常微分方程數值解1第1頁，課件共151頁，創作于2023年2月2第2頁，課件共151頁，創作于2023年2月9.1

引言考慮一階常微分方程的初值問題（1.1）（1.2）如果存在實數，使得（1.3）則稱關于滿足利普希茨(Lipschitz）條件，稱為的利普希茨常數（簡稱Lips.常數）.3第3頁，課件共151頁，創作于2023年2月

定理1設在區域上連續，關于滿足利普希茨條件，則對任意，常微分方程(1.1),(1.2)式當時存在唯一的連續可微解.關于解對擾動的敏感性，有以下結論.

定理2設在區域（如定理1所定義）上連續，且關于滿足利普希茨條件，設初值問題的解為，則4第4頁，課件共151頁，創作于2023年2月兩者的區別:1.問題5第5頁，課件共151頁，創作于2023年2月6第6頁，課件共151頁，創作于2023年2月7第7頁，課件共151頁，創作于2023年2月左矩形右矩形梯形公式單步法:對初值問題,計算yn+1時只用到前一點的值yn,即yn+1=f(yn)k步法:計算yn+1時需要用到前k點的值yn,,yn-1,…,yn-k+1,即yn+1=f(yn,yn-1,…,yn-k+1)對方程離散化，建立求數值解的遞推公式.描述這類算法，只要給出用已知信息計算的遞推公式.8第8頁，課件共151頁，創作于2023年2月9.2簡單的數值方法

求解一階微分方程初值問題:9第9頁，課件共151頁，創作于2023年2月幾何意義:它是用一條自點(x0,y0)出發的折線段去逼近積分曲線y=y(x)如下圖9-1P28010第10頁，課件共151頁，創作于2023年2月

例1求解初值問題

（2.2）

解歐拉公式的具體形式為

取步長，計算結果見表9-1.

初值問題（2.2）的解為，按這個解析式子算出的準確值同近似值一起列在表9-1中，兩者相比較可以看出歐拉方法的精度很差.11第11頁，課件共151頁，創作于2023年2月還可以通過幾何直觀來考察歐拉方法的精度.假設，即頂點落在積分曲線上，那么，按歐拉方法做出的折線便是過點的切線（圖9-2）.12第12頁，課件共151頁，創作于2023年2月圖9-2從圖形上看，這樣定出的頂點顯著地偏離了原來的積分曲線，可見歐拉方法是相當粗糙的.誤差分析：為了分析計算公式的精度,通?？捎锰├照归_將在處展開，則有13第13頁，課件共151頁，創作于2023年2月在的前提下，稱為此方法的局部截斷誤差.于是可得歐拉法（2.1）的誤差（2.3）（2.1）估算=精確14第14頁，課件共151頁，創作于2023年2月（2.5）稱為后退的歐拉法(隱式歐拉公式).歐拉公式是關于的一個直接的計算公式，這類公式稱作是顯式的；后退歐拉公式的右端含有未知的，它是關于的一個函數方程，這類公式稱作是隱式的.

15第15頁，課件共151頁，創作于2023年2月隱式方程通常用迭代法求解，而迭代過程的實質是逐步顯示化.設用歐拉公式給出迭代初值，用它代入（2.5）式的右端，使之轉化為顯式，直接計算得然后再用代入（2.5）式，又有16第16頁，課件共151頁，創作于2023年2月如此反復進行，得（2.6）由于對滿足利普希茨條件(1.3).由(2.6)減(2.5)得由此可知，只要迭代法(2.6)就收斂到解.17第17頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.2.2

梯形方法（2.7）稱為梯形方法.梯形方法是隱式單步法，可用迭代法求解.18第18頁，課件共151頁，創作于2023年2月為了分析迭代過程的收斂性，將（2.7）與（2.8）式相減，得（2.8）同后退的歐拉方法一樣，仍用歐拉方法提供迭代初值，則梯形法的迭代公式為（2.7）19第19頁，課件共151頁，創作于2023年2月如果選取充分小，使得則當時有，這說明迭代過程(2.8)是收斂的.于是有式中為關于的利普希茨常數.20第20頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.2.3

