第四節(jié)巖石的強(qiáng)度理論

研究巖石破壞原因、過(guò)程及條件的理論—巖石的強(qiáng)度理論。將表征巖石強(qiáng)度條件的函數(shù)稱為巖石的強(qiáng)度準(zhǔn)則，而將表征巖石破壞條件的函數(shù)稱為巖石的破壞判據(jù)。第四節(jié)巖石的強(qiáng)度理論研究巖石破壞原因、過(guò)程及1一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1、正負(fù)號(hào)的規(guī)定①壓為正，拉為負(fù)；②剪應(yīng)力是使物體產(chǎn)生逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)；

③角度以X軸正向沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)所形成的夾角為正，反之為負(fù)。2、一點(diǎn)的應(yīng)力的表示方法三個(gè)正應(yīng)力：σx、σy、σz，正應(yīng)力的角標(biāo)為正應(yīng)力作用面的外法線方向；一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1、正負(fù)號(hào)的規(guī)定2剪應(yīng)力的角標(biāo)為：第一個(gè)角標(biāo)表示剪應(yīng)力作用面的外法線方向；第二個(gè)角標(biāo)表示剪應(yīng)力作用的方向。三對(duì)剪應(yīng)力：在平面問(wèn)題中，獨(dú)立的應(yīng)力分量只有三個(gè)，即：σx

、σy

、τxyτxy=τyxτyz=τzyτzx=τxz剪應(yīng)力的角標(biāo)為：三對(duì)剪應(yīng)力：在平面問(wèn)題中，獨(dú)立的應(yīng)33、平面問(wèn)題的簡(jiǎn)化①平面應(yīng)力問(wèn)題（垂直于平面方向應(yīng)力為零），如薄板問(wèn)題；②平面應(yīng)變問(wèn)題（垂直于平面方向應(yīng)變?yōu)榱悖?如大壩、路堤、隧道橫斷面等問(wèn)題。不論那一種平面問(wèn)題，用彈性力學(xué)的方法進(jìn)行分析所得的結(jié)果，可以互相轉(zhuǎn)換：平面應(yīng)力計(jì)算公式中的

E

用E/（1-μ2）、

μ用μ/（1-μ）代入，即可將平面應(yīng)力問(wèn)題的計(jì)算公式轉(zhuǎn)換成平面應(yīng)變問(wèn)題的計(jì)算公式。3、平面問(wèn)題的簡(jiǎn)化①平面應(yīng)力問(wèn)題（垂直于平面方向應(yīng)力為零），44、基本應(yīng)力公式

如圖所示：以二維平面問(wèn)題為例任意角度傾斜截面上的應(yīng)力計(jì)算公式下：τxyτyxτyxτxyσx

σyσyσx

σnτnα4、基本應(yīng)力公式如圖所示：τxyτyxτyxτ5若上述公式對(duì)求導(dǎo)，即可求得最大、最小主應(yīng)力的表達(dá)式如下：若上述公式對(duì)求導(dǎo)，即可求得最大、最小主應(yīng)力的6

應(yīng)力圓二倍角對(duì)應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是方向面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；點(diǎn)面對(duì)應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著微元某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；應(yīng)力圓二倍角對(duì)應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是方向轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——7最大主應(yīng)力與σx的夾角可按下式求得：此外，在分析任意角的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，也常用最大、最小主應(yīng)力表示：最大主應(yīng)力與σx的夾角可按下式求得：此外，在分析任意角的應(yīng)8莫爾應(yīng)力圓的表示方法如下：圓心為半徑等于o′σ3σ12αoστ莫爾應(yīng)力圓的表示方法如下：圓心為半徑等于o′σ3σ12αo92α-2ασ1σ1σ3σ3α-αDD′τσσ1σ3ODD′2α-2ασ1σ1σ3σ3α-αDD′τσσ1σ3ODD′10強(qiáng)度理論：關(guān)于材料破壞原因和條件的假說(shuō)。

巖石強(qiáng)度理論基本思想：①確認(rèn)材料失效的力學(xué)原因，提出破壞條件假說(shuō)。②用簡(jiǎn)單受力情況下的破壞實(shí)驗(yàn)指標(biāo)，建立復(fù)雜

