2022年湖南省郴州市資興市東江實驗中學高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.給出下列命題：①在區間上，函數,,,中有三個是增函數；②若，則；③若函數是奇函數，則的圖象關于點對稱；④若函數，則方程有個實數根，其中正確命題的個數為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略2.記全集，集合，集合，則圖中陰影部分所表示的集合是（

）A．{7,8}

B．{2}

C．{4,6,7,8}

D．{1,2,3,4,5,6}參考答案：A由題意，圖中陰影部分所表示的區域為，由于，，故，選A．3.已知x，y為正實數，則(

)A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx?2lgyC．2lgx?lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx?2lgy參考答案：D【考點】有理數指數冪的化簡求值；對數的運算性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】直接利用指數與對數的運算性質，判斷選項即可．【解答】解：因為as+t=as?at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y為正實數），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx?2lgy，滿足上述兩個公式，故選D．【點評】本題考查指數與對數的運算性質，基本知識的考查．4.若點（sin，cos）在角α的終邊上，則sinα的值為（）A．

B．

C．

D． 參考答案：A【考點】任意角的三角函數的定義．【專題】計算題；方程思想；演繹法；三角函數的求值．【分析】由任意角的三角函數定義知先求得該點到原點的距離，再由定義求得．【解答】解：由題意，x=sin=，y=cos=﹣，r=1，∴sinα==﹣．故選：A．【點評】本題主要考查任意角的三角函數的定義，比較基礎．5.若，則

（

）A．

B．

C． D．參考答案：A6.已知函數f（x）=x在[0，1）上的最大值為m，在（1，2]上的最小值為n，則m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：D【考點】函數的最值及其幾何意義．【分析】通過變形可知f（x）=1++sinπx，進而可知當x∈[0，1）時，函數g（x）=+sinπx滿足g（2﹣x）=﹣g（x），由此可知在區間[0，1）∪（1，2]上，函數f（x）關于點（1，1）中心對稱，利用對稱性即得結論．【解答】解：f（x）=x=1++sinπx，記g（x）=+sinπx，則當x∈[0，1）時，g（2﹣x）=+sinπ（2﹣x）=﹣sinπx，即在區間[0，1）∪（1，2]上，函數f（x）關于點（1，1）中心對稱，∴m+n=2，故選：D．7.過點M(2，0)作圓的兩條切線MA，MB（A，B為切點），則A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.若滿足則下列不等式恒成立的是（A）（B）（C）（D）參考答案：D9.在等差數列中，如果，那么數列的前9項的和是A．54

B．81

C.

D.參考答案：C在等差數列中，，又，所以，數列的前9項的和10.已知為虛數單位，復數在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限參考答案：D試題分析：因,故對應的點在第四象限,應選D.考點：復數的概念和運算.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數，點O為坐標原點，點，向量=（0，1），θn是向量與的夾角，則使得恒成立的實

數t的取值范圍為．參考答案：t≥【考點】平面向量數量積的運算．【分析】根據題意得，﹣θn是直線OAn的傾斜角，化簡=…==（﹣）；計算+++…+＜，從而求出t的取值范圍．【解答】解：根據題意得，﹣θn是直線OAn的傾斜角，∴==tan（﹣θn）===（﹣）；∴+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣＜；要使恒成立，則實數t的取值范圍是t≥．故答案為：t≥．12.圓柱的側面展開圖是邊長分別為2a，a的矩形，則圓柱的體積為．參考答案：或【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】空間位置關系與距離．【分析】有兩種形式的圓柱的展開圖，分別求出底面半徑和高，分別求出體積．【解答】解：圓柱的側面展開圖是邊長為2a與a的矩形，當母線為a時，圓柱的底面半徑是，此時圓柱體積是π×（）2×a=；當母線為2a時，圓柱的底面半徑是，此時圓柱的體積是π×（）2×2a=，綜上所求圓柱的體積是：或．故答案為：或；【點評】本題考查圓柱的側面展開圖，圓柱的體積，容易疏忽一種情況，導致錯誤．13.函數在上的最小值為，則實數的取值范圍為

．參考答案：14.若正實數滿足，則的最小值是__

.參考答案：5略15.已知三棱錐A﹣BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2，則三棱錐A﹣BCD的外接球體積為

