精品文檔-下載后可編輯與直線有關的最值問題近年來，高考在綜合考查學生數學基礎知識和基本方法的同時，重點考查學生正確使用數形結合、分類討論等數學思想方法解決數學問題的能力。因而在平時教學中教師應加強學生知識間的縱橫向聯系和對數學基本思想方法的滲透及理性思維能力的培養。

直線方程從代數角度而言是函數中最簡單的一種形式，也是學習解析幾何的基礎，而均值不等式是求函數最值的重要工具。下面以直線為背景研究四種最值問題的求解。

例1：過點P（2，1）作直線l與x軸、y軸正半軸交于A，B兩點，求使AOB面積最小時的直線l的方程。

分析1：因為直線l已過定點P（2，1），只缺斜率k，可先設出直線l的點斜式方程，易知k＜0，再用k表示點A，B坐標，結合函數及不等式知識求解。

解法1：由題知，直線l的斜率存在且為k，則設l的方程為y-1=k（x-2），（k≠0）。

令y=0，得x=2-，即A（2-，0）。

令x=0，得y=1-2k，即B（0，1-2k）。

又直線l與x軸、y軸的交點均在正半軸上，

因而2-＞0，且1-2k＞0，得k＜0。

AOB的面積S=|OA||OB|=（2-）（1-2k）=（4--4k）。

（-）+（-4k）≥4（當且僅當-=-4k，且k＜0，即k=-時取等號），

k=-時S有最小值4，此時直線l的方程為x+2y-4=0。

分析2：題目中涉及直線l與y軸的交點B，則設B（0，b），由B，P兩點可得直線的斜率，可利用直線方程的斜截式求解。

解法2：設B（0，b），由題知l的斜率存在即b≠1，且b＞0，

由斜截式得l方程為y=x+b。

令y=0，得x=，即A（，0）。

l與x軸正半軸交于A得＞0，

又b＞0且b≠1，

b＞1，

AOB的面積S=|OA||OB|=??b==（b-1）++2≥4（當且僅當b-1=，且b＞1，即b=2時取等號）。

此時直線l的方程為x+2y-4=0。

分析3：若想用直線的兩點式求解，需另設一點可能會產生兩個未知量，而題中涉及l與x軸的交點A，不妨設A點坐標利用兩點式求解。

解法3：設A（a，0），由題知l的斜率存在，即a≠2且a＞0。

那么由兩點式得l方程為=，即y=。

令x=0，得y=，即B（0，）。

l與y軸正半軸交于B得＞0，

又a＞0，且a≠2，

a＞2。

S=|OA||OB|=?a?===［（a-2）++4］≥4（當且僅當a-2=，且a＞2，即a=4時取等號）。

此時直線l的方程為x+2y-4=0。

分析4：由于題中AOB的兩直角邊長就是直線l的縱、橫截距，因此聯想到可用截距式求解。

解法4：設A（a，0），B（0，b）且a＞0，b＞0，

則直線l的方程為+=1。

直線l過點P（2，1），

+=1。

由均值不等式：1=+≥2（當且僅當==，即a=4，b=2時取等號），

得ab≥8。

AOB的面積S=ab≥4。

此時直線l的方程為+=1，即x+2y-4=0。

點評：以上4種解法各有千秋、異曲同工，但都是運用均值不等式求面積最值，在運用過程中應注意對所設變量范圍的確定及常用變形技巧。此道題綜合性強，方法靈活，為復習課中不可多得的一道題。

例2：過點P（2，1）作直線l與x軸、y軸正半軸交于A，B兩點，若|PA|?|PB|取得最小值時，求直線l的方程。

分析1：已知直線l過定點，可用點斜式求解。

解法1：由題知，直線l的斜率存在且為k（k＜0），則l方程可設為y-1=k（x-2）。

令y=0，得點A（2-，0）。

令x=0，得點B（0，1-2k）。

|PA|?|PB|=?=≥4。（當且僅當k=，且k＜0，即k=-1時取等號）。

直線l方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0。

分析2：如下圖知∠BAO是直線l的傾斜角的補角，要求傾斜角，應先求∠BAO。

解法2：設∠BAO=θ，則|PA|=，|PB|=（0＜θ＜）。

|PA|?|PB|==≥4（當θ=時取等號），

直線l的傾斜角為π-θ=π，即斜率k=tanπ=-1。

直線l方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0。

點評：本題從邊、角兩個角度求解，但方法2抓住斜率的定義通過求傾斜角而獲得，較方法1略勝一籌。

例3：過點P（1，4）作直線與兩坐標軸正半軸相交，當直線在兩坐標軸上的截距之和最小時，求此直線的方程。

分析：直線l過定點P（1，4）可用點斜式求解。題中涉及縱、橫截距之和，故可利用截距式求解。

解法1：由題知，直線l的斜率存在且為k（k≠0），則l方程可設為y-4=k（x-1）。

令y=0，得x=+1＞0。

令x=0，得y=4-k＞0，則k＜0。

（4-k）+（+1）=5+（-k）+（-）≥9（當且僅當-k=-，且k＜0，即k=-2時取等號）。

直線l方程為y-4=-2（x-1），即2x+y-6=0。

解法2：設直線l在x軸、y軸上的截距分別為a，b（a＞0，b＞0），則l方程可設為+=1。

直線l過點P（1，4），

+=1，

a+b=（a+b）（+）=5++≥9（當且僅當=，且+=1，即a=3，b=6時取等號），

直線l方程為+=1，即2x+y-6=0。

點評：解法1屬通常解法，解法2利用1的整體代換簡單快捷，較方法1靈活。

例4：為了綠化城市，擬在矩形區域ABCD內建一個矩形草坪。另外，AEF內部有一文物保護區不能占用。經測量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m。應如何設計才能使草坪面積最大。

分析：如下圖，建立直角坐標系，草坪面積的大小直接由點G決定。因而本題關鍵是確定點G的位置。

解法：以點A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸建立平面直角坐標系。設G（a，b）且a＞0，b＞0。

由題知EF所在的直線方程為+=1，即2x+3y=60。

點G在EF上，故2a+3b=60。

矩形GMCN的面積

S=|GM|?|GN|=（100-a）（80-b）=（200-2a）（240-3b）≤［］=。

（當且僅當200-2a=240-3b，且2a+3b=60，即a=5，b=時取等號）

此時=5，即G（5，）分所成的比為5。

答：當草坪矩形的兩邊在BC，CD上，一個頂點在線段EF上，且分所成的比為5時，草坪面積最大。

點評：本題關鍵是利用坐標法確定點G位置及量化草坪面積進而求最值，在最值求解過程中注意湊定和的變形技巧。

本文以直線為背景，研究了面積，