應(yīng)力狀態(tài)下的彈性失效準(zhǔn)則。

巖石破壞類型：

①斷裂破壞：?jiǎn)屋S拉斷、劈裂——由拉應(yīng)力引起；②剪切破壞：塑性流動(dòng)、剪斷——由剪應(yīng)力引起。強(qiáng)度理論：關(guān)于材料破壞原因和條件的假說(shuō)。11二、莫爾強(qiáng)度理論（Mohr1900年提出，莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則）在荷載作用下材料達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)，破壞面上的剪應(yīng)力達(dá)到一個(gè)取決于破壞面正應(yīng)力與材料性質(zhì)的最大值。即：莫爾強(qiáng)度理論的建立是①用莫爾應(yīng)力圓來(lái)表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；②由各種試驗(yàn)確定材料破壞面上正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力—強(qiáng)度曲線；二、莫爾強(qiáng)度理論（Mohr1900年提出，莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則）12材料破壞時(shí)不同應(yīng)力狀態(tài)的—

極限應(yīng)力圓與強(qiáng)度曲線—建立強(qiáng)度準(zhǔn)則。

④①—單軸拉伸；②—單軸壓縮；

③—三軸壓縮；④—莫爾包絡(luò)線τσO②③①③莫爾強(qiáng)度曲線繪制(由單拉,單壓,三壓強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)得到）材料破壞時(shí)不同應(yīng)力狀態(tài)的—

13莫爾強(qiáng)度曲線繪制(由單拉,單壓,三壓強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)得到）特點(diǎn)：曲線左側(cè)閉合，向由側(cè)開(kāi)放（耐壓、不耐拉）；曲線的斜率各處不同（內(nèi)摩擦角、似內(nèi)聚力變化，與所受應(yīng)力有關(guān)）；曲線對(duì)稱于正應(yīng)力軸(破壞面成對(duì)出現(xiàn)，形成X型節(jié)理)；不同巖石其強(qiáng)度曲線不同(不同巖石具有不同的強(qiáng)度性)。莫爾強(qiáng)度曲線繪制(由單拉,單壓,三壓強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)得到）特點(diǎn)：曲141、直線型強(qiáng)度線由于直線型強(qiáng)度線與庫(kù)倫強(qiáng)度線一致，因此也稱庫(kù)倫—莫爾強(qiáng)度線，即庫(kù)倫·莫爾強(qiáng)度理論（準(zhǔn)則）。C·A·Coulomb1773年提出的庫(kù)倫·莫爾強(qiáng)度理論,是莫爾準(zhǔn)則的一特例——簡(jiǎn)潔、應(yīng)用簡(jiǎn)便。1、直線型強(qiáng)度線由于直線型強(qiáng)度線與庫(kù)倫強(qiáng)度15oστσ3σ1c·ctgφcφ?qǐng)D2-29庫(kù)侖—莫爾強(qiáng)度條件oστσ3σ1c·ctgφcφ?qǐng)D2-29庫(kù)侖—16巖石的強(qiáng)度(條件)準(zhǔn)則：巖石的破壞判據(jù)：或或或（2）數(shù)學(xué)表達(dá)式巖石的強(qiáng)度(條件)準(zhǔn)則：巖石的破壞判據(jù)：或或或（2）數(shù)學(xué)表達(dá)17（3）與單軸抗壓強(qiáng)度的關(guān)系（2-42）由主應(yīng)力表示巖石的強(qiáng)度條件（2—42）（3）與單軸抗壓強(qiáng)度的關(guān)系（2-42）由主應(yīng)力表示巖石的強(qiáng)18由式（2-42）推出：

其中（5）破壞方向角當(dāng)時(shí)，；（）令為拉壓指數(shù)。σ1－σ3坐標(biāo)系圖由式（2-42）推出：其中（5）破壞方向角當(dāng)時(shí)，19σcσ1=

ξσ3+σcσtσ3Oσ1σ1=σ3σcσ1=ξσ3+σcσtσ3Oσ1σ1=σ3202、拋物線型強(qiáng)度曲線巖性較軟弱的巖石，如泥巖、頁(yè)巖等的強(qiáng)度線近似于此種類型。

根據(jù)拋物線方程式，以巖石單軸抗拉強(qiáng)度表示，巖石的強(qiáng)度準(zhǔn)則（強(qiáng)度條件）：

巖石的破壞判據(jù)：

2、拋物線型強(qiáng)度曲線巖性較軟弱的巖石，如泥巖21σcτ2=σt(σ+σt)σtσOτ拋物線σcτ2=σt(σ+σt)σtσOτ拋物線223、雙曲線型強(qiáng)度曲線

對(duì)于砂巖，石灰?guī)r等較堅(jiān)硬的巖石，其強(qiáng)度曲線近似于雙曲線型。根據(jù)雙曲線方程式，其巖石的強(qiáng)度準(zhǔn)則