改進歐拉公式梯形方法雖然提高了精度，但其算法復雜.在應用迭代公式（2.8）進行實際計算時，每迭代一次，都要重新計算函數的值.為了控制計算量，通常只迭代一兩次就轉入下一步的計算，這就簡化了算法.具體地，先用歐拉公式求得一個初步的近似值,而迭代又要反復進行若干次，計算量很大，而且往往難以預測.稱之為預測值，21第21頁，課件共151頁，創作于2023年2月這樣建立的預測-校正系統通常稱為改進的歐拉公式：預測值的精度可能很差，再用梯形公式（2.7）將它校正一次，即按（2.8）式迭代一次得，這個結果稱校正值.預測校正（2.9）也可以表為下列平均化形式（2.7）（2.8）22第22頁，課件共151頁，創作于2023年2月

例2用改進的歐拉方法求解初值問題（2.2）.

解這里改進的歐拉公式為（2.2）23第23頁，課件共151頁，創作于2023年2月仍取，計算結果見表9-2.同例1中歐拉法的計算結果比較，改進歐拉法明顯改善了精度.24第24頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.2.4

單步法的局部截斷誤差與階初值問題(1.1)，(1.2)的單步法可用一般形式表示為（2.10）其中多元函數與有關，當含有時，方法是隱式的，若不含則為顯式方法，（2.11）稱為增量函數，所以顯式單步法可表示為例如對歐拉法（2.1）有它的局部截斷誤差已由(2.3)給出.（1.1）（1.2）（2.1）（2.3）25第25頁，課件共151頁，創作于2023年2月對一般顯式單步法則可如下定義.

定義1設是初值問題(1.1)，(1.2)的準確解，稱（2.12）為顯式單步法（2.11）的局部截斷誤差.之所以稱為局部的，是假設在前各步沒有誤差.當時，計算一步，則有（1.1）（1.2）（2.11）26第26頁，課件共151頁，創作于2023年2月在前一步精確的情況下用公式（2.11）計算產生的公式誤差.根據定義，歐拉法的局部截斷誤差即為（2.3）的結果.這里稱為局部截斷誤差主項.局部截斷誤差可理解為用方法（2.11）計算一步的誤差，即顯然（2.11）（2.3）27第27頁，課件共151頁，創作于2023年2月

定義2設是初值問題(1.1)，(1.2)的準確解，若存在最大整數使顯式單步法(2.11)的局部截斷誤差滿足

（2.13）則稱方法（2.11）具有階精度.若將（2.13）展開式寫成則稱為局部截斷誤差主項.以上定義對隱式單步法（2.10）也是適用的.（1.1）（1.2）（2.11）（2.10）28第28頁，課件共151頁，創作于2023年2月對后退歐拉法（2.5）其局部截斷誤差為這里，是1階方法，局部截斷誤差主項為.（2.5）29第29頁，課件共151頁，創作于2023年2月對梯形法（2.7）有所以梯形方法是二階的，其局部誤差主項為（2.7）30第30頁，課件共151頁，創作于2023年2月9.3

龍格-庫塔方法31第31頁，課件共151頁，創作于2023年2月一、Taylor展開法取等式右邊前p+1項32第32頁，課件共151頁，創作于2023年2月例取h=0.1,用三階Taylor展開法求解33第33頁，課件共151頁，創作于2023年2月從計算高階導數的公式知道,方法的截斷誤差提高一階,需要增加的計算量很大.下面我們用區間上若干點的導數f,而不是高階導數,將它們作線性組合得到平均斜率,將其與解的Taylor展開相比較,使前面若干項吻合，從而得到提高階的方法34第34頁，課件共151頁，創作于2023年2月2龍格-庫塔法(Runge-Kutta法)35第35頁，課件共151頁，創作于2023年2月（2）龍格-庫塔法的一般形式36第36頁，課件共151頁，創作于2023年2月37第37頁，課件共151頁，創作于2023年2月38第38頁，課件共151頁，創作于2023年2月將以上結果代入局部截斷誤差公式則有要使公式（3.6）具有階，必須使（3.6）39第39頁，課件共151頁，創作于2023年2月即非線性方程組（3.9）的解是不唯一的.令，則得這樣得到的公式稱為二階R-K方法，如取，則這就是改進歐拉法（3.1）.（3.9）40第40頁，課件共151頁，創作于2023年2月若取，則得計算公式.

稱為中點公式，相當于數值積分的中矩形公式.

