基本要求：熟練掌握位移法解題的基本原理和超靜定梁、剛架在荷載作用下內(nèi)力的計算。掌握位移法方程建立的兩種途徑：一是利用直接平衡法建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本體系建立典型方程，為矩陣位移法打基礎(chǔ)，便于用計算機電算。

掌握對稱性的利用。

教學(xué)內(nèi)容：﹡位移法的基本概念

﹡等截面直桿的形常數(shù)和載常數(shù)

﹡位移法的基本未知量和基本體系

﹡位移法方程

﹡位移法計算連續(xù)梁和剛架

﹡位移法計算對稱結(jié)構(gòu)

第7章

位移法基本要求：熟練掌握位移法解題的基本原理和超靜定梁、剛架在荷第一、位移法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的另一種基本方法。分析超靜定結(jié)構(gòu)時，有兩種基本方法：第一種：以多余未知力為基本未知量；先求其反力或內(nèi)力，然后計算位移——力法。第二種：以結(jié)點未知位移為基本未知量；先求其位移，然后再計算內(nèi)力——位移法。結(jié)構(gòu)在外因作用下產(chǎn)生內(nèi)力變形內(nèi)力與變形間存在關(guān)系§7.1

位移法的基本概念一、位移法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的另一種基本方法。分析超靜定結(jié)構(gòu)力法：由變形協(xié)調(diào)條件建立位移方程；位移法：由平衡條件建立的平衡方程。二、位移法與力法的區(qū)別1.主要區(qū)別是基本未知量選取不同力法：多余未知力作為基本未知量；位移法：結(jié)點位移(線位移和角位移)作為基本未知量。2.建立的基本方程不同注意：力法的基本未知量的數(shù)目等于超靜定次數(shù)，而位移法的基本未知量與超靜定次數(shù)無關(guān)。力法：由變形協(xié)調(diào)條件建立位移方程；二、位移法與力法的區(qū)別1.1.剛結(jié)點所連接的各桿端截面變形后有相同的角位移；2.各桿端之間的連線長度變形前后保持不變，即忽略桿件的軸向變形；3.結(jié)點線位移的弧線運動用垂直于桿軸的切線代替，即結(jié)點線位移垂直于桿軸發(fā)生。三、位移法的基本假定1.剛結(jié)點所連接的各桿端截面變形后有相同的角位移；三、位移法下面以一個例題來介紹一下位移法的解題思路。

結(jié)點位移與桿端位移分析

BD伸長：DC伸長：

DA伸長：

桿端位移分析由材料力學(xué)可知：桿端力與桿端位移的關(guān)系D結(jié)點有向下的位移Δ△FPCDAB45o45o四、位移法的基本思路下面以一個例題來介紹一下位移法的解題思路。結(jié)點位移與桿端位建立力的平衡方程由方程解得：

位移法方程把△回代到桿端力的表達式中就可得到各桿的軸力：由結(jié)點平衡：

建立力的由方程解得：位移法方程把△回代到桿端力的表達式中就③由結(jié)點平衡或截面平衡，建立方程；

⑤結(jié)點位移回代，得到桿端力。總結(jié)一下直接平衡法解題的步驟：①確定結(jié)點位移的數(shù)量；②寫出桿端力與桿端位移的關(guān)系式；④解方程，得到結(jié)點位移；③由結(jié)點平衡或截面平衡，建立方程；⑤結(jié)點位移回代，得F1Pql2/12ql2/12θAF115ql2/48ql2/48BllqEI=常數(shù)ACθAqABCABCθA4iF11θAABCql2/24F1Pql2/12ql2/12θAF115ql2/48ql2基本體系法解題要點：（1）位移法的基本未知量是結(jié)點位移；（3）位移法的基本方程是平衡方程；（4）建立基本方程的過程分為兩步：1）把結(jié)構(gòu)拆成桿件，進行桿件分析；2）再把桿件綜合成結(jié)構(gòu)，進行整體分析；（5）桿件分析是結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)。（2）位移法的基本結(jié)構(gòu)----單跨梁系；基本體系法解題要點：（1）位移法的基本未知量是結(jié)點位移；（一、桿端力和桿端位移的正負規(guī)定二、形常數(shù)和載常數(shù)1.桿端轉(zhuǎn)角φ、桿兩端相對位移Δ以使桿件順時針轉(zhuǎn)動為正號。2.桿端彎矩，對桿端順時針轉(zhuǎn)動為正號；對支座或結(jié)點逆時針轉(zhuǎn)動為正號。桿端剪力以使作用截面順時針轉(zhuǎn)動為正號。形常數(shù)：由單位桿端位移引起的單跨超靜定梁的桿端力載常數(shù)：由荷載引起的固端力§7.2