（強(qiáng)度條件）為：其破壞判據(jù)：

式中

所以不適用于的巖石。當(dāng)時(shí)tgη出現(xiàn)虛值，3、雙曲線型強(qiáng)度曲線對(duì)于砂巖，石灰?guī)r等23σtσcτ2=(σ+σt)2

tgη+σt(σ+σt)σOτ漸近線雙曲線ηη為包絡(luò)線漸近線

與水平軸夾角σtσcτ2=(σ+σt)2tgη+σt(σ+σt)σO24（四）對(duì)莫爾強(qiáng)度理論的評(píng)價(jià)：

優(yōu)點(diǎn)：①適用于塑性巖石，也適用于脆性巖石的剪切破壞；②較好解釋了巖石抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于抗壓強(qiáng)度特征；③解釋了三向等拉時(shí)破壞，三向等壓時(shí)不破壞現(xiàn)象；④簡(jiǎn)單、方便:同時(shí)考慮拉、壓、剪,可判斷破壞方向.不足：①忽視了σ2

的作用，誤差：±15％；②沒(méi)有考慮結(jié)構(gòu)面的影響；③不適用于拉斷破壞；破裂面趨于分離④不適用于膨脹、蠕變破壞。（四）對(duì)莫爾強(qiáng)度理論的評(píng)價(jià)：25三、格里菲斯準(zhǔn)則（Griffth1921）斷裂力學(xué)21年提出格里菲斯強(qiáng)度理論，并于70年代引入巖石力學(xué)領(lǐng)域。

1）基本假設(shè)（觀點(diǎn)）：

①物體內(nèi)隨機(jī)分布許多裂隙；

②所有裂隙都張開(kāi)、貫通、獨(dú)立；

③裂隙斷面呈扁平橢圓狀態(tài)；

④在任何應(yīng)力狀態(tài)下，裂隙尖端產(chǎn)生拉應(yīng)力集中，導(dǎo)致裂隙沿某個(gè)有利方向進(jìn)一步擴(kuò)展。

⑤最終在本質(zhì)上都是拉應(yīng)力引起巖石破壞。三、格里菲斯準(zhǔn)則（Griffth1921）斷26第四節(jié)巖石強(qiáng)度理論課件27

裂紋將沿著與最大拉應(yīng)力成直角的方向擴(kuò)展，格里菲斯認(rèn)為當(dāng)作用在裂紋尖端附近的有效應(yīng)力達(dá)到形成新裂紋所需能量時(shí)，裂紋開(kāi)始擴(kuò)展，其表達(dá)式為：式中：σt—裂紋尖端附近所作用的最大拉應(yīng)力；

ρ—裂紋的比表面能；

c—裂紋長(zhǎng)半軸；

E—巖石的彈性模量。裂紋將沿著與最大拉應(yīng)力成直角的方向擴(kuò)28σ3

σ3

βσ1ψβψσ1ψxyσ3σ3βσ1ψβψσ1ψxy292）兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：①最容易破壞的裂隙方向；②最大應(yīng)力集中點(diǎn)（危險(xiǎn)點(diǎn)）。在壓應(yīng)力條件下裂隙開(kāi)列及擴(kuò)展方向帶橢圓孔薄板的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題2）兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：在壓應(yīng)力條件下裂隙開(kāi)列及擴(kuò)展方向帶橢圓孔薄板30①數(shù)學(xué)式③Griffth準(zhǔn)則幾何表示②最有利破裂的方向角3）Griffth（張拉）準(zhǔn)則（a）在坐標(biāo)下圖2—43由此區(qū)可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，即壓拉強(qiáng)度比為8。①數(shù)學(xué)式③Griffth準(zhǔn)則幾何表示②最有利破裂的方向31在σ1—σ3坐標(biāo)軸下

格里菲斯強(qiáng)度判據(jù)的圖解σ3σ1σ1+3σ3=0σ3=σtσ1

=σ3非破裂區(qū)破裂區(qū)在σ1—σ3坐標(biāo)軸下

格里菲斯強(qiáng)度判據(jù)的圖解σ3σ32

（b）τ－σ

坐標(biāo)下設(shè)－應(yīng)力圓半徑；－圓心；又設(shè)，則Griffth強(qiáng)度準(zhǔn)則第二式寫(xiě)成（a）

而應(yīng)力圓方程：（b）

（a）代入圓方程得：（c）上式即為滿足強(qiáng)度判據(jù)的極限莫爾應(yīng)力圓表達(dá)。求切點(diǎn)：由（c）式對(duì)σm求導(dǎo)得：（b）τ－σ坐標(biāo)下設(shè)－應(yīng)力圓33(d)(d)代入(c）得在下的準(zhǔn)則與庫(kù)侖準(zhǔn)則類似，為拋物線型。Griffh準(zhǔn)則僅考慮巖石開(kāi)裂，并非宏觀上破壞，故強(qiáng)度值偏大。