（3.10）也可表示為（3.10）41第41頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.3.3

三階與四階顯式R-K方法要得到三階顯式R-K方法，必須.（3.11）其中及均為待定參數.此時（3.4）,（3.5）的公式表示為公式（3.11）的局部截斷誤差為（3.4）（3.5）42第42頁，課件共151頁，創作于2023年2月只要將按二元函數泰勒展開，使，可得待定參數滿足方程（3.12）43第43頁，課件共151頁，創作于2023年2月這是8個未知數6個方程的方程組，解也不是唯一的.所以這是一簇公式.滿足條件（3.12）的公式（3.11）統稱為三階R-K公式.一個常見的公式為此公式稱為庫塔三階方法.44第44頁，課件共151頁，創作于2023年2月繼續上述過程，經過較復雜的數學演算，可以導出各種四階龍格-庫塔公式，下列經典公式是其中常用的一個：可以證明其截斷誤差為.四階龍格-庫塔方法的每一步需要計算四次函數值，（3.13）45第45頁，課件共151頁，創作于2023年2月

謝謝！46第46頁，課件共151頁，創作于2023年2月47第47頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.3.4

變步長的龍格-庫塔方法單從每一步看，步長越小，截斷誤差就越小，但隨著步長的縮小，在一定求解范圍內所要完成的步數就增加了.步數的增加不但引起計算量的增大，而且可能導致舍入誤差的嚴重積累.因此同積分的數值計算一樣，微分方程的數值解法也有個選擇步長的問題.在選擇步長時，需要考慮兩個問題：1°怎樣衡量和檢驗計算結果的精度？48第48頁，課件共151頁，創作于2023年2月2°如何依據所獲得的精度處理步長？考察經典的四階龍格-庫塔公式（3.13）從節點出發，先以為步長求出一個近似值，49第49頁，課件共151頁，創作于2023年2月（3.14）然后將步長折半，即取為步長從跨兩步到，再求得一個近似值，每跨一步的截斷誤差是，因此有（3.15）比較（3.14）式和（3.15）式我們看到，步長折半后，由于公式的局部截斷誤差為，故有誤差大約減少到，50第50頁，課件共151頁，創作于2023年2月由此易得下列事后估計式這樣，可以通過檢查步長，折半前后兩次計算結果的偏差即有來判定所選的步長是否合適.具體地說，將區分以下兩種情況處理：51第51頁，課件共151頁，創作于2023年2月1.對于給定的精度，如果，反復將步長折半進行計算，直至為止.這時取最終得到的作為結果；2.如果，反復將步長加倍，直到為止，這種通過加倍或折半處理步長的方法稱為變步長方法.這時再將步長折半一次，就得到所要的結果.表面上看，為了選擇步長，每一步的計算量增加了，但總體考慮往往是合算的.52第52頁，課件共151頁，創作于2023年2月9.4

單步法的收斂性與穩定性

9.4.1收斂性與相容性

數值解法的基本思想是通過某種離散化手段將微分方程轉化為差分方程，如單步法(2.11)，即

（4.1）它在處的解為，而初值問題（1.1）,（1.2）在處的精確解為，記稱為整體截斷誤差.（1.1）（1.2）53第53頁，課件共151頁，創作于2023年2月收斂性就是討論當固定且時的問題.

定義3若一種數值方法對于固定的,當時有，其中是(1.1),(1.2)的準確解，則稱該方法是收斂的.