等截面直桿的剛度方程一、桿端力和桿端位移的正負規(guī)定二、形常數(shù)和載常數(shù)1.桿端轉(zhuǎn)角MABQBAMBAQABΔφAφB根據(jù)力法可求解：其中i=EI/l，稱為桿件的線剛度1.由桿端位移求桿端內(nèi)力（形常數(shù)）MABMBAΔφ2Aφ2Bφ1Aφ1B圖（1）圖（2）MABQBAMBAQABΔφAφB根據(jù)力法可求解：其中i=E1）求圖(1)中的φA1,φB1(a)

1）求圖(1)中的φA1,φB1(a)(b)

(c)

(b)(c)2）求圖(2)中φA2和φB23）疊加得到變換式上式可得桿端內(nèi)力的剛度方程（轉(zhuǎn)角位移方程）：

2）求圖(2)中φA2和φB23）疊加得到變換式上式可得由平衡條件得桿端剪力：見圖（d)(d)

由平衡條件得桿端剪力：見圖（d)(d)由力法求得由力法求得1.兩端固定單元，在A端發(fā)生一個順時針的轉(zhuǎn)角。ABMABMBA2.兩端固定單元，在B端發(fā)生一個順時針的轉(zhuǎn)角。ABMABMBA4i2iM由力法求得由力法求得1.兩端固定單元，在A端發(fā)生一個順時針的由力法求得3.兩端固定單元，在B端發(fā)生一個向下的位移。△ABMABMBA4.一端固定一端鉸結(jié)單元，在A端發(fā)生一個順時針的轉(zhuǎn)角。ABMABMBA由力法求得由力法求得3.兩端固定單元，在B端發(fā)生一個向下的位移。由力法求得由力法求得5.一端固定一端鉸結(jié)單元，在B端發(fā)生一個向下的位移。MABABMBA△6.一端固定一端滑動單元，在A端發(fā)生一個順時針的轉(zhuǎn)角。MABMBAAB由力法求得由力法求得5.一端固定一端鉸結(jié)單元，在B端發(fā)生一個由單位桿端位移引起的形常數(shù)單跨超靜定梁簡圖MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i-i0由單位桿端位移引起的形常數(shù)單跨超靜定梁簡圖MABMBAQAB單跨超靜定梁簡圖MABMBAAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABPAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABl/2l/2P2.由荷載求桿端內(nèi)力——固端彎矩和固端剪力（載常數(shù)）單跨超靜定梁簡圖MABMBAAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓獨立的結(jié)點位移：包括角位移和線位移結(jié)點角位移數(shù)：剛結(jié)點的數(shù)目獨立結(jié)點線位移數(shù)：鉸結(jié)體系的自由度

§7.3

位移法的基本未知量一、位移法基本未知量●結(jié)點：指桿件與桿件的交結(jié)處，不包括支座結(jié)點。

●桿件：等截面的直桿，不能是折桿或曲桿。●為了減少未知量，忽略軸向變形，即認為桿件的EA=∞。獨立的結(jié)點位移：包括角位移和線位移結(jié)點角位移數(shù)：剛結(jié)點的數(shù)目2.有側(cè)移結(jié)構(gòu)1.無側(cè)移結(jié)構(gòu)基本未知量：所有剛結(jié)點的轉(zhuǎn)角二、基本未知量的確定2.有側(cè)移結(jié)構(gòu)1.無側(cè)移結(jié)構(gòu)基本未知量：所有剛結(jié)點的轉(zhuǎn)角二、只有一個剛結(jié)點B，由于忽略軸向變形，B結(jié)點只有

只有一個剛結(jié)點B，由于忽略軸向變形及C結(jié)點的約束形式，B結(jié)點有一個轉(zhuǎn)角和水平位移ABCABC例1.例2.只有一個剛結(jié)點B，由于忽只有一個剛結(jié)點B，ABCABC例3.

