZADB=90°,

VBC為切線，

A0B1BC,

/.Z0BC=90°,

AZ0BA+ZCBP=90°,

而OA=OB,

???ZA=Z0BA,

???ZCBP=ZADB；

(2)解：VOP±AD,

AZP0A=90°,

AZP+ZA=90°,

???NP=ND,

.'.△AOP^AABD,

,AP_AOl+BP_2

??----------------,bn|Jn------------------------，

ADAB41

31.（2019?襄陽）如圖，AB是。0的直徑，AM和BN是。0的兩條切線，E為。0上一點(diǎn),

過點(diǎn)E作直線DC分別交AM,BN于點(diǎn)D,C,且CB=CE.

（1）求證：DA=DE；

（2）若AB=6,CD=4?,求圖中陰影部分的面積.

【解答】解：（1）證明：連接0E、0C.

VOB=OE,

???ZOBE=ZOEB.

VBC=EC,

AZCBE=ZCEB,

I.ZOBC=ZOEC.

??,BC為。。的切線，

AZ0EC=Z0BC=90°；

???0E為半徑，

???CD為。。的切線，

???AD切。0于點(diǎn)A,

ADA=DE；

(2)如圖，過點(diǎn)D作DFJ_BC于點(diǎn)F,則四邊形ABFD是矩形，

AAD=BF,DF=AB=6,

???DC=BC+AD=4?.

ABC-AD=275，

?,.BC=3仃

在直角△(?(：中，tanNBOE=EJf,

BOV。

AZB0C=60".

在aoEc與aoBc中，

"OE=OB

-oc=oc.

LCE=CB

AAOEC^AOBC(SSS),

.".ZB0E=2ZB0C=120°.

；?S陰賬部分二S四邊形BCEO-S扇形OBE=2X《BOOB-12°義二X°B，963-

2360

D.V

32.(2019?長春)如圖，AB是。。的直徑,AC切。0于點(diǎn)A,BC交。0于點(diǎn)D.已知。。的

半徑為6,ZC=40°.

(1)求/B的度數(shù).

(2)求命的長.(結(jié)果保留n)

B

AC

【解答】解：(1)〈AC切。。于點(diǎn)A,

ZBAC=90°,

VZC=40°,

???NB=50°；

B

(2)連接0D,1。「一一下、

AC

VZB=50°,

AZA0D=2ZB=100°，

33.(2019?白銀)如圖，點(diǎn)0是aABC的邊AB上一點(diǎn)，。。與邊AC相切于點(diǎn)E,與邊BC,

AB分別相交于點(diǎn)D,F,且DE=EF.

(1)求證：ZC=90°；

(2)當(dāng)BC=3,sinA=C寸，求AF的長.

【解答】解：(1)連接OE,BE,

VDE=EF,

?■?DE=EF

???NOBE二NDBE

VOE=OB,

AZOEB=ZOBE

/.ZOEB=ZDBE,

???OE〃BC

???。0與邊AC相切于點(diǎn)E,

AOE1AC

ABC!AC

AZC=90°

3

(2)在/XABC,ZC=90°,BC=3,sinA二」

5

???AB=5,

設(shè)。0的半徑為r,貝ijAO5-r,

QEr

在RtAAOE中,sinA=-

OA5-r5

...r=-1--5-

8

1Rc

.\AF=5-2X^2--

84

34.(2019?綿陽)如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)D在。。上(點(diǎn)D不與A,B重合)，直線AD

交過點(diǎn)B的切線于點(diǎn)C,過點(diǎn)D作。0的切線DE交BC于點(diǎn)E.

(1)求證：BE=CE；

(2)若DE〃AB,求sinNACO的值.