顯然數值方法收斂是指.對單步法（4.1）有下述收斂性定理：（1.1）（1.2）（4.1）54第54頁，課件共151頁，創作于2023年2月

定理3假設單步法（4.1）具有階精度，且增量函數關于滿足利普希茨條件（4.2）又設初值是準確的，即，則其整體截斷誤差

（4.3）

證明設以表示取用公式（4.1）求得的結果，即（4.4）則為局部截斷誤差，（4.1）（4.1）55第55頁，課件共151頁，創作于2023年2月由于所給方法具有階精度，按定義2，存在定數，使又由式（4.4）與（4.1），得利用假設條件（4.2），有從而有（4.2）（4.1）（4.4）56第56頁，課件共151頁，創作于2023年2月即對整體截斷誤差成立下列遞推關系式（4.5）反復遞推，可得（4.6）再注意到當時最終得下列估計式（4.7）57第57頁，課件共151頁，創作于2023年2月由此可以斷定，如果初值是準確的，即，則（4.3）式成立.依據這一定理，判斷單步法（4.1）的收斂性，歸結為驗證增量函數能否滿足利普希茨條件（4.2）.對于歐拉方法，由于其增量函數就是，故當關于滿足利普希茨條件時它是收斂的.再考察改進的歐拉方法，其增量函數給出，這時有（4.3）（4.2）（4.1）58第58頁，課件共151頁，創作于2023年2月假設關于滿足利普希茨條件，記利普希茨常數為,設為定數），上式表明關于的利普希茨常數則由上式推得因此改進的歐拉方法也是收斂的.59第59頁，課件共151頁，創作于2023年2月類似地，也可驗證其他龍格-庫塔方法的收斂性.定理3表明時單步法收斂，并且當是初值問題（1.1），（1.2）的解，（4.1）具有階精度時，有展開式所以的充要條件是，（4.1）（1.1）（1.2）60第60頁，課件共151頁，創作于2023年2月而，于是可給出如下定義：

定義4若單步法（4.1）的增量函數滿足

則稱單步法（4.1）與初值問題（1.1），（1.2）相容.相容性是指數值方法逼近微分方程(1.1)，即微分方程(1.1)離散化得到的數值方法當時可得到61第61頁，課件共151頁，創作于2023年2月

定理4階方法(4.1)與初值問題(1.1)，(1.2)相容的充分必要條件是由定理3可知單步法（4.1）收斂的充分必要條件是(4.1)是相容的.

以上討論表明階方法（4.1）當時與(1.1),(1.2)相容，反之相容方法至少是1階的.

62第62頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.4.2絕對穩定性與絕對穩定域

定義5若一種數值方法在節點值上大小為的擾動，于以后各節點值上產生的偏差均不超過，則稱該方法是穩定的.以歐拉法為例考察計算穩定性.

例4考察初值問題

其準確解是一個按指數曲線衰減得很快的函數，如圖9-3所示.63第63頁，課件共151頁，創作于2023年2月若取，則歐拉公式的具體形式為計算結果列于表9-4的第2列.可以看到，歐拉方法的解（圖9-3中用×號標出）在準確值的上下波動，計算過程明顯地不穩定.圖9-3用歐拉法解方程得64第64頁，課件共151頁，創作于2023年2月再考察后退的歐拉方法，取時計算公式為計算結果列于表9-4的第3列（圖9-3中標以·號），這時計算過程是穩定的.但若取則計算過程穩定.65第65頁，課件共151頁，創作于2023年2月這表明穩定性不但與方法有關，也與步長的大小有關，當然也與方程中的有關.

為了只考察數值方法本身，通常只檢驗將數值方法用于解模型方程的穩定性，（4.8）其中為復數.例如在的鄰域，可展開為模型方程為對一般方程可以通過局部線性化化為這種形式.66第66頁，課件共151頁，創作于2023年2月略去高階項，再做變換即可得到的形式.對于個方程的方程組，也可線性化為，這里為的雅可比矩陣.若有個特征值，則還可能是復數，為保證微分方程本身的穩定性，還應假定.先研究歐拉方法的穩定性.模型方程的歐拉公式為所以，為了使模型方程結果能推廣到方程組，方程中應為復數.67第67頁，課件共151頁，創作于2023年2月（4.9）設在節點值上有一擾動值，它的傳播使節點值產生大小為的擾動值，假設用按歐拉公式得出的計算過程不再有新的誤差，則擾動值滿足可見擾動值滿足原來的差分方程（4.9）.如果差分方程的解是不增長的，即有則它就是穩定的.68第68頁，課件共151頁，創作于2023年2月即圖9-4顯然，為要保證差分方程（4.9）的解不增長，只要選取充分小，（4.10）在的復平面上，這是以為圓心，1為半徑的單位圓內部（圖9-4）.這個圓域稱為歐拉法的絕對穩定域，一般情形可由下面定義.

