2022-2023學年山東省青島市第二中學高三上學期1月期末數學試題1.已知集合＝，＝，則等于（

）A.

B.

C.

D.

知識點：交集一元二次不等式的解法答案：B解析：由中不等式變形可得：，解得，，由中得到，即，

，則，故選.2.若復數滿足：，則的共軛復數的虛部為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：復數的有關概念共軛復數復數的乘法答案：C解析：因，則，

所以所求共軛復數為，其虛部為

故選.3.我國古代數學名著《算法統宗》中說：九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數來言．務要分明依次第，孝和休惹外人傳．意為：斤棉花，分別贈送給個子女做旅費，從第個孩子開始，以后每人依次多斤，直到第個孩子為止．分配時一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話．在這個問題中，第個孩子分到的棉花為（

）A.

斤B.

斤C.

斤D.

斤知識點：等差數列的通項公式數列中的數學文化問題等差數列的前項和的應用答案：A解析：依題意得，八個子女所得棉花斤數依次構成等差數列，設該等差數列為，公差為，前項和為，第一個孩子所得棉花斤數為，則由題意得，，

解得，．

故選.4.已知隨機變量服從正態分布，且，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：正態分布及概率密度函數正態曲線的性質答案：C解析：因為，并且，又因為，所以，所以，所以

，所以，故選.5.已知，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：角與的三角函數值之間的關系二倍角的正弦、余弦、正切公式同角三角函數的平方關系角與的三角函數值之間的關系答案：D解析：因為，

所以，且

所以

所以，

所以??

故選．6.設，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且點到兩個焦點的距離之差為，則的面積為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：余弦定理及其應用橢圓的定義三角形的面積（公式）答案：C解析：因為橢圓的方程為：，則，

，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，

因為點到兩個焦點的距離之差為，

所以假設，則，

解得：，又因為，

在中，由余弦定理可得：，

所以，

所以的面積為：

故選.7.已知函數???在區間上單調遞增，且在區間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

知識點：三角恒等變換綜合應用函數的圖象及性質根據三角函數的性質求參數取值范圍答案：C解析：因為

，

因為在區間上單調遞增，由，則，

則，解得，，，即；

當時，，要使得該函數取得一次最大值，

故只需，解得；

綜上所述，的取值范圍為

故選.8.定義在上的函數滿足，且當時，若對，都有，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

知識點：絕對值的概念與幾何意義函數中的恒成立問題分段函數的圖象答案：B解析：因為當時，，所以

又因為函數滿足，所以函數的部分圖像如下，

由圖可知，若對，都有，則故，，錯誤

故選.9.古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩定點，的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，，點滿足.設點的軌跡為，則下列結論正確的是（

）A.

軌跡的方程為?B.

在軸上存在異于，的兩點，使得?C.

當，，三點不共線時，射線是的平分線D.

在上存在點，使得知識點：兩點間的距離直線和圓的數學文化問題與圓有關的軌跡問題答案：B；C解析：在平面直角坐標系中，，點滿足，設（，），則，

化簡得?，所以錯誤；

假設在軸上存在異于，的兩點，使得，

設則，化簡得?，

由軌跡的方程為?，可得?，

解得?或?（舍去），即在軸上存在異于，的兩點，使，所以正確；

當，，三點不共線時，，可得射線是的平分線，所以正確；

若在上存在點，使得，可設（，），則有?，化簡得?，與聯立，方程組無解，故不存在點，所以錯誤．

故選.10.已知函數，若在上的值域是，則實數的可能取值為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：余弦（型）函數的定義域和值域答案：B；C解析：，因為，所以，

又因為的值域是，所以，

可知的取值范圍是

故選.11.對于伯努利數，有定義：則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：二項式定理的應用答案：A；C；D解析：由得，

??，

所以，??，

同理，，??

所以，???，

，??

其中第項為???

??

即可得，???

令，得；

令，得??；

令，得??

同理，可得，??，；?

即可得選項正確，錯誤；

由上述前項的值可知，當為奇數時，除了之外其余都是，

即，也即；所以正確

故選.12.已知函數（為正整數，）的最小正周期，將函數的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關于原點對稱，則下列關于函數的說法正確的是（

）A.

是函數的一個零點

B.

函數的圖象關于直線對稱C.

方程在上有三個解

D.

函數在上單調遞減知識點：函數的圖象及性質正弦（型）函數的零點三角函數的圖象變換答案：A；B；D解析：因為，，所以，解得，

又為正整數，所以，所以，

所以函數的圖象向右平移個單位長度后所得圖象對應的函數???