有兩個剛結(jié)點E、F、D、C，由于忽略軸向變形，E、F、D、C

點的豎向位移為零，E、F

點及D、C

點的水平位移相等，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：例4.

有兩個剛結(jié)點B、C，由于忽略軸向變形，B、C點的豎向位移為零，B、C點的水平位移相等，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：結(jié)論：剛架（不帶斜桿的）一個結(jié)點一個轉(zhuǎn)角，一層一個側(cè)移。例3.有兩個剛結(jié)點E、F、D、C，由于忽略軸向

有兩個剛結(jié)點B、C，由于忽略軸向變形及B、C點的約束，B、C點的豎向、水平位移均為零，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：

ABCD例5.ABCD例6.桁架桿件要考慮軸向變形。因此每個結(jié)點有兩個線位移。該結(jié)構(gòu)的未知量為：有兩個剛結(jié)點B、C，由于ABCD例5.A

排架結(jié)構(gòu)，有兩個鉸結(jié)點A、B，由于忽略軸向變形，A、B兩點的豎向位移為零，A、B兩點的水平位移相等，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：

EA=∞ABCD

兩跨排架結(jié)構(gòu)，有四個結(jié)點A、B、C、D，同理A與B點、D與C點的水平位移相同，各結(jié)點的豎向位移為零，但D結(jié)點有一轉(zhuǎn)角，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：例7.

EA=∞ABDCEFG例8.排架結(jié)構(gòu)，有兩個鉸結(jié)點A、B，EA=∞ABCD該題的未知量為

對圖示有斜桿的剛架，未知量分析的方法是：對于轉(zhuǎn)角位移，只需數(shù)剛結(jié)點，一個剛結(jié)點一個轉(zhuǎn)角位移。對于線位移，首先把所有的剛結(jié)點變成鉸結(jié)點，然后再加鏈桿，使其變成無多余約束的幾何不變體系，加了幾根鏈桿，就是有幾個線位移。ABCDEABCDE例9.該題的未知量為對圖示有斜桿的剛架，未知量分析的結(jié)點轉(zhuǎn)角的數(shù)目：7個獨立結(jié)點線位移的數(shù)目：3個123結(jié)點轉(zhuǎn)角的數(shù)目：7個獨立結(jié)點線位移的數(shù)目：3個123

剛架結(jié)構(gòu)，有兩個剛結(jié)點D、E，故有兩個角位移，結(jié)點線位移由鉸結(jié)體系來判斷，W=3×4－2×6=0，鉸結(jié)體系幾何不變，無結(jié)點線位移。

ABCDEABCD

剛架結(jié)構(gòu)，有兩個剛結(jié)點C、D，故有兩個角位移，結(jié)點線位移由鉸結(jié)體系來判斷，W=3×3－2×4=1，鉸結(jié)體系幾何可變，有一個線位移。

剛架結(jié)構(gòu)，有兩個剛結(jié)點D、E，ABCDEABCABDCEABDCE

剛架結(jié)構(gòu)，有兩個剛結(jié)點D、E，故有兩個角位移，結(jié)點線位移由鉸結(jié)體系來判斷，W=3×4－2×6=0，鉸結(jié)體系幾何瞬變，有一個線位移。

ABDCEABDCE剛架結(jié)構(gòu)，有兩個剛結(jié)點D、結(jié)構(gòu)力學(xué)-位移法ppt課件分析方法：

該題有一個剛結(jié)點，因此有一個轉(zhuǎn)角位移。水平線位移的分析方法：假設(shè)B結(jié)點向左有一個水平位移△，BC桿平移至B’C’，然后它繞B’轉(zhuǎn)至D點。結(jié)論：該題有兩個未知量：其中BA桿的線位移為：△BC桿的線位移為：△例10.

