第五章解線性方程組的迭代法第五章1實際問題經過簡單的分析可以直接歸結為線性方程組，或者微分方程，后者可以轉換為線性方程組。兩種方法：直接法：中小型稠密矩陣迭代法：大型稀疏矩陣實際問題經過簡單的分析可以直接歸結為線性方程組，或者25.1Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法設線性方程組簡記AX=b5.1Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法設3其中其中4將方程組AX=b，改寫成便于迭代的形式建立迭代格式向量X(0)事先給定，稱為初始解向量，用公式逐步迭代求解的方法叫做迭代法.如果由產生的序列收斂，則稱迭代法是收斂的，否則稱為迭代法發散.將方程組AX=b，改寫成便于迭代的形式5若將方程組改寫為若61．Jacobi迭代法建立迭代格式其中1．Jacobi迭代法7Jacobi迭代法的矩陣表示將方程組AX=b的系數A分解成A=L+D+U其中D=diag(a11,a22,,ann)，L和U分別是A的對角線下方元素和上方元素組成的嚴格下三角陣與嚴格上三角陣.即Jacobi迭代法的矩陣表示將方程組AX=b的系數A分解成8第五章方程組的迭代法課件9迭代格式為：迭代格式為：10對應的分量表示形式為：另外一種矩陣形式是：對應的分量表示形式為：另外一種矩陣形式是：11的Jacobi迭代格式（三種）寫出方程組寫出方程組12第五章方程組的迭代法課件13Matlab計算過程如下：Matlab計算過程如下：14>>A=[1-22;-130;207]A=1-22-130207>>U=triu(A,1)U=0-22000000>>L=tril(A,-1)L=000-100200>>D=diag(diag(A))D=100030007>>A=[1-22;-130;207]>>U15>>-inv(D)*(L+U)ans=02.000000000000000-2.0000000000000000.33333333333333300-0.28571428571428600>>b=[5;-1;2];inv(D)*bans=5.000000000000000-0.3333333333333330.285714285714286>>-inv(D)*(L+U)>>b=[5;-1;2];16>>I=eye(3)I=100010001>>I-inv(D)*Aans=02.000000000000000-2.0000000000000000.33333333333333300-0.28571428571428600>>I=eye(3)17分量形式為:分量形式為:18Gauss-Seidel迭代法方程組改寫為：即得迭代格式：Gauss-Seidel迭代法方程組改寫為：即得迭代格式：19Gauss-Seidel迭代法迭代格式的分量形式：其中

Gauss-Seidel迭代法迭代格式的分量形式：20的Gauss-Seidel迭代格式（兩種）寫出方程組寫出方程組21例

分別用Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法求解方程組精確到小數點后四位，并要求分別寫出其迭代法的分量形式和矩陣形式.例分別用Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代22解（1）用Jacobi迭代法，其迭代法的分量形式為解（1）用Jacobi迭代法，其迭代法的分量形式為23迭代法的矩陣形式為其中迭代法的矩陣形式為24

25取初值X(0)=(0,0,0)′，迭代可得取初值X(0)=(0,0,0)′，迭代可得26迭代7次，得近似值.（2）用Gauss-Seidel迭代法，其迭代法的分量形式為迭代7次，得近似值.27其迭代法的矩陣形式為其中其迭代法的矩陣形式為28

29

30即取初值X(0)=(0,0,0)′，迭代可得即31迭代5次，得近似值第五章方程組的迭代法課件32Question:如何判斷迭代出來的值和真實根很接近？Question:33向量和矩陣的模（范數）

為了研究線性方程組近似解的誤差估計和迭代法的收斂性，我們需要對Rn(n維向量空間)中的向量或Rnxn中矩陣的“大小”引入一種度量，——向量和矩陣的范數。向量和矩陣的模（范數） 為了研究線性方程組近似解的誤差估計34向量和矩陣的范數

在一維數軸上，實軸上任意一點x到原點的距離用|x|表示。而任意兩點x1，x2之間距離用|x1-x2|表示。向量和矩陣的范數 在一維數軸上，實軸上任意一點x到原點的距離35向量和矩陣的范數

