§3.5拉格朗日中值定理與洛必達法則一、案例引入二、討論分析1、拉格朗日中值定理2、洛必達法則§3.5拉格朗日中值定理與洛必達法則一、案例引入二、討論分1在兩個高度相同的點間的一段連續曲線上，除端點外如果各點都有不垂直于x軸的切線，那么至少有一點處的切線水平的.

xyabPOAB案例引入在兩個高度相同的點間的一段連續曲線上，除端點外如果各點都有不21、定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理）如果函數f(x)滿足下列條件：（1）在閉區間[a,b]上連續;（2）在開區間(a,b)內可導，那么在(a,b)內至少存在一點ξ，使得:一、拉格朗日（Lagrange）中值定理或討論分析1、定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理）如果3OxyABbaC由定理的條件可知,連接端點A和B作弦AB,則

2、拉格朗日中值定理的幾何直觀曲線在上是一條連續的曲線弧曲線弧內部每一點處都有不垂直于x軸的切線.ξ

討論分析OxyABbaC由定理的條件可知,連接端點A和B作弦4

足拉格朗日中值定理的條件．

解所以函數在[0,2]上滿上連續，在開區間(0,2)內可導，函數在上滿足拉格朗日定理么？例1如果滿足，求出使定理成立的的值。

故在閉區間[0,2]是初等函數，又令解得即討論分析足拉格朗日中值定理的條件．解所以函數在[0,2]5例2證明：對任意不等式解設顯然它在上滿足即

成立．拉格朗日中值定理的條件，所以有顯然有

3、拉格朗日中值定理應用（1）證明不等式；（2）證明等式即

討論分析例2證明：對任意不等式解設顯然它在上滿足6例3.證明不等式證:設朗日中值定理條件,即因為故因此應有顯然f(t)在[0,x]上滿足拉格即討論分析例3.證明不等式證:設朗日中值定理條件,即因為故因此應有7證設為區間I上任意兩點（不妨設)在上滿足拉格朗日中值定理的條件，則即由于故f(x)在區間I上為一常數．即函數f(x)在區間I上任意兩點的函數值相等，則推論1若函數上滿足在區間f(x)在區間I上必為一常數．所以顯然，討論分析證設為區間I上任意兩點（不妨設)8證:設由推論可知(C為常數)令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.小結:欲證時只需證在I上例4.證明等式在(-1,1)上有：討論分析證:設由推論可知(C為常數)令x=0,得又9則(C常數)．

推論2

若兩個函數與的導數在區間I內相等，即練習:討論分析則(C常數)．推論2若兩個函數與的導數在區間I10若函數滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)在區間(a,b)內可導(3)

f(a)=f(b)使在(a,b)內至少存在一點4、補充：羅爾（Rolle）定理應用說明：（1）證明方程f(x)=0

根的唯一性。（2）證明方程有根。討論分析若函數滿足:(1)在區間11例5.證明方程有且僅有一個小于1的正實根.證:1)根的存在性.則在[0,1]連續,且由零點定理知存在使設即即方程有小于1的正根討論分析例5.證明方程有且僅有一個小于1的正實根.證:1)122)根的唯一性.假設另有滿足羅爾定理條件,至少存在一點但矛盾,故假設不真!討論分析2)根的唯一性.假設另有滿足羅爾定理條件,至少存在一點13例6若方程有正根證明：方程在內必定有根。證明：令則在上連續，在存在，且所以在滿足羅爾定理的條件。根據羅爾定理可知，在上至少存在一點使即是方程的根。討論分析例6若方程14二、洛必達法則當（或）時，如果兩個函數那么極限都是無窮小或都是無窮大，可能存在、也可能不存在．通常稱這種極限為未定式的極限，并分別簡記為或討論分析二、洛必達法則當（或15又滿足條件：（1）則的左右近旁可導，且定理3-7設在點（2）存在（或為無窮大）．1、型未定式討論分析又滿足條件：（1）則的左右近旁可導，且定理3-7設在點（16

這種通過分子與分母分別求導來確定未定式的結論仍然成立．極限值的方法稱作洛必達法則．說明：如果把極限過程換成：討論分析這種通過分子與分母分別求導來確定未定式的結17解這是型未定式．例7求由洛必達法則，得討論分析解這是型未定式．例7求由洛必達法則，得討論分析18解這是型未定式，例8求．

由洛必達法則，得注意：如果應用洛必達法則后所得到的極限仍然是未定式，且滿足洛必達法則的條件，則可繼續使用洛必達法則，直至求出極限為止．討論分析解這是型未定式，例8求由洛必達法則，得注意：如19極限是否為未定式．特別注意的是，在每次使用洛必達法則前,都要驗證討論分析極限是否為未定式．特別注意的是，在每次使用洛必達法則前,都20例9求解這是

型未定式，由洛必達法則，得討論分析例9求解這是型未定式，由洛必達法則，得21練習：求討論分析練習：求討論分析22的左右近旁可導，且定理3-8設在點又滿足條件：

存在（或為無窮大），

則2、型未定式；討論分析的左右近旁可導，且定理3-8設在點又滿足條件：存在（或23例10

求

型未定式，解

這是由洛必達法則，得討論分析例10求型未定式，解這是由洛必達法則，得24例11求解這是型未定式，由洛必達法則，得討論分析例11求解這是型未定式，由洛必達法則，得討25練習：求極限討論分析練習：求極限討論分析263、未定式的其它類型：變形，轉化為所有這些類型的未定式都可通過適當或求解．（2）和差形式的未定式，簡記為（3）冪指形式的未定式，簡記為（1）乘積形式的未定式，簡記為討論分析3、未定式的其它類型：變形，轉化為所有這些類型的未定式都可通27例12求解這是型未定式，將其變形為

這是

型未定式，由洛必達法則，得討論分析例12求解這是型未定式，將其變形為28例13求

解這是型未定式，通分后可化為型未定式，利用洛必達法則，得這是原式討論分析例13求解這是型未定式，通分后可化為型未定式，29例14求

解這是型未定式，將其改寫成，是型未定式，所以由洛必達法則，得討論分析例14求解這是型未定式，將其改寫成，是型未定式30注：洛必達法則對求未定式的極限并非始終有效，而不存在(也不是無窮大)，所以右端的有些未定式利用洛必達法則求不出極限．是型的未定式，如極限不存在．討論分析注：洛必達法則對求未定式的極限并非始終有效，而31該極限是否就真的不存在呢？事實上：討論分析該極限是否就真的不存在呢？事實上：討論分析32費馬(1601–1665)法國數學家,他是一位律師,數學只是他的業余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數學上有許多重大貢獻.他特別愛好數論,他提出的費馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學的先驅,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.討論分析費馬(1601–1665)法國數學家,他是一位律師,數學33羅爾是法國數學家，1652年4月21日生于昂貝爾特，1719年11月8日卒于巴黎。羅爾在數學上的成就主要是在代數方面，專長于丟番圖方程的研究。羅爾于1691年在題為《任意次方程的一個解法的證明》的論文中指出了：在多項式方程的兩個相鄰的實根之間，方程至少有一個根。在一百多年后，1846年尤斯托(GiustoBellavitis)將這一定理推廣到可微函數，并將此定理命名為羅爾定理。討論分析羅爾是法國數學家，1652年4月21日討論分析34拉格朗日(1736–1813)法國數學家.他在方程論,解析函數論,及數論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數學中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數學產生全面影響的數學家之一.討論分析拉格朗日(1736–1813)法國數學家.他在方程論,35柯西(1789–1857)