B’

C’

A

B

C

D分析方法：結(jié)論：△例10.B’C’ABC注意：(1)鉸處的轉(zhuǎn)角不作基本未知量。(2)剪力靜定桿的桿端側(cè)移也可不作為基本未知量。aΔ(3)結(jié)構(gòu)帶無限剛性梁時，即EI∞時，若柱子平行，則梁端結(jié)點轉(zhuǎn)角為0；若柱子不平行，則梁端結(jié)點轉(zhuǎn)角可由柱頂側(cè)移表示出來。（4）對于平行柱剛架不論橫梁是平的，還是斜的，柱子等高或不等高，柱頂線位移都相等。

A

B

C

D

E

ΔΔ注意：aΔ(3)結(jié)構(gòu)帶無限剛性梁時，即EI∞時，若柱子平行，§7.4

位移法舉例桿長為：l

BA桿BC桿解：1.確定未知量未知量為:2.寫出桿端力的表達式3.建立位移法方程取B結(jié)點，由,得:AEIBCEIq例1:§7.4位移法舉例桿長為：lBA桿BC桿解：1.確定未4.解方程，得:5.把結(jié)點位移回代，得桿端彎矩6.畫彎矩圖ql28ql214ql228ABCM圖

4.解方程，得:5.把結(jié)點位移回代，得桿端彎矩6.畫彎4I4I5I3I3I1110.750.5i=1110.750.5ABCDEF5m4m4m4m2m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m例2.1、基本未知量θB、θC2、列桿端力表達式令EI=1BAqlm·==8420822mkN=.40BCqlm·-=-=125201222CBmkNm=.7.41mkN-=.7.41CCCFMqq=·=25.04BBEBMqq=·=5.175.02CBCBMqq++=7.4142CBBCMqq-+=7.4124BBAMq+=403CCFCMqq=·=5.02BBBEMqq=·=375.04CCDMq=33、列位移法方程0=++=?CFCDCBCMMMM0=++=?BEBCBABMMMM07.1210=-+CBqq07.4192=++CBqq4、解方程θB=1.15θC=－4.89=43.5=－46.9=24.5=－14.7=－9.78=－4.89MCBMCDMCF=3.4=1.7ABCDEF5m4m4m4m2m43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M圖(kN.M)位移不是真值!!5、回代6、畫M圖MBAMBCMBE4I4I5I3I3I1110.750.5i=1110.750例3.1.位移法未知量未知量：

2.桿端彎矩表達式3.建立位移方程取出B結(jié)點:……①……②LLqFP2EIEIABC例3.1.位移法未知量未知量：2.桿端彎矩表達式3求FQBA求FQBC把FQBCFQBA代入方程②中得：……②后面的工作就省略了。

求FQBA求FQBC把FQBCFQBA代入方程②中得例4.1.未知量2個：—位移法方程①2.BA桿：桿端彎矩表達式：BC桿：端彎矩表達式：3.建立位移法方程取B結(jié)點由:qEI2EIABCFPLL/2L/2例4.1.未知量2個：—位移法方程①2.BA桿：桿端彎矩表達求FQBA,取BA桿,由把FQBA代入②式,得:----位移法方程②……②取BC截面由:FQBAqFQABMABMBABA求FQBA,取BA桿,由把FQBA代入②式,得:----位移小結(jié)（1）用位移法計算兩類結(jié)構(gòu)（無側(cè)移、有側(cè)移)思路與方法基本相同；（2）在計算有側(cè)移剛架時，同無側(cè)移剛架相比，在具體作法上增加了一些新內(nèi)容：

▲在基本未知量中，要含結(jié)點線位移；

▲在桿件計算中，要考慮線位移的影響；

▲在建立基本方程時，要增加與結(jié)點線位移對應(yīng)的平衡方程。小結(jié)（1）用位移法計算兩類結(jié)構(gòu)（無側(cè)移、有側(cè)移)§7.5

基本體系和典型方程法2.建立基本體系（1）在每個剛結(jié)點處添加一個附加剛臂，

阻止剛結(jié)點轉(zhuǎn)動（不能阻止移動）；（2）在可能發(fā)生線位移的結(jié)點，加上附加鏈桿，阻止結(jié)點線位移（移動）。一、位移法基本體系1.基本體系——單跨超靜定梁的組合體用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)時，把每一根桿件都作為單跨超靜定梁看待。經(jīng)過以上處理，原結(jié)構(gòu)就成為一個由n個獨立單跨超靜定梁組成的組合體——即為位移法的基本體系。§7.5基本體系和典型方程法2.建立基本體系（1）在每個例.建立圖示結(jié)構(gòu)位移法的基本體系。