．參考答案：4【考點】球內接多面體．【分析】取AD的中點O，連結OB、OC．由線面垂直的判定與性質，證出AB⊥BD且AC⊥CD，得到△ABD與△ACD是具有公共斜邊的直角三角形，從而得出OA=OB=OC=OD=AD，所以A、B、C、D四點在以O為球心的球面上，再根據題中的數據利用勾股定理算出AD長，即可得到三棱錐A﹣BCD外接球的半徑大小．【解答】解：取AD的中點O，連結OB、OC∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，又∵BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，∴CD⊥AC，∵OC是Rt△ADC的斜邊上的中線，OC=AD．同理可得：Rt△ABD中，OB=AD，∴OA=OB=OC=OD=AD，可得A、B、C、D四點在以O為球心的球面上．Rt△ABD中，AB=2且BD=2，可得AD==2，由此可得球O的半徑R=AD=，∴三棱錐A﹣BCD的外接球體積為=4π．故答案為：4π．16.在中，角所對的邊分別為，且滿足：

，則的面積為

.參考答案：

由及正弦定理得即,即得即A=.由正弦定理及，得故17.復數的虛部為______．參考答案：試題分析：，所以虛部為.考點：復數的代數運算.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某班50位學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區間是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。（1）求圖中的值；（2）從成績不低于分的學生中隨機選取人，該人中成績在分以上（含分）的人數記為，求的數學期望。參考答案：（1）

（2）成績不低于分的學生有人，其中成績在分以上（含分）的人數為

隨機變量可取

答：（1）

（2）的數學期望為19.已知直三棱柱的底面中,,,,是的中點，D是AC的中點，是的中點,(1)證明：平面；

（2）試證：參考答案：證明：(1)連,為中點，為中點，,又平面,平面,平面(2)直三棱柱平面

平面,又,平面平面,平面

在與中，∽平面平面，平面略20.近年來，隨著汽車消費的普及，二手車流通行業得到迅猛發展.某汽車交易市場對2017年成交的二手車的交易前的使用時間（以下簡稱“使用時間”）進行統計，得到如圖1所示的頻率分布直方圖，在圖1對使用時間的分組中，將使用時間落入各組的頻率視為概率.（1）若在該交易市場隨機選取3輛2017年成交的二手車，求恰有2輛使用年限在(8,16]的概率；（2）根據該汽車交易市場往年的數據，得到圖2所示的散點圖，其中x(單位：年)表示二手車的使用時間，y（單位：萬元)表示相應的二手車的平均交易價格.①由散點圖判斷，可采用作為該交易市場二手車平均交易價格y關于其使用年限x的回歸方程，相關數據如下表(表中)：試選用表中數據，求出y關于x的回歸方程；②該汽車交易市場擬定兩個收取傭金的方案供選擇.甲：對每輛二手車統—收取成交價格的5%的傭金；乙：對使用8年以內(含8年)的二手車收取成交價格的4%的傭金，對使用時間8年以上（不含8年)的二手車收取成交價格的10%的傭金.假設采用何種收取傭金的方案不影響該交易市場的成交量，根據回歸方程和圖表1，并用,各時間組的區間中點值代表該組的各個值.判斷該汽車交易市場應選擇哪個方案能獲得更多傭金.附注：于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，；②參考數據：，.參考答案：解：（1）由頻率分布直方圖知，該汽車交易市場2017年成交的二手車使用時間在的頻率為，使用時間在的頻率為．所以在該汽車交易市場2017年成交的二手車隨機選取1輛，其使用時間在的概率為，所以所求的概率為．（2）①由得，則關于的線性回歸方程為.由于則關于的線性回歸方程為，

所以關于的回歸方程為 ②根據頻率分布直方圖和①中的回歸方程，對成交的二手汽車可預測：使用時間在的頻率為，對應的成交價格的預測值為；使用時間在的頻率為，對應的成交價格預測值為；使用時間在的頻率為，對應的成交價格的預測值為；使用時間在的頻率為，對應的成交價格的預測值為；使用時間在的頻率為，對應的成交價格的預測值為．若采用甲方案，預計該汽車交易市場對于成交的每輛車可獲得的平均傭金為＝萬元；若采用乙方案，預計該汽車交易市場對于成交的每輛車可獲得的平均傭金為萬元．

因為，所以采用甲方案能獲得更多傭金．

21.已知函數.（1）解不等式；（2）已知，若關于x的不等式恒成立，求實數a的取值范圍.參考答案：（1）不等式等價于，即分三種情況討論：或或，解得