定義6單步法（4.1）用于解模型方程（4.8），若得到的解，滿足，則稱方法（4.1）是絕對穩定的.（4.9）使（4.1）（4.8）69第69頁，課件共151頁，創作于2023年2月在的平面上，使的變量圍成的區域，稱為絕對穩定域，對歐拉法，給出，絕對穩定區間為.它與實軸的交稱為絕對穩定區間.其絕對穩定域由在例5中，即為絕對穩定區間.當取時例4中取故它是不穩定的，它是穩定的.70第70頁，課件共151頁，創作于2023年2月故絕對穩定域由得到.絕對穩定區間為，即.類似可得三階及四階的R-K方法的分別為用二階R-K方法解模型方程可得到71第71頁，課件共151頁，創作于2023年2月由可得到相應的絕對穩定域.當為實數時則得絕對穩定區間.分別為三階顯式R-K方法：即四階顯式R-K方法：即圖9-5給出了R-K方法到的絕對穩定域.從以上討論可知顯式的R-K方法的絕對穩定域均為有限域，都對步長有限制.如果不在所給的絕對穩定區間內，方法就不穩定.圖9-572第72頁，課件共151頁，創作于2023年2月例5分別取，及用經典的四階R-K方法（3.13）計算.

解本例分別為及.前者在絕對穩定區間內，后者則不在.經典的四階R-K方法為（3.13）73第73頁，課件共151頁，創作于2023年2月以上結果看到，如果步長不滿足絕對穩定條件，誤差增長很快.用四階R-K方法計算其誤差見下表：這里74第74頁，課件共151頁，創作于2023年2月對隱式單步法，可以同樣討論方法的絕對穩定性，例如對后退歐拉法，用它解模型方程可得故由可得絕對穩定域為.它是以為圓心，1為半徑的單位圓外部，故絕對穩定區間為.75第75頁，課件共151頁，創作于2023年2月當時，則，即對任何步長均為穩定的.故對有，故絕對穩定域為的左半平面，對隱式梯形法，解模型方程得76第76頁，課件共151頁，創作于2023年2月絕對穩定區間為，即時梯形法均是穩定的.

定義7如果數值方法的絕對穩定域包含了那么稱此方法是A-穩定的.隱式歐拉法與梯形方法的絕對穩定域均為在具體計算中步長的選擇只需考慮計算精度及迭代收斂性要求而不必考慮穩定性，具有這種特點的方法特別重要.由定義知A-穩定方法對步長沒有限制.77第77頁，課件共151頁，創作于2023年2月9.5

線性多步法在逐步推進的求解過程中，計算之前事實上已經求出了一系列的近似值，如果充分利用前面多步的信息來預測，則可以期望會獲得較高的精度.這就是構造所謂線性多步法的基本思想.本節主要介紹基于泰勒展開的構造方法.構造多步法的主要途徑是基于數值積分方法和基于泰勒展開方法，前者可直接由方程兩端積分后利用插值求積公式得到.78第78頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.5.1

線性多步法的一般公式一般的線性多步法公式可表示為（5.1）其中為的近似，計算時需先給出前面個近似值,再由（5.1）逐次求出.如果計算時，除了使用的值，還用到的值，則稱此方法為線性多步法.為常數.及不全為零，則稱為線性步法.若79第79頁，課件共151頁，創作于2023年2月這時可直接由（5.1）算出；如果，稱（5.1）為顯式步法，如果，則（5.1）稱為隱式步法，求解時與梯形法（2.7）相同，要用迭代法方可算出.（5.1）（2.7）80第80頁，課件共151頁，創作于2023年2月

定義8設是初值問題(1.1)，(1.2)的準確解，線性多步法（5.1）在上的局部截斷誤差為

（5.2）（5.1）中系數及可根據方法的局部截斷誤差及階確定，其定義為：（5.1）（1.1）（1.2）若，則稱方法（5.1）是階的，則稱方法（5.1）與方程（1.1）是相容的.81第81頁，課件共151頁，創作于2023年2月由定義8，對在處做泰勒展開，由于代入（5.2）得（5.3）（5.2）82第82頁，課件共151頁，創作于2023年2月其中（5.4）若在公式（5.1）中選擇系數及，使它滿足由定義可知此時所構造的多步法是階的.（5.1）83第83頁，課件共151頁，創作于2023年2月（5.5）稱右端第一項為局部截斷誤差主項，稱為誤差常數.根據相容性定義，,即，故方法（5.1）與微分方程（1.1）相容的充分必要條件是（5.6）成立.且（5.6）由（5.4）得（5.1）84第84頁，課件共151頁，創作于2023年2月當時，若，則由（5.6）可求得此時公式（5.1）為即為歐拉法.從（5.4）可求得，故方法為1階精度，這和第2節給出的定義及結果是一致的.且局部截斷誤差為（5.6）85第85頁，課件共151頁，創作于2023年2月對,若，方法為隱式公式.為了確定系數，可由解得于是得到公式即為梯形法.由（5.4）可求得,故，所以梯形法是二階方法，其局部截斷誤差主項是.這與第9.2節中的討論也是一致的.86第86頁，課件共151頁，創作于2023年2月對的多步法公式都可利用（5.4）確定系數，并由（5.5）給出局部截斷誤差.（5.5）87第87頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.5.2