而在二維平面上，平面上任意一點P(x,y)到原點的距離用表示。而平面上任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離用表示。推廣到n維空間，則稱為向量范數。向量和矩陣的范數 而在二維平面上，平面上任意一點P(x,y)36向量范數

向量范數 37常見的向量范數

常見的向量范數 38Question:如何判斷迭代出的向量是真實解的精度較高的近似值？Question:39第五章方程組的迭代法課件40向量范數性質向量范數性質41第五章方程組的迭代法課件42例已知例已知43矩陣范數矩陣范數44相容范數相容范數45算子范數（了解）算子范數（了解）46算子范數（了解）算子范數（了解）47算子范數（了解）算子范數（了解）48算子范數（了解）算子范數（了解）49常見的矩陣范數列范數行范數譜范數常見的矩陣范數列范數行范數譜范數50例題例題51Matlab計算過程如下：2范數：>>norm(A)1范數：>>norm(A,1)無窮范數：>>norm(A,inf)Matlab計算過程如下：52矩陣的譜半徑矩陣的譜半徑53例題求特征值命令eig(A)例題求特征值命令54第五章方程組的迭代法課件55第五章方程組的迭代法課件56例解：A的特征值為：》lm=eig(A)lm=1.500000000000000+1.658312395177701i1.500000000000000-1.658312395177701i1.000000000000000例解：A的特征值為：57》norm(lm,inf)ans=2.236067977499790》norm(lm,inf)ans=58》lm1=eig(A*A')lm1=0.9360750171710592.9211249380724389.142800044756498》sqrt(9.142800044756498)ans=3.023706342348162》lm1=eig(A*A')lm1=》sqrt(9.159迭代法的收斂性定理（迭代法的基本收斂定理）迭代過程

X(k+1)

=BX(k)

+g對于任意初始向量X(0)及右端向量g均收斂的充要條件是迭代矩陣B的譜半徑(B)<1,并且(B)愈小，收斂速度愈快.

迭代法的收斂性定理（迭代法的基本收斂定理）60第五章方程組的迭代法課件61B表示B的任意一種范數定理（迭代法收斂的充分條件）若迭代法

X(k+1)

=BX(k)

+g的迭代矩陣B滿足，B=q<1,則對于任意的初始向量X(0)與右端向量g迭代法收斂.B表示B的任意一種范數定理（迭代法收斂的充分條件）62第五章方程組的迭代法課件63Question:Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法如何判斷收斂性？Question:64第五章方程組的迭代法課件65收斂的判別條件收斂的判別條件66要清楚掌握如下概念：對角占優矩陣，強對角占優矩陣可約矩陣，不可約矩陣正定矩陣要清楚掌握如下概念：67第五章方程組的迭代法課件68第五章方程組的迭代法課件69定理

若線性代數方程組AX=b的系數方陣A=(aij)nn是按行(或按列)嚴格對角占優的，則Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都是收斂的.定理70

對方程組通過調整方程的次序，建立收斂的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式.解

將第二個方程調到第一行、第三個方程調到第二行、第一個方程調到第三行后有同解方程組對方程組71這是按行嚴格對角占優方程組，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法都一定收斂.Jacobi迭代格式為

第五章方程組的迭代法課件72Gauss-Seidel迭代格式為

第五章方程組的迭代法課件73第五章方程組的迭代法課件74定理系數矩陣是不可約矩陣且是對角占優矩陣，Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代都收斂。第五章方程組的迭代法課件75第五章方程組的迭代法課件76定理若線性方程組的系數矩陣是對稱正定矩陣，則用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都是收斂的。怎么判斷矩陣是對稱正定矩陣，直接從定義判斷不方便，我們有如下幾個結論：定理77對稱性很容易判定。下面是如何判斷正定性。矩陣的任意特征值都大于零，則是正定矩陣；矩陣的所有順序主子式都大于零，則是正定矩陣；對角元素為正實數and（強對角占優矩陣or不可約對角占優矩陣），是正定矩陣。對稱性