mst導(dǎo)數(shù)專題六大函數(shù)同構(gòu)論專題：六大同構(gòu)函數(shù)論導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)中的重要概念，而六大同構(gòu)函數(shù)則是導(dǎo)數(shù)中的“六脈神劍”。這些函數(shù)包括y=x^e，y=e^x，y=xlnx，y=lnx，y=ln(lnx)，以及y=x^(1/x)，它們?cè)谔幚韱握{(diào)性、極值、最值、零點(diǎn)問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題、不等式問(wèn)題等方面都有廣泛的應(yīng)用。要掌握這些函數(shù)，必須熟悉它們的圖像和基本性質(zhì)，并挖掘它們之間的本質(zhì)聯(lián)系。在本專題中，我們將從六大同構(gòu)函數(shù)圖像及性質(zhì)、外部函數(shù)同構(gòu)、極值底層邏輯展開分析。首先，我們來(lái)看六大同構(gòu)函數(shù)的圖像及基本性質(zhì)。六大同構(gòu)函數(shù)分別是y=x^e，y=e^x，y=xlnx，y=lnx，y=ln(lnx)，以及y=x^(1/x)。通過(guò)對(duì)這些函數(shù)的求導(dǎo)，我們可以得到它們的圖像、單調(diào)區(qū)間和極值。例如，對(duì)于函數(shù)y=(x+1)e，其導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(-∞,-1)遞減，在區(qū)間(-1,+∞)遞增，最小值為-f(-1)=1/e。對(duì)于函數(shù)y=lnx+1，其導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(-∞,0)遞減，在區(qū)間(0,+∞)遞增，最小值為-f(e/e)=1-e。值得注意的是，對(duì)于函數(shù)y=x^e和y=xlnx，我們可以通過(guò)將x換成lnx來(lái)得到它們之間的關(guān)系。同樣地，對(duì)于函數(shù)y=x^1/x和y=ln(lnx)，它們之間也存在著類似的關(guān)系。除了了解六大同構(gòu)函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)，我們還需要挖掘它們的數(shù)據(jù)邏輯和本質(zhì)聯(lián)系。在接下來(lái)的分析中，我們將深入探討這些函數(shù)的外部函數(shù)同構(gòu)和極值底層邏輯。修改后的文章：對(duì)于函數(shù)$y=(x+1)e^x$，可以得到在區(qū)間$(-\infty,2)$遞增，在區(qū)間$(2,+\infty)$遞減。將其縱坐標(biāo)縮小$1$倍，再將關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，左移一個(gè)單位，得到$y=\frac{1}{e^{x+1}}$。因此，在區(qū)間$(-1,0)$遞減，在區(qū)間$(0,1)$遞增，當(dāng)$x=0$時(shí)，$y_{\min}=1$。對(duì)于函數(shù)$f(x)=\frac{x}{e^{x-1}}$，可以得到在區(qū)間$(e,+\infty)$遞減。當(dāng)$x\in(0,e)$時(shí)，$f(x)$遞增，$f(x)_{\max}=\frac{1}{2e}$。對(duì)于函數(shù)$f(x)=\frac{x}{2}e^{x^2}$，可以得到$f(x)=x\cdote^{x^2}\cdot\frac{1}{2}$。因此，$f(x)_{\min}=0$，當(dāng)$x=0$時(shí)取得最小值。對(duì)于函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\lnx}$，可以得到$f(x)=\frac{\lne}{\lnx}=\log_ex$。因此，$f(x)$在$(0,1)$內(nèi)單調(diào)增，在$(1,+\infty)$內(nèi)單調(diào)減。$f(x)_{\max}$取得于$x=1$，$f(x)_{\max}=0$。對(duì)于函數(shù)$f(x)=\frac{2x}{x^2+4}$，可以得到$f(x)=\frac{2}{\frac{x^2}{4}+1}$。因此，$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$內(nèi)單調(diào)遞減。$f(x)_{\max}$不存在，$f(x)_{\min}=0$。綜上所述，對(duì)于函數(shù)$f(x)=(x+1)e^x$，$f(x)_{\min}=-\frac{1}{2e}$；對(duì)于函數(shù)$f(x)=\frac{x}{e^{x-1}}$，$f(x)_{\min}=1$；對(duì)于函數(shù)$f(x)=\frac{x}{2}e^{x^2}$，$f(x)_{\min}=0$；對(duì)于函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\lnx}$，$f(x)_{\max}=0$；對(duì)于函數(shù)$f(x)=\frac{2x}{x^2+4}$，$f(x)_{\min}=0$。【例6】已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，$g(x)=x\cdote^{-x}$，若存在$x_1\in(0,+\infty)$，$x_2\in\mathbb{R}$，使得$f(x_1)=g(x_2)=k(k<0)$成立，則$(x_2^2k)\cdote$的最大值為（）。【解析】由題意得$f(x_1)=\lnx_1=\ln(x_1\cdote^{-\lnx_1})=k$，$g(x_2)=x_2\cdote^{-x_2}=k$，又$f(x_1)=g(x_2)=k(k<0)$，所以$x_1^2\cdotx_2^2k^2=k$，所以$x_2^2k=\dfrac{k}{x_1^2}$