阿當姆斯顯式與隱式公式考慮形如（5.7）的步法，稱為阿當姆斯（Adams)方法.為顯式方法，為隱式方法，通常稱為阿當姆斯顯式與隱式公式，也稱Adams-Bashforth公式與Adams-Monlton公式.這類公式可直接由對方程兩端從到積分求得.88第88頁，課件共151頁，創作于2023年2月也可以利用(5.4)由推出，對比與可知此時系數.顯然成立，下面只需確定系數，可令，求得.若，則令來求得.89第89頁，課件共151頁，創作于2023年2月以為例，由，根據若，則由前三個方程解得得到的阿當姆斯顯式公式是（5.8）90第90頁，課件共151頁，創作于2023年2月由（5.4）求得，所以（5.8）是三階方法，局部截斷誤差是若，則可解得于是得的阿當姆斯隱式公式為（5.9）它是四階方法，局部截斷誤差是（5.8）91第91頁，課件共151頁，創作于2023年2月（5.10）類似的方法可求得阿當姆斯顯式方法和隱式方法的公式，表9-5及表9-6分別列出了時的阿當姆斯顯式公式與阿當姆斯隱式公式，其中為步數，為方法的階，為誤差常數.92第92頁，課件共151頁，創作于2023年2月93第93頁，課件共151頁，創作于2023年2月94第94頁，課件共151頁，創作于2023年2月

例6用四階阿當姆斯顯式和隱式方法解初值問題

取步長.

解本題.從四階阿當姆斯隱式公式得到從四階阿當姆斯顯式公式得到95第95頁，課件共151頁，創作于2023年2月由此可直接解出而不用迭代，得到計算結果見表9-8，其中顯式方法中的初值及隱式方法中的均用準確解得到，對一般方程，可用四階R-K方法計算初始近似.(表略，見教材.)96第96頁，課件共151頁，創作于2023年2月從以上例子看到同階的阿當姆斯方法，隱式方法要比顯式方法誤差小.這可以從兩種方法的局部截斷誤差主項的系數大小得到解釋.這里分別為及.97第97頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.5.3

米爾尼方法與辛普森方法考慮另一個的顯式公式其中為待定常數.由（5.4）可知，再令得到可根據使公式的階盡可能高這一條件來確定其數值.98第98頁，課件共151頁，創作于2023年2月解此方程組得于是得到四步顯式公式（5.11）稱為米爾尼(Milne）方法.由于，故方法為4階，其局部截斷誤差為（5.12）米爾尼方法也可以通過方程兩端積分99第99頁，課件共151頁，創作于2023年2月得到.右端積分通過辛普森求積公式就有（5.13）稱為辛普森方法.（5.14）它是隱式二步四階方法，其局部截斷誤差為若將方程從到積分，可得100第100頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.5.4

漢明方法辛普森公式是二步方法中階數最高的，但它的穩定性差，為了改善穩定性，考察另一類三步法公式

其中系數及為常數.若希望導出的公式是四階的，則系數中至少有一個自由參數.若取，則可得到辛普森公式.若取，仍利用泰勒展開，由（5.4），令101第101頁，課件共151頁，創作于2023年2月解此方程組得于是有（5.15）則可得到102第102頁，課件共151頁，創作于2023年2月稱為漢明(Hamming)方法.由于，故方法是四階的，且局部截斷誤差（5.16）103第103頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.5.5

預測-校正方法對于隱式的線性多步法，計算時要進行迭代，計算量較大.為了避免進行迭代，通常采用顯式公式給出的一個初始近似，記為，稱為預測(predictor).接著計算的值(evaluation)，再用隱式公式計算，稱為校正（corrector）.

