數學建摸課程數學建摸課程1微分方程建模的思想和方法微分方程建模的簡單實例微分方程的平衡點與穩定性主要內容

案例

第三章微分方程方法22023年8月18日微分方程建模的思想和方法微分方程建模的簡單實例微32023年8月18日

第三章微分方程方法微分方程是研究函數變化規律的有力工具，有著廣泛和實際的應用。微分方程建模主要有以下三種方法：根據已知規律建模利用高等數學中的微元分析法建模利用模擬近似法建模32023年8月5日第三章微分方程方法微分方程是研究42023年8月18日開普勒三大定律：太陽系每一顆行星的軌道皆以太陽為一焦點的橢圓;行星的向徑在單位時間掃過的面積是一個常數；行星運動周期之平方與平均距離之立方成正比。《數學的實踐與認識》2005.1242023年8月5日開普勒三大定律：太陽系每一顆行星的軌道皆動態模型描述對象特征隨時間(空間)的演變過程分析對象特征的變化規律預報對象特征的未來性態研究控制對象特征的手段根據函數及其變化率之間的關系確定函數微分方程建模根據建模目的和問題分析作出簡化假設按照內在規律或用類比法建立微分方程52023年8月18日動態模型描述對象特征隨時間(空間)的演變過程分析對象特征62023年8月18日

一、微分方程建模的思想和方法

凈變化率=輸入率-輸出率當我們用微觀的眼光觀察實際問題時一般遵循如下的模式（1）根據已知規律：利用數學、物理、力學、化學等經過實踐檢驗的規律和定理；（2）利用微元法（3）利用模擬近似法：在社會科學、生物學、醫學、經濟學的學科中一些現象的規律性我們不太清楚，需要在不同的假設下去模擬實際現象。如此建立的模型從數學上求解或分析后再與實際對比，觀察看這個模型是否能夠模擬、近似這些現象。62023年8月5日一、微分方程建模的思想和方法凈變化率72023年8月18日

1.估計死亡時間

二、微分方程建模的簡單實例在凌晨1時警察發現一具尸體，測得尸體的溫度是29℃，當時環境的溫度是21℃.1h后尸體溫度下降到27℃，若人體正常的體溫是37℃，估計死亡時間。72023年8月5日1.估計死亡時間二、微分82023年8月18日

二、微分方程建模的簡單實例

1.估計死亡時間解方程得：T(t)=29時，t=2.4094這時求得的t是死者從死亡時間到尸體被發現所經歷的時間。因此可得，死者的死亡時間大致在前一天晚上的10：35.82023年8月5日二、微分方程建模的簡單實例92023年8月18日

2.湖水的污染問題如圖所示是一個容量為2000m3的一個小湖的示意圖，通過小河A，水以0.1m3/s的速度流入，以相同的流量湖水經過B流出。在上午11:05時，因交通事故一個盛有毒性化學物質的容器傾翻，在圖中X點處注入湖中。在采取緊急措施后，于11:35事故得到控制，但數量不詳的化學物質Z已瀉入湖中，初步估計Z的量在5～20m3之間。請建立一個模型，通過它來估計湖水污染程度隨時間的變化并估計：（1）湖水何時到達污染高峰？（2）何時污染程度可降至安全水平（不大于0.05%）。

二、微分方程建模的簡單實例ABXABX小湖示意圖92023年8月5日2.湖水的污染問題如圖所示是102023年8月18日

2.湖水的污染問題

二、微分方程建模的簡單實例102023年8月5日2.湖水的污染問題二、微112023年8月18日

2.湖水的污染問題

二、微分方程建模的簡單實例112023年8月5日2.湖水的污染問題二、微Z取不同值時的濃度C（30）和時間TZ/m3C(30)/m3T/min50.00239552100.00478738150.00717918200.009561014Z取不同值時的濃度C（30）和時間TZ/m3C(30)/m3132023年8月18日

三、微分方程的平衡點及穩定性微分方程所描述的是物質系統的運動規律，實際中，人們只能考慮影響該過程的主要因素，而忽略次要的因素，這種次要的因素稱為干擾因素。干擾因素在實際中可以瞬時地起作用，也可持續地起作用。

問題：在干擾因素客觀存在的情況下，即干擾因素引起初值條件或微分方程的微小變化，是否也只引起對應解的微小變化？有限區間的穩定性、無限區間的穩定性、漸進穩定性、擾動下的穩定性。實際中，對于很多問題的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求其某種理想狀態下的解，這種解稱為平衡點。132023年8月5日三、微分方程的平衡點及穩定性微142023年8月18日

三.微分方程的平衡點及其穩定性

１．平衡點的概念142023年8月5日三.微分方程的平衡點及其穩定性152023年8月18日

三.微分方程的平衡點及其穩定性

１．平衡點的概念問題：如何來斷別平衡點的穩定性呢？152023年8月5日三.微分方程的平衡點及其穩定性162023年8月18日

三.微分方程的平衡點及其穩定性

１．平衡點的概念162023年8月5日三.微分方程的平衡點及其穩定性172023年8月18日

三.微分方程的平衡點及其穩定性2.一階方程的平衡點及穩定性為什么？172023年8月5日三.微分方程的平衡點及其穩定性182023年8月18日

三.微分方程的平衡點及其穩定性3.平面方程的平衡點及穩定性182023年8月5日三.微分方程的平衡點及其穩定性192023年8月18日

三.微分方程的平衡點及其穩定性3.平面方程的平衡點及穩定性192023年8月5日三.微分方程的平衡點及其穩定性202023年8月18日

戰爭的預測與評估問題

１．問題的提出由于國與國之間和地區之間的種族歧視、民族矛盾、利益沖突、歷史遺留問題等原因造成了局部戰爭和地區性武裝沖突時有發生，有的長期處于敵對狀態，必然會導致敵對雙方的軍備競賽，軍事裝備現已成為決定戰爭勝負的重要因素．軍事裝備:軍事實力的總和，主要包括武器裝備、電子信息裝備、軍事兵力、軍事費用等．