【解答】(1)證明：連接0D,如圖，

???EB、ED為。。的切線,

AEB=ED,0D1DE,AB1CB,

AZAD0+ZCDE=90°,ZA+ZACB=90°,

VOA=OD,

AZA=ZADO,

???ZCDE=ZACB,

AEC=ED,

???BE=CE；

(2)解：作OH_LAD于H,如圖，設(shè)。0的半徑為r,

VDE^AB,

AZD0B=ZDEB=90°,

???四邊形OBED為矩形，

而OB=OD,

...四邊形OBED為正方形,

.\DE=CE=r,

易得aAOD和4CDE都為等腰直角三角形，

.\OH=DH=^r,CD=V^r,

在Rt/XOCB中，在刃（Zr^+r^V^r，

在RtAOCII中，sinZOCH=^=-2-r=2!S^

oc而1。

即sinNACO的值為

10

35.（2019?德州）如圖，AB是。。的直徑，直線CD與。。相切于點(diǎn)C,且與AB的延長線交

于點(diǎn)E,點(diǎn)C是前的中點(diǎn).

（1）求證：AD1CD；

（2）若NCAD=30°,。。的半徑為3,一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)，沿著BE-EC-&爬回至點(diǎn)B,

求螞蟻爬過的路程（口Q3.14,73^1.73,結(jié)果保留一位小數(shù)）.

【解答】（1）證明：連接0C,

?.?直線CD與。0相切,

AOCICD,

丁點(diǎn)C是前的中點(diǎn)，

???NDAC=NEAC,

VOA=OC,

???ZOCA=ZEAC,

/.ZDAC=ZOCA,

???OC〃AD,

AAD±CD；

(2)解：VZCAD=30°,

AZCAE=ZCAI>30°,

由圓周角定理得，ZC0E=60°,

.?.0E=20C=6,EC=J&C=3y反，祕(mì)=空穿n，

loU

...螞蟻爬過的路程=3+3后“Ml.3.

36.(2019?北京)如圖，AB是。。的直徑，過。0外一點(diǎn)P作。0的兩條切線PC,PD,切

點(diǎn)分別為CD,連接OP,CD.

(1)求證：0P1CD；

(2)連接AD,BC,若NDAB=50°,ZCBA=70°，0A=2,求0P的長.

【解答】解：(1)連接0C,0D,

；.0C=0D,

VPD,PC是。。的切線,

VZ0DP=Z0CP=90°,

OD=OC

在RtZ\ODP和RtAOCP

OP=OP'

ARtAODP^RtAOCP,

AZDOP=ZCOP,

VOD=OC,

AOP±CD；

(2)如圖，連接OD,OC,

AOA=OD=OC=OB=2,

AZAD0=ZDA0=50°,NBCO=NCBO=70°,

AZA0D=80°,ZB0C=40°,

AZC0D=60°,

V0D=0C,

/.△COD是等邊三角形，

由(1)知,ZD0P=ZC0P=30°,

在RtZ\ODP中，0P=—°.。

cos303

37.(2019?銅仁市)如圖，在三角形ABC中，AB=6,AC=BC=5,以BC為直徑作。0交AB于

點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)G,直線DF是。。的切線，D為切點(diǎn)，交CB的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：DF1AC；

(2)求tanNE的值.

【解答】（1）證明：如圖，連接OC,CD,

??,BC是。。的直徑，

AZBDC=90°,

/.CD±AB,

VAC=BC,

???AD=BD,

VOB=OC,

???0D是aABC的中位線

.*.OD//AC,

???DF為。。的切線，

A0D1DF,

???DF_LAC；

(2)解：如圖,連接BG,

???BC是。。的直徑，

AZBGC=90°,

VZEFC=90°=ZBGC,

???EF〃BG,

JZCBG=ZE,

Rt^BDC中，?.?BD=3,BC=5,

ACD=4,

SA*■加?CD=,AC?BG，

6X4=5BG,

BG罩，

5

由勾股定理得：CG=,52-（譽(yù)產(chǎn)卷

38.(2019?昆明)如圖，AB是。。的直徑，ED切。0于點(diǎn)C,AD交。0于點(diǎn)F,/AC平分

ZBAD,連接BF.

(1)求證：AD1ED；

(2)若CD=4,AF=2,求。。的半徑.