在（2.13）中用歐拉法做預測，再用梯形法校正，得到改進歐拉法，它就是一個二階預測-校正方法.（2.13）104第104頁，課件共151頁，創作于2023年2月例如用四階的阿當姆斯顯式方法做預測，再用四階阿當姆斯隱式公式做校正，得到以下格式：一般情況下，預測公式與校正公式都取同階的顯式方法與隱式方法相匹配.預測P：求值E：校正C：求值E：此公式稱為阿當姆斯四階預測-校正格式（PECE).105第105頁，課件共151頁，創作于2023年2月依據四階阿當姆斯公式的截斷誤差，對于PECE的預測步P有對校正步C有兩式相減得于是有下列事后誤差估計106第106頁，課件共151頁，創作于2023年2月容易看出比更好.（5.17）但在的表達式中是未知的，因此計算時用上一步代替，從而構造一種修正預測-校正格式(PMECME):107第107頁，課件共151頁，創作于2023年2月P：M：E：C：M：E：在PMECME格式中已將（5.17）的及分別改為及.108第108頁，課件共151頁，創作于2023年2月利用米爾尼公式（5.11）和漢明公式（5.15）相匹配，并利用截斷誤差（5.12），（5.16）改進計算結果，可類似地建立四階修正米爾尼-漢明預測-校正格式PMECME）：P：M：E：C：M：E：（5.15）（5.11）（5.16）（5.12）109第109頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.5.6

構造多步法公式的注記和例構造多步法公式有基于數值積分和泰勒展開兩種途徑，數值積分方法只能用于可轉化為等價的積分方程的微分方程，它是有局限性的.而用泰勒展開則可構造任意多步法公式，其做法是根據多步法公式的形式，直接在處做泰勒展開.確定多步法（5.1）的系數及時不必套用系數公式（5.4），因為多步法公式不一定如（5.1）的形式，而且套用公式容易記錯.（5.1）110第110頁，課件共151頁，創作于2023年2月

例7解初值問題

用顯式二步法其中試確定參數使方法階數盡可能高,并求局部截斷誤差.

解根據局部截斷誤差定義，用泰勒展開確定參數滿足的方程.111第111頁，課件共151頁，創作于2023年2月由于112第112頁，課件共151頁，創作于2023年2月為求參數使方法階數盡量高，可令即得方程組113第113頁，課件共151頁，創作于2023年2月解得，此時公式為三階，即為所求局部截斷誤差.而所得二步法為而且114第114頁，課件共151頁，創作于2023年2月

例8證明存在的一個值，使線性多步法

是四階的.

證明只要證明局部截斷誤差，則方法仍用泰勒展開，由于為四階.115第115頁，課件共151頁，創作于2023年2月116第116頁，課件共151頁，創作于2023年2月當時，，故方法是四階的.117第117頁，課件共151頁，創作于2023年2月9.6線性多步法的收斂性與穩定性

9.6.1相容性及收斂性

線性多步法(5.1)式的相容性：在定義8中給出的局部截斷誤差(5.2)中，若稱步法(5.1)與微分方程(1.1)相容，它等價于對多步法(5.1)可引入多項式（6.1）（6.2）118第118頁，課件共151頁，創作于2023年2月和（6.3）分別稱為線性多步法(5.1)的第一特征多項式和第二特征多項式.可以看出，如果(5.1)式給定，則和也完全確定.反之也成立.119第119頁，課件共151頁，創作于2023年2月

定理5線性多步法(5.1)式與微分方程(1.1)相容的充分必要條件是關于多步法(5.1)的收斂性：由于用多步法求數值解需要個初值，而微分方程(1.1)只給出一個初值，因此還要給出個初值才能用多步法(5.1)進行求解，即（6.4）（6.5）其中由微分方程初值給定，可由相應單步法給出.120第120頁，課件共151頁，創作于2023年2月設由(6.5)式在處得到的數值解為，這里為固定點，，于是有下面定義.

定義9設初值問題(1.1),(1.2)有精確解.如果初始條件滿足條件的線性步法(6.5)在處的解有則稱線性步法是收斂的.