?由題意知，函數的圖象關于原點對稱，故，即，

又，所以，，所以，

對于，，故正確；

對于，，故正確；

對于，令，因為，所以，

顯然在內只有，兩個解，即方程在上只有兩個解，故錯誤；

對于，當時，，

因為在上單調遞減，所以函數在上單調遞減，故正確

故選總結：求解此類問題的關鍵是會根據三角函數的圖象變換法則求出變換后所得圖象對應的函數解析式，注意口訣“左加右減，上加下減，橫變，縱變”在解題中的應用.13.一個布袋中，有大小、質地相同的個小球，其中個是紅球，個是白球，若從中隨機抽取個球，則所抽取的球中至少有一個紅球的概率是

?.知識點：古典概型的應用事件的互斥與對立組合的應用答案：解析：從中隨機抽取個球，所有的抽法共有種，

事件所抽取的球中至少有一個紅球的對立事件為所抽取的球中沒有紅球，

而事件：所抽取的球中沒有紅球的概率為，

故事件所抽取的球中至少有一個紅球的概率等于，

故答案為14.已知拋物線的焦點為，過點作傾斜角為的直線交于，兩點，過，分別作的切線，與交于點，與軸的交點分別為，，則四邊形的面積為

?．知識點：利用導數求曲線的切線方程（斜率）直線與拋物線的綜合應用三角形的面積（公式）答案：解析：拋物線的焦點為且直線的傾斜角為，則，

所以直線方程為，即，

設，，不妨設在第一象限，

聯立，消去得解得，，

代入直線方程，則，，

因為直線與拋物線相切于點，

即，則，

所以，同理可得，

則可得直線方程為，即，

則其與軸交點，令，則，所以，

直線的方程為，即，

則其與軸交點，令，則，所以，所以，

聯立的方程，解得，即點坐標為，

．

故答案為：．15.已知函數，則的最小值為

?.知識點：函數的最大(小)值二次函數的圖象分析與判斷答案：解析：???，

不妨令?，則，

所以當時，（）的取最小值．16.已知函數?有六個不同零點，且所有零點之和為，則的取值范圍為

．知識點：分段函數與方程、不等式問題導數與單調性絕對值的概念與幾何意義根據函數零點個數求參數范圍函數零點存在定理答案：解析：，圖象關于對稱，

又的六個零點之和為，，解得：，

，

令，則與有個不同交點，

；

當時，，在上單調遞增；

當時，，

，

又與在上單調遞減，在上單調遞增，

，使得，且當時，；當時，；

在上單調遞減，在上單調遞增，

，，

結合對稱性可得其大致圖象如下圖所示：

由圖象可知：若與有個不同交點，則，

即實數的取值范圍為17.某電視臺挑戰主持人節目的挑戰者闖第一關需要回答三個問題，其中前兩個問題回答正確各得分，回答不正確得分，第三個問題回答正確得分，回答不正確得分．如果一位挑戰者回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．若這位挑戰者回答這三個問題的總分不低于分就算闖關成功．(1)求至少回答對一個問題的概率．(2)求這位挑戰者回答這三個問題的總得分的分布列．(3)求這位挑戰者闖關成功的概率．知識點：離散型隨機變量的分布列及其性質互斥事件的概率加法公式事件的互斥與對立相互獨立事件的概率答案：(1)設至少回答對一個問題為事件，則.(2)這位挑戰者回答這三個問題的總得分的所有可能取值為.

根據題意，，

，

，

，

，

.

隨機變量的分布列是(3)設這位挑戰者闖關成功為事件，則.解析：(1)略(2)略(3)略18.請你設計一個包裝盒，如圖所示，是邊長為的正方形硬紙片，切去如陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得，，，四個點重合于圖中的點，正好形成一個長方體形狀的包裝盒，，是邊上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設

(1)求包裝盒的容積關于的函數表達式，并求出函數的定義域.(2)當為多少時，包裝盒的容積（）最大？最大容積是多少？知識點：建立函數模型解決實際問題利用導數解決實際應用問題棱柱、棱錐、棱臺的體積函數求定義域答案：(1)設包裝盒的高為，底面邊長為，

則，，，

所以，；(2)由，

可得，

當時，；當時，，

所以函數在上遞增，在上遞減，

當時，取得極大值也是最大值：．

所以當時，包裝盒的容積最大是．解析：(1)略(2)略19.已知函數.(1)函數為的導函數，討論當時，的單調性；(2)當時，證明：存在唯一的極大值點.知識點：導數與極值利用導數討論函數單調性利用導數解決函數零點問題函數零點存在定理答案：(1)，設，則.

當時，令，則，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

所以在上單調遞減，在上單調遞增.(2)證明：當時，，，

由（1）可知的最小值為，而，又，

由函數零點存在定理可得存在使得，又在上單調遞減，

所以當時，，當時，，故為的極大值點，

又在上單調遞增，故在上不存在極大值點，

所以存在唯一的極大值點.解析：(1)略(2)略20.已知數列中，，，，(1)求的通項公式；(2)設，求．知識點：等比數列通項公式與指數函數的關系累加法求數列通項構造法求數列通項等比數列前n項和的應用等比數列的基本量數列與不等式的綜合問題答案：(1)因為，，，

所以，，

所以，，

所以.

而也符合該式，故.(2)，

.解析：(1)略(2)略21.已知直線方程為，其中.(1)當變化時，求點到直線的距離的最大值及此時的直線方程；(2)若直線分別與軸，軸的負半軸交于，兩點，求面積的最小值及此時的直線方程.知識點：點到直線的距離直線系方程三角形的面積（公式）直線方程的綜合應用利用基本不等式求最值答案：(1)因為直線方程為，其中，

即，

令，解得，

故直線經過定點，

當變化時，點到直線的距離的最大值為，

此時，和直線垂直，所以直線的斜率為，即，解得，

此時直線的方程為；(2)因為直線經過定點，

設直線方程為，，令則，令，則，

所以，，

所以，

因為，

則，

當且僅當，即時取等號，

所以面積的最小值為，此時直線的方程為，即．解析：(1)略(2)略22.