【解答】（1）證明：連接0C,如圖,

VAC平分NBAD,

.-.Z1=Z2,

VOA=OC,

.\Z1=Z3,

，/2=N3,

；.0C〃AD,

：ED切。0于點(diǎn)C

A0C1DE,

.".ADIED；

(2)解：0C交BF于H,如圖,

「AB為直徑，

AZAFB=90°,

易得四邊形CDFH為矩形，

；.FH=CD=4,ZCHF=90°,

，BH=FH=4,

BF=8,

在RSABF中，AB=^AF2+Bp2=Ay22+g2=2^,

...oo的半徑為

39.(2019?陜西)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以斜邊AB上的中線CD為直徑作。0,

分別與AC、BC交于點(diǎn)M、N.

(1)過點(diǎn)N作。0的切線NE與AB相交于點(diǎn)E,求證：NE1AB；

(2)連接MD,求證：MD=NB.

【解答】證明：(1)連接0N,如圖,

VCD為斜邊AB上的中線，

；.CD=AD=DB,

V0C=0N,

AZ2=ZB,

???ON〃DB,

VNE為切線，

AON±NE,

ANE1AB；

(2)連接DN,如圖，

;AD為直徑，

AZCMD=ZCND=90",

而NMCB=90°,

???四邊形CMDN為矩形,

.\DM=CN,

VDN±BC,Z1=ZB,

ACN=BN,

AMD=NB.

40.(2019?曲靖)如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，將弧BC沿直線BC翻折，

使弧BC的中點(diǎn)D恰好與圓心0重合，連接0C,CD,BD,過點(diǎn)C的切線與線段BA的延長線

交于點(diǎn)P,連接AD,在PB的另一側(cè)作NMPB二NADC.

(1)判斷PM與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若PC=?,求四邊形0CDB的面積.

C

【解答】解：（l）PM與。0相切.

理由如下：

連接DO并延長交PM于E,如圖，

?.?弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中點(diǎn)D恰好與圓心0重合,

；.OC=DC,BO=BD,

.?.OC=DC=BO=BD,

四邊形OBDC為菱形，

AODIBC,

AA0CD和AOBD都是等邊三角形，

AZC0D=ZB0D=60°，

：.ZC0P=ZE0P=60"，

"：ZMPB=ZADC,

而NADC=NABC,

,?ZABC=ZMPB,

,.PM/7BC,

\OE1PM,

,.OE=-1<)P,

；PC為。。的切線,

,.OC±PC,

,.OC=^OP,

\OE=OC,

而OEJ_PC,

?.PM是。。的切線;

(2)在RSOPC中，0C=?PC=^X后］,

33

四邊形OCDB的面積=2S?=2xlx/=返.

42

41.（2019?邵陽）如圖所示，AB是。0的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BDJ_CD,垂

足為點(diǎn)D,連結(jié)BC.BC平分NABD.

求證：CD為。0的切線.

【解答】證明：；BC平分NABD,

ZOBC=ZDBC,

VOB=OC,

ZOBC=ZOCB,

ZOCB=ZDBC,

；.OC〃BD,

VBD1CD,

AOCICD,

，CD為。0的切線.

42.（2019?黃石）如圖，已知A、B、C、D、E是。。上五點(diǎn)，。。的直徑BE=2，5,ZBCD=120°,

A為前的中點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)P,使BA=AP,連接PE.

（1）求線段BD的長；

（2）求證：直線PE是。。的切線.

B

O

【解答】(1)解：連接DB,如圖，

VZBCD+ZDEB=180°,

AZDEB=180°-120°=60°,

〈BE為直徑，

AZBDE=90°,

在RSBDE中，DE寺E=*X2亞百,

BD二V5)E=d§XJ^=3；

(2)證明：連接EA,如圖，

VBE為直徑，

AZBAE=90°,

*.'A為前的中點(diǎn)，

AZABE=45°，

VBA=AP,

而EAIBA,

???△BEP為等腰直角三角形,

???NPEB=90°,

APE±BE,

?,?直線PE是。0的切線.

C

43.(2019?懷化)己知：如圖，AB是。0的直徑，AB=4,點(diǎn)F,C是。0上兩點(diǎn)，連接AC,

AF,0C,弦AC平分NFAB,ZB0C=60°,過點(diǎn)C作CDLAF交AF的延長線于點(diǎn)D,垂足為點(diǎn)

D.

(1)求扇形OBC的面積(結(jié)果保留)；

(2)求證:CD是。。的切線.