未知量2個：基本體系

在有轉(zhuǎn)角位移的結(jié)點處先加一剛臂，阻止轉(zhuǎn)動，然后再讓其發(fā)生轉(zhuǎn)角。在有線位移的結(jié)點處先加一鏈桿，阻止線位移，然后再讓其發(fā)生線位移。EIEIABCLqLq原結(jié)構(gòu)例.建立圖示結(jié)構(gòu)位移法的基本體系。結(jié)構(gòu)力學(xué)-位移法ppt課件結(jié)構(gòu)力學(xué)-位移法ppt課件二、利用基本體系建立位移法方程鎖住——將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成基本體系。把原結(jié)構(gòu)“拆成”孤立的單個超靜定桿件；放松——將基本結(jié)構(gòu)還原成原結(jié)構(gòu)。即強行使“鎖住”的結(jié)點發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)角或線位移。2.位移法典型方程的建立與求解1.基本原理——先鎖、后松。二、利用基本體系建立位移法方程鎖住——將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成基本體系EIEIABCqLL

原結(jié)構(gòu)EIEIABCq

基本體系3i4i2i

M1圖×Z1

M2圖×Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1

MP圖==++6EIL26EIL2在M1、M2、MP三個圖中的附加剛臂和鏈桿中一定有約束反力產(chǎn)生，而三個圖中的反力加起來應(yīng)等于零。qL28EIEIABCqLL原結(jié)構(gòu)EIEIABCq基本體系++=k11k21F1PF2Pk12附加剛臂和鏈桿上產(chǎn)生的反力EIEIABCq

基本體系Z1Z2k22

M2圖×Z2Z2=16EIL26EIL2qL28

MP圖qL28

M1圖×Z1Z1=13i4i2i++=k11k21F1PF2Pk12附加剛臂和鏈桿上產(chǎn)生的

位移法典型方程由反力互等定理可知：在M1、M2、MP三個圖中附加剛臂和鏈桿中產(chǎn)生的附加力加起來應(yīng)等于零，則有：方程中的系數(shù)和自由項就是M1、M2、MP三個圖中剛臂和鏈桿中產(chǎn)生的附加反力。位移法典型方程由反力互等定理可知：在M1、M2求系數(shù)和自由項：取各個彎矩圖中的結(jié)點或截面利用平衡原理求得。由M1圖：3i4ik11k11k21FQBA6i/Lk12k12k22FQBA由M2圖：求系數(shù)和自由項：取各個彎矩圖中的結(jié)點或截面利用由M1圖：3i由MP圖：把系數(shù)和自由項代入典型方程，有：——位移法方程F1PqL28F1PF2PFQBA=0由MP圖：把系數(shù)和自由項代入典型方程，有：——位移法方程F1用基本體系求內(nèi)力的計算步驟:1、確定未知量，畫出位移法的基本體系，2、建立位移法的典型方程，3、畫出M1、…MP圖，4、求出系數(shù)和自由項，5、代入解方程，得到結(jié)點位移，6、按下式畫彎矩圖：用基本體系求內(nèi)力的計算步驟:如果結(jié)構(gòu)有n個未知量，那么位移法方程為：其中：是主系數(shù)，永遠是正的。是副系數(shù)，有正有負。由反力互等定理可知：——物理意義是：由第j個結(jié)點位移發(fā)生單位位移后，在第i個結(jié)點位移處產(chǎn)生的反力。如果結(jié)構(gòu)有n個未知量，那么位移法方程為：其中：是主系數(shù)，永【例1】用位移法計算圖(a)所示結(jié)構(gòu)，并作內(nèi)力圖。已知各桿EI為常數(shù)。【解】（1）在結(jié)點B加一剛臂得基本結(jié)構(gòu)(圖(b))，只有一個未知量Z1。（2）位移法典型方程為k11Z1+F1P=0

（3）求系數(shù)和自由項繪M1圖(圖(c))，求得k11=3i+4i=7i

繪MP圖(圖(d))，求得F1P=5-40=-35kN·m【例1】用位移法計算圖(a)所示結(jié)構(gòu)，并作內(nèi)力圖。已知各桿E結(jié)構(gòu)力學(xué)-位移法ppt課件（4）求未知量Z1

