3.4生活中的優化問題舉例高二數學選修1-1

第三章導數及其應用3.4生活中的優化問題舉例高二數學選修1-11知識回顧一、如何判斷函數函數的單調性？f(x)為增函數f(x)為減函數設函數y=f(x)在

某個區間內可導，二、如何求函數的極值與最值？求函數極值的一般步驟（1）確定定義域（2）求導數f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判斷求f(x)在閉區間[a,b]上的最值的步驟：(1)求f(x)在區間(a,b)內極值；(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b）比較,從而確定函數的最值。知識回顧一、如何判斷函數函數的單調性？f(x)為增函數f(x2知識背景：

生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題.通過前面的學習，我們知道，導數是求函數最大（?。┲档挠辛ぞ?，本節我們運用導數，解決一些生活中的優化問題.知識背景：生活中經常遇到求利潤最大、用料3例1：海報版面尺寸的設計

學校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F讓你設計一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最小？圖3.4-1

分析：已知版心的面積，你能否設計出版心的高，求出版心的寬，從而列出海報四周的面積來？例1：海報版面尺寸的設計圖3.4-1分析：已知版4

你還有其他解法嗎？例如用基本不等式行不？因此，x=16是函數S(x)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。你還有其他解法嗎？例如用基本不等式行不？因此，x=165解法二：由解法(一)得解法二：由解法(一)得6問題2:

飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎?你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數學上知道它的道理嗎?是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?問題2:

飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎?你是否注意過,市7規格（L）21.250.6價格（元）5.14.52.5例2：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響下面是某品牌飲料的三種規格不同的產品，若它們的價格如下表所示，則（1）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？（2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？規格（L）21.250.6價格（元）5.14.52.5例2：8某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，(１)瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？(２）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最??？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+減函數↘增函數↗-1.07p∴每瓶飲料的利潤：背景知識解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的9當半徑r＞２時，f’(r)>0它表示f(r)單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑r＜２時，f’(r)<0它表示f(r)單調遞減，

即半徑越大，利潤越低．1.半徑為２cm時，利潤最小，這時表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值２．半徑為６cm時，利潤最大1.半徑為２cm時，利潤最小，這時表示此種瓶內飲料的利潤還10231、當半徑為2cm時,利潤最小,這時f(2)<0,2、當半徑為6cm時，利潤最大。從圖中可以看出:從圖中，你還能看出什么嗎？231、當半徑為2cm時,利潤最小,這時f(2)<0,2、當11問題3、磁盤的最大存儲量問題(1)你知道計算機是如何存儲、檢索信息的嗎？(2)你知道磁盤的結構嗎？(3)如何使一個圓環狀的磁盤存儲盡可能多的信息？問題3、磁盤的最大存儲量問題(1)你知道計算機是如何存儲、12Rr例3：現有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區是半徑介于r與R的環行區域。是不是r越小，磁盤的存儲量越大？(2)r為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？Rr例3：現有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區是半徑介于r與R13解：存儲量=磁道數×每磁道的比特數設存儲區的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，且最外面的磁道不存儲人何信息，所以磁道最多可達又由于每條磁道上的比特數相同，為獲得最大的存儲量，最內一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數可達到所以，磁道總存儲量（1）它是一個關于r的二次函數，從函數的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.解：存儲量=磁道數×每磁道的比特數設存儲區的半14(2)為求的最大值，計算令解得因此，當時，磁道具有最大的存儲量，最大存儲量為(2)為求的最大值，計算令解得因此，當15由上述例子，我們不難發現，解決優化問題的基本思路是：優化問題用函數表示的數學問題用導數解決數學問題優化問題的答案上述解決優化問題的過程是一個典型的數學建模過程。由上述例子，我們不難發現，解決優化問題的基本思16練習：在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？練習：在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再17解:設箱底邊長為x,則箱高h=(60-x)/2.箱子容積

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當x過小(接近0)或過大(接近60)時,箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當x=40cm時,箱子容積最大,最大容積是16000cm3.解:設箱底邊長為x,則箱高h=(60-x)/2.箱子容積令18練習1:在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋的方底箱子,箱底邊長為多少時,箱子的容積最大?最大容積是多少?解:設箱底邊長為x,則箱高h=(60-x)/2.箱子容積V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當x過小(接近0)或過大(接近60)時,箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當x=40cm時,箱子容積最大,最大容積16000cm3.練習：練習1:在邊長為60cm的正方形鐵皮解:設箱底邊長為x,則19練習2:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?Rh解設圓柱的高為h,底面半徑為R.則表面積為S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.可以判斷S(R)只有一個極值點,且是最小值點.答罐高與底的直徑相等時,所用材料最省.練習2:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高與底半20xy練習3如圖,在二次函數f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內接矩形ABCD,求這個矩形的最大面積.解:設B(x,0)(0<x<2),則A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當時,因此當點B為時,矩形的最大面積是xy練習3如圖,在二次函數f(x)=4x-x2的圖象與x軸21練習4:已知x,y為正實數,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.設,由x,y為正實數得:設令,得又,又f(0)=f(π)=0,故當時,練習4:已知x,y為正實數,且x2-2x+4y2=0,求xy22練習5:證明不等式:證:設則令,結合x>0得x