【解答】解：(1)VAB=4,

；.OB=2

VZC0B=60°,

_607lX4_2K

??oMOK---TTT-------

3603

(2)：AC平分/FAB,

ZFAC=ZCA0,

VA0=C0,

ZAC0=ZCA0

/.ZFAC=ZACO

，AD〃OC,

VCD1AF,

ACDIOC

：C在圓上，

；.CD是。0的切線

44.(2019?新疆)如圖，PA與。0相切于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AB±OP,垂足為C,交。0于點(diǎn)B.連

接PB,A0,并延長A0交。0于點(diǎn)D,與PB的延長線交于點(diǎn)E.

(1)求證：PB是。。的切線；

(2)若0C=3,AC=4,求sinE的值.

p.

oJoE

【解答】(1)證明：連接OB；PO_LAB,

.\AC=BC,

，PA=PB

在APAO和△PBO中

'PA=PB

<AO=BO

JO=PO

.二△PAO和好Z\PBO

，Z0BP=Z0AP=90°

；.PB是。。的切線.

(2)連接BD,則BD〃PO,且BD=20C=6

在Rt△ACO中，0C=3,AC=4

AA0=5

在RtZXACO與Rt^PAO中，

ZAP0=ZAP0,

ZPA0=ZAC0=90°

AACO-APAO

AQ-PQ

行而

.\P0=—,PA=—

33

.\PB=PA=—

3

在△EPO與△EBD中，

BD〃PO

.,.△EPO^AEBD

.BD_EB

,?時(shí)而‘

45.(2019?安順)如圖，在△ABC中，AB=AC,0為BC的中點(diǎn)，AC與半圓0相切于點(diǎn)1).

(1)求證：AB是半圓0所在圓的切線；

(2)若cos/ABC=^AB=12,求半圓。所在圓的半徑.

【解答】解：(1)如圖，作OEJ_AB于E,連接0D,OA,

VAB=AC,點(diǎn)0是BC的中點(diǎn)，

ZCA0=ZBA0,

:AC與半圓0相切于D,

.\OD1AC,

VOE1AB,

A0D=0E,

VAB徑半圓0的半徑的外端點(diǎn),

AAB是半圓0所在圓的切線;

(2)VAB=AC,0是BC的中點(diǎn)，

AAOIBC,

在RtZXAOB中，0B=AB?cosZABC=12X-1-

根據(jù)勾股定理得，0AAB2-0B-代,

由三角形的面積得，S.OE=LB?OA,

，。安孚2

即：半圓o所在圓的半徑為色度.

46.（2019?衡陽）如圖，。。是aABC的外接圓，AB為直徑，NBAC的平分線交00于點(diǎn)D,

過點(diǎn)D作DE1AC分別交AC、AB的延長線于點(diǎn)E、F.

（1）求證：EF是。。的切線；

（2）若AC=4,CE=2,求而的長度.（結(jié)果保留”）

EDF

【解答】解：（1）如圖，連接0D,

EDF

V0A=0D,

???ZOAD=ZODA,

VAD平分NEAF,

.\ZDAE=ZDAO,

AZDAE=ZADO,

???OD〃AE,

VAE±EF,

/.OD±EF,

???EF是。。的切線；

(2)如圖，作OG_LAE于點(diǎn)G,連接BD,

則AG=CG=LC=2,NOGE二NE二NODE=90°,

2

???四邊形ODEG是矩形，

A0A=0B=0D=CG+CE=2+2=4,ZD0G=90°,

VZDAE=ZBAD,ZAED=ZADB=90°,

JAADE^AABD,

?AE_AD即6_AD

,,A^AB)、出石，

.".ADM8,

在RtAABD中，BD=^AB2_AD2=4,

在Rt/XABD中，VAB=2BD,

AZBAD=30°,

.".ZB0D=60°,

mu—''V必曲*60"兀“44兀

則BD的1l長度為一兩—

47.(2019?孝感)如圖，Z\ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,

過點(diǎn)D作DF1AC于點(diǎn)F,交AB的延長線于點(diǎn)G.

(1)求證：DF是。0的切線；

(2)已知BD=2遙，CF=2,求AE和BG的長.

GG