小結(jié)(d)(d)代入(c）得在下的準(zhǔn)則34σc=-8σtτσσ3

=σt(σ1+3σ3)＜0τ=4σt(σ+σt

)oτ2β(σ1+3σ3)>0σc=-8σtτσσ3=σt(σ1+3σ3)＜0τ=435格里菲斯強(qiáng)度判據(jù)應(yīng)力條件

σ1+3σ3≥0

σ1+3σ3＜0圖形最易擴(kuò)展的裂紋方向裂紋開(kāi)始擴(kuò)展的強(qiáng)度判據(jù)最易發(fā)生擴(kuò)展的位置與擴(kuò)展方向在裂紋尖端附近擴(kuò)展方向與裂紋長(zhǎng)軸夾角為2ψ在裂紋尖端擴(kuò)展方向平行與裂紋長(zhǎng)軸格里菲斯強(qiáng)度判據(jù)應(yīng)力條件σ1+3σ3≥0σ1+3σ36Grriffith強(qiáng)度準(zhǔn)則評(píng)價(jià)：優(yōu)點(diǎn)：①巖石抗壓強(qiáng)度為抗拉強(qiáng)度的8倍，反映了巖石的真實(shí)情況；②證明了巖石在任何應(yīng)力狀態(tài)下都是由于拉伸引起破壞；③指出微裂隙延展方向最終與最大主應(yīng)力方向一致。

不足：①僅適用于脆性巖石，對(duì)一般巖石莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則適用性遠(yuǎn)大于Griffith準(zhǔn)則。②對(duì)裂隙被壓閉合，抗剪強(qiáng)度增高解釋不夠。③Griffith準(zhǔn)則是巖石微裂隙擴(kuò)展的條件，并非宏觀破壞。Grriffith強(qiáng)度準(zhǔn)則評(píng)價(jià)：37四、巖石的屈服準(zhǔn)則

屈服準(zhǔn)則是指判別某一點(diǎn)的應(yīng)力是否進(jìn)入塑性狀態(tài)的判別準(zhǔn)則。1、屈列斯卡（Tresca）準(zhǔn)則屈列斯卡準(zhǔn)則認(rèn)為：當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，巖石開(kāi)始屈服（破裂），進(jìn)入塑性狀態(tài)。其表達(dá)式為四、巖石的屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則是指判別某一點(diǎn)的應(yīng)力是否進(jìn)38式中，K是與巖石性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。可由試驗(yàn)確定。單向拉伸試驗(yàn)時(shí)，則單向壓縮試驗(yàn)時(shí)，則如以巖石強(qiáng)度參數(shù)表示，這時(shí)，則。式中，K是與巖石性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。可由試驗(yàn)確定。39若各主應(yīng)力大小無(wú)法確定排序，則屈列斯卡判據(jù)可表示為：∣σ1－σ2∣=K∣σ2－σ3∣=K∣σ3－σ1∣=

K或?qū)懗蒣（σ1－σ2）2－

K2]·

[（σ2－σ3）2－

K2]·

[（σ3－σ1）2－

K2]=0若各主應(yīng)力大小無(wú)法確定排序，則屈列斯卡判據(jù)可表示為：402、米賽斯（Mises）準(zhǔn)則米賽斯（Mises）理論又稱為八面體應(yīng)力理論，亦屬于最大剪應(yīng)力強(qiáng)度理論。米賽斯認(rèn)為，當(dāng)八面體等傾斜面上剪應(yīng)力等于巖石單向受力至屈服時(shí)八面體等傾斜面上極限剪應(yīng)力值時(shí)，巖石屈服（破裂）。米賽斯屈服準(zhǔn)則：2、米賽斯（Mises）準(zhǔn)則41（1）八面體等傾斜面上應(yīng)力PPzPxPyσoctτoctn（1）八面體等傾斜面上應(yīng)力PPzPxPyσoctτoctn42八面體等傾傾斜面上應(yīng)力如上圖所示，等傾斜面外法線N與X、Y、Z軸夾角分別為α、β、γ，因等傾斜，故有cosα=cosβ=cosγ=S面上的合力整里得設(shè)等傾傾斜面ABC面積為S，則三個(gè)主應(yīng)力面COB、AOC、AOB之面積分別為SCOBα、SAOCβ、SAOBγ

根據(jù)力的平衡條件有：

px·S=σ1Scosα→px=σ1cosα

py·S=σ2Scosβ→py=σ2cosβ