現代戰爭的特點是多兵種的協同作戰，根據不同兵種的特點,在不同的區域參加戰斗，都對戰爭的結果產生一定的影響．202023年8月5日戰爭的預測與評估問題１．212023年8月18日

戰爭的預測與評估問題

１．問題的提出現在要求建立數學模型討論的問題：

(1)分析研究引起軍備競賽的因素，并就諸多因素之間的相互關系進行討論；

(2)在多兵種的作戰條件下，對作戰雙方的戰勢進行評估分析.（3）分析研究作戰雙方的兵力消耗，并預測初始總兵力和戰斗力變化對作戰結果的影響。212023年8月5日戰爭的預測與評估問題１．222023年8月18日

戰爭的預測與評估問題2.模型的假設222023年8月5日戰爭的預測與評估問題232023年8月18日

戰爭的預測與評估問題3.模型的建立與求解232023年8月5日戰爭的預測與評估問題3242023年8月18日

戰爭的預測與評估問題3.模型的建立與求解特征方程為：p>0,q>0穩定，q<0不穩定.242023年8月5日戰爭的預測與評估問題3252023年8月18日

戰爭的預測與評估問題3.模型的建立與求解252023年8月5日戰爭的預測與評估問題3262023年8月18日

戰爭的預測與評估問題3.模型的建立與求解262023年8月5日戰爭的預測與評估問題3272023年8月18日

戰爭的預測與評估問題3.模型的建立與求解272023年8月5日戰爭的預測與評估問題3282023年8月18日

戰爭的預測與評估問題3.模型的建立與求解問題(2):在多兵種的作戰條件下，對作戰雙方的戰勢進行評估分析.

282023年8月5日戰爭的預測與評估問題3292023年8月18日

戰爭的預測與評估問題3.模型的建立與求解292023年8月5日戰爭的預測與評估問題3302023年8月18日

戰爭的預測與評估問題3.模型的建立與求解蘭徹斯特多兵種作戰模型．302023年8月5日戰爭的預測與評估問題3312023年8月18日

戰爭的預測與評估問題3.模型的建立與求解問題(3)作為思考題,參見蘭徹斯特作戰模型.312023年8月5日戰爭的預測與評估問題3322023年8月18日

SARS(嚴重急性呼吸道綜合癥,俗稱:非典型肺炎)是21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病．SARS的爆發和蔓延給部分國家和地區的經濟發展和人民生活帶來了一定的影響，人們從中得到了許多重要的經驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規律、為預測和控制傳染病蔓延創造條件的重要性．傳染病模型

１．問題的提出322023年8月5日SARS(嚴重急性呼吸道綜合癥,描述傳染病的傳播過程分析受感染人數的變化規律預報傳染病高潮到來的時刻預防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規律，用機理分析方法建立模型

傳染病模型1.問題的要求2023年8月18日33描述傳染病的傳播過程分析受感染人數的變化規律預報傳染病已感染人數(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數為

模型1假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數增加必須區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?2023年8月18日34已感染人數(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以模型2區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數N不變，病人和健康人的比例分別為

2）每個病人每天有效接觸人數為

,且使接觸的健康人致病建模

~日接觸率SI模型2023年8月18日35每個每天可使λs(t)個健康人變成病人模型2區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻

(日接觸率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大2023年8月18日36日接觸率λ表示該地區的衛生水平，λ越小表示衛生水平越高。所以改善保健設施、提高衛生水平可以推遲傳染病高潮的到來。模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為

~日治愈率建模

~日接觸率1/

~感染期

~一個感染期內每個病人的有效接觸人數，稱為接觸數。2023年8月18日37模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感i0i0接觸數

=1～閾值感染期內有效接觸感染的健康者人數不超過病人數1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例？idi/dt01

>10ti

>11-1/

i0t

1di/dt<02023年8月18日38di/dt=0的穩定平衡點i0i0接觸數=1～閾值感染期內有效接觸感染的健康者人模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統，稱移出者SIR模型假設1）總人數N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率

,

接觸數

=/建模需建立的兩個方程2023年8月18日39模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統，稱移出者SSIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質2023年8月18日40對于病愈免疫移出者SIR模型無法求出在相平面消去dt相軌線的定義域相軌線11si0D在D內作相軌線的圖形，進行分析2023年8月18日41消去dt相軌線的定義域相軌線11si0si101DSIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調減

相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調降至01/~閾值P3P4P2S02023年8月18日42si101DSIR模型相軌線及其分析傳染SIR模型預防傳染病蔓延的手段

(日接觸率)衛生水平

(日治愈率)

醫療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/

的估計降低s0提高r0提高閾值1/

降低

(=

/

)

,

群體免疫2023年8月18日43SIR模型預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛生水SIR模型被傳染人數的估計記被傳染人數比例x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提高閾值1/

降低被傳染人數比例xs0-1/

=

2023年8月18日44SIR模型被傳染人數的估計記被傳染人數比例x<<s0i0P1452023年8月18日SARS的傳播問題

１．問題的提出

請你對SARS的傳播建立數學模型，要求說明怎樣才能建立一個真正能夠預測，以及能為預防和控制提供可靠、足夠信息的模型，這樣做的困難在哪里？并對疫情傳播所造成的影響做出估計.452023年8月5日SARS的傳播問題１．問題462023年8月18日

實際中，SARS的傳染過程為：“易感人群→病毒潛伏人群→