泛函分析大家以前多學過一些數學方面的課程，比如分析方面的數學分析、實（復）變函數等等，都是歸并于經典分析，其思想是：如果某個量難以被直接了解，那就將它放到某個變化過程中去考慮，產生了變量、函數、極限、連續、微分和積分等基本概念。類似的，如果對某個變量（如函數）本身難以被直接了解，那能否轉而研究一族變動的變量（如函數空間），然后通過施以變量一定的運算和極限，獲得有關原變量的知識?泛函分析大家以前多學過一些數學方面的課程，比如分析方面的數學復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件國內泛函分析方向的數學大師南京大學曾遠榮（1903～1994)是我國泛函分析的鼻祖,后轉入計算數學.在西南聯大期間,關,田,江和徐利治,楊振寧都聽過課中科院數學研究所:關肇直(1919.2.13-1982.11.12)田方增(1915-)吉林大學江澤堅（1921—2005）復旦大學夏道行(1930-)山大畢業,嚴紹宗復旦畢業國內泛函分析方向的數學大師南京大學曾遠榮（1903～199泛函分析泛函分析是研究拓撲線性空間到拓撲線性空間之間滿足各種拓撲和代數條件的映射的數學分支，用的統一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化，運用代數學、幾何學等學科的觀點和方法研究分析學的課題，可以看作無限維的分析學。今天，它的觀點和方法已經滲入到不少工程技術的學科中，起著重要的作用，已成為近代分析的基礎之一。泛函分析的最基本的內容：三個空間，四個定理泛函分析泛函分析是研究拓撲線性空間到拓撲線性空間之間滿足各種復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件選擇公理與Zorn引理泛函分析的研究必須首先承認一些事情選擇公理：設C為一個由非空集合所組成的集合,那么，我們可以從每一個在C中的集合中，都選擇一個元素和其所在的集合配成有序對來組成一個新的集合。Zorn引理：設（P,>）是偏序集，若P的每一個全序子集在P中都有上界，則P必有極大元良序原理：所有集合能被良序化。換句話說，對每一個集合來說，都存在一種排序方法，使得它的所有子集都有極小元素Zorn引理是集論的一個重要工具，與選擇公理，良序原理都是彼此等價的,主要應用于數學上存在性定理的證明，而不具體描述尋求的方法。

選擇公理與Zorn引理泛函分析的研究必須首先承認一些事情基本空間和基本定理距離空間（度量空間）線性賦范空間、Banach空間內積空間、Hilbert空間基本空間和基本定理距離空間（度量空間）復變函數泛函分析PPT課件例子以出租車距離定義的平面距離空間;序列空間函數空間C[a,b];離散距離空間;R上函數|x-y|^2；|x-y|^1/2是距離嗎？Hamming距離：X為所有0和1構成的三元序組所構成的集合（總數為8）,元素x，y的距離是x，y中不同的對應分量的個數。在開關和自動化理論以及編碼理論中都有重要的應用。例子以出租車距離定義的平面距離空間;復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件注：Cauchy序列一定是有界序列，如果有收斂的子列，那么Cauchy序列必是收斂的注：Cauchy序列一定是有界序列，如果有收斂的子列，那么例子實直線、復平面都是可分的完備的距離空間離散距離空間X是可分的當且僅當X是可數集L^p[a,b]（p>1）在上面定義的距離意義下都是完備的、可分的不可分距離空間，例如有界序列空間

（利用[0，1]中點是不可數多個）C[a,b]按L^1距離就不是完備的,它的完備化空間是L^1（存在連續函數序列，L^1收斂到不連續的可積函數）有理數點構成的距離空間也不完備例子實直線、復平面都是可分的完備的距離空間復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件例：線性代數Ax=b均可寫成x=Cx+D，如果矩陣C滿足條件|C|<1,則該方程有唯一解，且可以由迭代求得練習：利用壓縮映像原理證明方程x=asinx只有唯一解x=0，其中0<a<1。隱函數定理：設函數f(x,y)在帶狀區域D中處處連續，且處處有關于y的偏導數。如果存在常數m<M,滿足則方程f(x,y)=0在區間[a,b]上必有唯一的連續函數y=g(x)作為解。其中例：線性代數Ax=b均可寫成x=Cx+D，如果矩陣C滿足條件動態控制系統狀態軌線的存在性和唯一性控制論中，確定性動態控制系統可以用如下常微分方程來描述x(t)表示時間段T上系統的狀態軌線（函數），是n維的向量函數，u(t)是控制輸入函數，都視為距離空間中的點。上式等價于如下形式的積分方程：動態控制系統狀態軌線的存在性和唯一性控制論中，確定性動態控制定理：對由上式所描述的系統，假設T是有界區間，是連續的，即注：只要常微分方程滿足定理條件，就可以利用數值積分和迭代算法來求方程的近似解（Picard逐次逼近法）定理：對由上式所描述的系統，假設T是有界區間，定理3（Picard）設是矩形

上的二元連續函數，設，又在D上關于x滿足Lipschitz條件，即存在常數K，使對任意的，有，那么方程在區間上有唯一的滿足初值條件的連續函數解，其中

壓縮映射原理不僅證明了方程解的存在性和唯一性，而且也提供了求解的方法——逐次逼近法，即只要任取，令，則解。如果在（3）中，令，則有（4）（4）式給出了用逼近解x的誤差估計式。

定理3（Picard）設是矩形復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件內積的性質：內積的性質：復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件有界線性算子空間有界線性算子空間復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件復變函數泛函分析PPT課件開映射定理定義：設X,Y是賦范線性空間，T是X到Y的映射，將X中的開集A映為Y中開集T(A)，則稱映射T是開的開映射定理定義：設X,Y是賦范線性空間，T是X到Y的映射，將線性算子的連續性賦范線性空間上的有界線性算子T的逆映射是否連續？與函數情形是不同的例：同胚映射T是雙射時，T是開映射當且僅當其逆映射是連續的例：求積分、微分是互逆的過程，積分算子的有界性并保證不了微分算子是無界的線性算子。線性算子的連續性賦范線性空間上的有界線性算子T的逆映射是否連逆算子定理逆算子定理閉圖像定理閉圖像定理共鳴定理及其應用共鳴定理及其應用復變函數泛函分析PPT課件共鳴定理（一致有界原理）共鳴定理（一致有界原理）共鳴定理的應用1.機械求積公式的收斂性2.Lagrange插值公式的發散性定理：差值多項式作為連續函數的近似表達時，插值點的無限增多不能更好的逼近插值函數。3.Fourier級數的發散性問題：存在連續的周期函數，其Fourier級數在給定點發散。共鳴定理的應用1.機械求積公式的收斂性復變函數泛函分析PPT課件Fourier級數的發散性問題法國科學家J.-B.-J.傅里葉由于當時工業上處理金屬的需要，從事熱流動的研究。他在題為《熱的解析理論》一文中，發展了熱流動方程，并指出了任意周期函數都可以用三角基來表示的想法。他的這種思想，雖然缺乏嚴格的論證，但對近代數學以及物理、工程技術卻都產生了深遠的影響，成為傅里葉分析的起源。

在積分變換中，F-變換是大家熟悉的，為讓符號Σ與積分的交換，應當對F-級數(1)的收斂性加以必要的限制,如一致收斂性。因為可能存在不一致收斂的三角級數，而它確實表示一個函數。大量的事實讓人們誤以為：“?的傅里葉級數一定能收斂于?自身”Fourier級數的發散性問題法國科學家J.-B.-J.傅里復變函數泛函分析PPT課件總結總結人有了知識，就會具