將k11、F1P之值代入典型方程，得

7iZ1-35=0故Z1=5/i（5）用疊加法繪最后彎矩圖(圖(e))。（6）繪制剪力、軸力圖。（4）求未知量Z1【例2】用位移法計算圖(a)所示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。已知各桿長度均為l，EI為常數(shù)。【解】（1）基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。（2）位移法方程為k11Z1+F1P=0

（3）求系數(shù)和自由項繪M1圖(圖(c))，求得k11=4i+4i+3i=11i如圖(d)所示，結(jié)點D被剛臂鎖住，加外力偶后不能轉(zhuǎn)動，所以各桿均無彎曲變形，因此無彎矩圖，即MP=0。【例2】用位移法計算圖(a)所示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。已知各桿長結(jié)構(gòu)力學(xué)-位移法ppt課件截取結(jié)點D(圖(d))，由結(jié)點力矩平衡條件∑MD=0，得

F1P+m=0故F1P=-m

若外力偶m是逆時針方向的，則F1P=+m

寫成一般式，當結(jié)點受外力偶作用時：F1P=m

當外力偶為順時針時m取負號，為逆時針時m取正號。解方程，求Z1：

Z1=-F1P/k11=m/11i

截取結(jié)點D(圖(d))，由結(jié)點力矩平衡條件∑MD=0，得按疊加法繪最后彎矩圖(圖(e))：

M=M1Z1+MP=M1Z1

當結(jié)點上有外力偶，各桿上還有外力作用時：

F1P=∑M固端+m式中：外力偶為順時針時，m取負號；反之，m取正號。按疊加法繪最后彎矩圖(圖(e))：結(jié)構(gòu)力學(xué)-位移法ppt課件結(jié)構(gòu)力學(xué)-位移法ppt課件結(jié)構(gòu)力學(xué)-位移法ppt課件【例3】用位移法計算圖(a)所示排架，并繪M圖【解】基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示，有一個基本未知量Z1。位移法方程為k11Z1+F1P=0

繪M1圖如圖(c)所示，得k11=∑3i/l2=12i/l2繪MP圖如圖(d)所示。得F1P=-3ql/4將k11、F1P之值代入位移法方程，解得

Z1=-F1P/k11=ql3/16i按疊加法繪最后彎矩圖。【例3】用位移法計算圖(a)所示排架，并繪M圖結(jié)構(gòu)力學(xué)-位移法ppt課件結(jié)構(gòu)力學(xué)-位移法ppt課件【例4】用位移法計算圖(a)所示剛架，并繪M圖。【解】此剛架具有兩個剛結(jié)點B和C，無結(jié)點線位移，其基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。列位移法典型方程：

k11Z1+k12Z2+F1P=0

k21Z1+k22Z2+F2P=0分別繪出M1圖(c)、M2圖(d)和MP圖(e)。各系數(shù)和自由項分別計算如下：【例4】用位移法計算圖(a)所示剛架，并繪M圖。結(jié)構(gòu)力學(xué)-位移法ppt課件

k11=4i+8i=12i

k21=k12=4i

k22=8i+6i+4i=18i

F1P=-26.67-10=-36.67kN·m

F2P=26.67-30=-3.33kN·m將上述所求系數(shù)和自由項代入位移法方程，解得Z1=3.23/iZ2=-0.53/i

按疊加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP繪出最后彎矩圖如圖(f)所示。k11=4i+8i=12i【例5】用位移法計算圖(a)所示剛架，并繪M圖【解】此剛架具有一個獨立轉(zhuǎn)角Z1和一個獨立線位移Z2。基本體系如圖(b)所示。根據(jù)附加剛臂和附加支桿上的反力矩和反力應(yīng)等于零的條件，可建立位移法方程如下：

k11Z1+k12Z2+F1P=0

k21Z1+k22Z2+F2P=0分別繪出M1圖(c)、M2圖(d)和MP圖(e)。【例5】用位移法計算圖(a)所示剛架，并繪M圖結(jié)構(gòu)力學(xué)-位移法ppt課件由M1圖：k11=3i+4i=7i