定理6設線性多步法(6.5)是收斂的，則它是相容的.此定理的逆定理是不成立的.121第121頁，課件共151頁，創作于2023年2月

例9用線性二步法解初值問題

解此初值問題精確解，而由(6.6)式知故有，故方法(6.6)是相容的，但方法(6.6)的解并不收斂，在方法(6.6)中取初值

（6.6）（6.7）此時方法(6.6)為二階差分方程122第122頁，課件共151頁，創作于2023年2月其特征方程為解得其根為及.于是可求得(6.8)的解為故方法不收斂.多步法是否收斂與的根有關.（6.8）123第123頁，課件共151頁，創作于2023年2月

定義10如果多步法（5.1）式的第一特征多項式的根都在單位圓內或圓上，且在單位圓上的根為單根，則稱線性多步法（5.1）滿足根條件.

定理7線性多步法是相容的，則線性多步法（6.5）收斂的充分必要條件是線性多步法（5.1）滿足根條件.124第124頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.6.2穩定性與絕對穩定性穩定性主要研究初始條件擾動與差分方程右端項擾動對數值解的影響，假設多步法（6.5）有擾動，則經過擾動后的解為，它滿足方程（6.9）125第125頁，課件共151頁，創作于2023年2月

定義11對初值問題(1.1)，(1.2)，由方法（6.5）得到的差分方程解，由于有擾動，使得方程（6.9）的解為，若存在常數及，使對所有，當時，有則稱多步法（5.1）是穩定的或稱為零穩定的.研究零穩定性就是研究時差分方程（6.5）解的穩定性.它表明當初始擾動或右端擾動不大時，解的誤差也不大.126第126頁，課件共151頁，創作于2023年2月對多步法（5.1），當時對應差分方程的特征方程為.故有

定理8線性多步法（5.1）是穩定的充分必要條件是它滿足根條件.關于絕對穩定性只要將多步法（5.1）用于解模型方程（4.8），得到線性差分方程（6.10）127第127頁，課件共151頁，創作于2023年2月利用線性多步法的第一、第二特征多項式，令此式稱為線性多步法的穩定多項式，它是關于的次多項式.如果它的所有零點滿足，則(6.10)式的解當時，有.（6.11）128第128頁，課件共151頁，創作于2023年2月

定義12對于給定的，如果穩定多項式(6.11)的零點滿足，則稱線性多步法(5.1)關于此值是絕對穩定的.若在的復平面的某個區域中所有值線性多步法(5.1)都是絕對穩定的，而在區域外，方法是不穩定的，則稱為多步法(5.1)的絕對穩定域.與實軸的交集稱為線性多步法(5.1)的絕對穩定區間.為實數時，可以只討論絕對穩定區間.由于線性多步法的絕對穩定域較為復雜，通常采用根軌跡法.129第129頁，課件共151頁，創作于2023年2月阿當姆斯顯式方法和隱式方法的絕對穩定域圖形分別為圖9-6和圖9-7，絕對穩定區間見表9-9.圖9-6圖9-7130第130頁，課件共151頁，創作于2023年2月

例10討論辛普森方法的穩定性

解辛普森方法的第第二特征多項式為的根分別為-1及1，它滿足根條件，故方法是零穩定的.但它的穩定多項式為求絕對穩定域的邊界軌跡.若，則可令，在平面域的邊界軌跡為131第131頁，課件共151頁，創作于2023年2月可看出在虛軸上，且對全部從而可知為虛軸上從到的線段，故辛普森公式的絕對穩定域為空集.即步長，此方法都不是絕對穩定的，故它不能用于求解.132第132頁，課件共151頁，創作于2023年2月9.7

一階方程組與剛性方程

9.7.1一階方程組

前面研究了單個方程的數值解法，只要把和理解為向量，那么，所提供的各種計算公式即可應用到一階方程組的情形.考察一階方程組的初值問題，初始條件給為133第133頁，課件共151頁，創作于2023年2月則上述方程組的初值問題可表示為（7.1）求解這一初值問題的四階龍格-庫塔公式為式中若采用向量的記號，記134第134頁，課件共151頁，創作于2023年2月考察兩個方程的特殊情形：135第135頁，課件共151頁，創作于2023年2月這時四階龍格-庫塔公式具有形式其中（7.2）（7.3）136第136頁，課件共151頁，創作于2023年2月這是一步法，利用節點上的值，由（7.3）式順序計算，然后代入（7.2）式即可求得節點上的.（7.3）137第137頁，課件共151頁，創作于2023年2月

9.7.2

化高階方程為一階方程組高階微分方程（或方程組）的初值問題，原則上總可以歸結為一階方程組來求解.例如，考察下列階微分方程（7.4）初始條件為（7.5）只要引進新的變量