由M2圖：k12=-3i/2

由MP圖:F1P=0

求k21可在M1圖上經(jīng)二柱頂引截面，根據(jù)柱端彎矩計算出作用于柱頂?shù)募袅Γ∑渖喜繛楦綦x體(圖2(a))，由∑X=0

k21-QCD=0

故k21=QCD=k12

由M1圖：k11=3i+4i=7i求k2圖2圖2為求k22，可在M2圖上引截面，由隔離體(圖2(b))的平衡條件∑X=0，可推出計算公式如下：

對于本例：同理可求得F2P，由MP圖：F2P=-60kN為求k22，可在M2圖上引截面，由隔離體(圖2(b))的將上述所求系數(shù)和自由項代入位移法方程，解得

Z1=20.87/iZ2=97.39/i按疊加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP繪出最后彎矩圖如圖(f)所示。將上述所求系數(shù)和自由項代入位移法方程，解得小結(jié)（1）確定基本未知量，取基本體系。位移法的解題步驟與方法同力法相比較：力法：多余未知力；位移法：未知角位移、線位移。未知量力法——靜定結(jié)構(gòu)；位移法——單跨超靜定梁的組合體。基本體系小結(jié)（1）確定基本未知量，取基本體系。位移法的解題步驟（3）作MP、Mi圖，求系數(shù)和自由項力法：先作出靜定結(jié)構(gòu)分別在載荷FP、多余未知力作用下的彎矩圖MP、Mi

；然后應(yīng)用圖乘法求出系數(shù)和自由項：ΔiP、δij、δii；（2）建立典型方程建立方程條件力法：去掉多余約束處的位移條件；位移法：附加約束上約束反力的平衡條件。方程的性質(zhì)力法：變形協(xié)調(diào)方程；位移法：平衡方程。

（3）作MP、Mi圖，求系數(shù)和自由項力法：先作出靜定結(jié)構(gòu)分位移法：先作出基本體系分別在載荷FP、單位位移（Zi=1)作用下所引起的彎矩圖（借助于轉(zhuǎn)角位移方程或圖表）；然后利用結(jié)點或截面的平衡，求出附加剛臂中的反力矩和附加鏈桿中的反力，即位移法的系數(shù)和自由項：Fip、k

ij、k

ii。（4）解典型方程，求基本未知量。（5）繪制最后內(nèi)力圖——采用疊加法。力法：位移法：位移法：先作出基本體系分別在載荷FP、單位位移（Zi=1)作§7.6

對稱結(jié)構(gòu)的計算對于對稱結(jié)構(gòu)用位移法求解時，可以取半邊結(jié)構(gòu)進行計算，所以下面先介紹半邊結(jié)構(gòu)的取法。以單跨剛架為例，對稱點C的位移和內(nèi)力如下：1.奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下變形正對稱，對稱軸截面不能水平移動，也不能轉(zhuǎn)動，但是可以豎向移動。取半邊結(jié)構(gòu)時可以用滑動支座代替對稱軸截面。對稱軸截面上一般有彎矩和軸力，但沒有剪力。§7.6對稱結(jié)構(gòu)的計算對于對稱結(jié)構(gòu)用位移法求解時2.偶數(shù)跨對稱剛架在對稱荷載作用下以雙跨剛架為例，對稱點C的位移和內(nèi)力如下：CB變形正對稱，對稱軸截面無水平位移和角位移，又因忽略豎柱的軸向變形，故對稱軸截面也不會產(chǎn)生豎向線位移，可以用固定端支座代替。中柱無彎曲變形，故不會產(chǎn)生彎矩和剪力，但有軸力。對稱軸截面對梁端來說一般存在彎矩、軸力和剪力，對柱端截面來說只有軸力。2.偶數(shù)跨對稱剛架在對稱荷載作用下以雙跨剛架為例，對稱點C的3.奇數(shù)跨對稱剛架在反對稱荷載作用下以單跨剛架為例，對稱點C的位移和內(nèi)力如下：FPFP變形反對稱，對稱軸截面左半部分梁向下彎曲，右半部分梁向上彎曲，由于結(jié)構(gòu)是一個整體，在對稱軸截面C處不會上下錯開，故對稱軸截面C在豎直方向不會移動，但是會發(fā)生水平移動和轉(zhuǎn)動，故可用鏈桿支座代替。對稱軸截面C上無彎矩和軸力，但一般有剪力。3.奇數(shù)跨對稱剛架在反對稱荷載作用下以單跨剛架為例，對稱點C4.偶數(shù)跨對稱剛架在反對稱荷載作用下以兩跨剛架為例：圖1FPFP變形反對稱，中柱在左側(cè)荷載作用下受壓，在右側(cè)荷載作用下受拉，二者等值反向，故總軸力等于零，對稱軸截面不會產(chǎn)生豎向位移，但是會發(fā)生水平移動和轉(zhuǎn)動，是由中柱的彎曲變形引起的。中柱由左側(cè)荷載和右側(cè)荷載作用產(chǎn)生的彎曲變形的方向和作用效果相同，故中柱有彎曲變形并產(chǎn)生彎矩和剪力，取半邊結(jié)構(gòu)時可取原結(jié)構(gòu)對稱軸豎柱抗彎剛度的一半來計算。4.偶數(shù)跨對稱剛架在反對稱荷載作用下以兩跨剛架為例：圖1FP小結(jié)（1）對稱結(jié)構(gòu)受對稱荷載作用時，變形一定對稱，在對稱點處只有對稱內(nèi)力存在，反對稱的內(nèi)力一定為零；（2）對稱結(jié)構(gòu)受反對稱荷載作用時，變形一定反對稱，在對稱點處只有反對稱內(nèi)力存在，對稱的內(nèi)力一定為零；（3）對于對稱結(jié)構(gòu)，若荷載是任意的，則可把荷載變換成：對稱與反對稱兩種情況之和；（4）在對稱結(jié)構(gòu)計算中，對取的半邊結(jié)構(gòu)，可選用任何適宜的方法進行計算（如位移法、力法），其原則就是哪一種未知量個數(shù)少，就優(yōu)先選用誰。小結(jié)（1）對稱結(jié)構(gòu)受對稱荷載作用時，變形一定對稱，在對例1.利用對稱性計算圖示結(jié)構(gòu)，EI為常數(shù)。解：由于有兩根對稱軸，可以取1/4

剛架進行計算。原結(jié)構(gòu)1.未知量：2.桿端彎矩表達式：LqqLACBD基本體系qAEFL/2L/2例1.利用對稱性計算圖示結(jié)構(gòu)，EI為常數(shù)。解：由于有兩……①3.建立位移法方程4.解方程，得：5.回代，得桿端彎矩：6.畫彎矩圖qL224qL224qL224qL224qL212M圖

……①3.建立位移法方程4.解方程，得：5.回代，得桿端彎例2.利用對稱性計算圖示結(jié)構(gòu)。所有桿長均為L，EI也均相同。原結(jié)構(gòu)解：1.由于該結(jié)構(gòu)的反力是靜定的，求出后用反力代替約束。

2.該結(jié)構(gòu)有兩根對稱軸，因此把力變換成對稱與反對稱的。==原結(jié)構(gòu)=對稱+反對稱FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4+例2.利用對稱性計算圖示結(jié)構(gòu)。原結(jié)構(gòu)解：1.由于該結(jié)構(gòu)的

對稱情況，只是三根柱受軸力，由于忽略向變形，不會產(chǎn)生彎矩，因此不用計算。

反對稱情況，梁發(fā)生相對錯動，因此會產(chǎn)生彎矩，但左右兩半是對稱的，可取半剛架計算。由于對稱，中柱彎矩為零，因此可以不予考慮。原結(jié)構(gòu)FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4+FP/2FP/2FP/2FP/2對稱情況，只是三根柱受軸力，反對稱情況，梁發(fā)生反對稱情況的半剛架：

此半剛架還是個對稱結(jié)構(gòu)，荷載是反對稱的，因此還繼續(xù)可取半剛架。

對此進行求解……①

…②1.未知量：2.桿端彎矩：3.建立位移法方程：反對稱=FP/4FP/4FP/4ABCFP/4FQAB反對稱情況的半剛架：此半剛架還是個對稱結(jié)構(gòu)，荷載是反§7.6

其它各種情況的處理一、支座移動時的計算例：圖示結(jié)構(gòu)的A支座發(fā)生了一個轉(zhuǎn)角，用位移法求解。1.未知量：解：