工程力學第九章剛度設計新1第1頁，課件共67頁，創作于2023年2月細長桿受拉會變長變細，受壓會變短變粗dLPPd-DdL+DL長短的變化，沿軸線方向，稱為軸向變形粗細的變化，與軸線垂直，稱為橫向變形一拉壓桿的軸向變形與胡克定律實驗表明，在比例極限范圍內，正應力與正應變成正比，即引入比例系數E，則胡克定律比例系數E稱為彈性模量9-1桿件的拉壓變形2第2頁，課件共67頁，創作于2023年2月PPPP桿的軸向變形桿的軸向正應變橫截面上的正應力為代入胡克定律得在比例極限范圍內，拉壓桿的軸向變形與軸力P及桿長成正比，與乘積EA成反比。EA稱為抗拉剛度軸向變形與軸力具有相同的正負號，即伸長為正，縮短為負3第3頁，課件共67頁，創作于2023年2月二拉壓桿的橫向變形與泊松比PPPP同理，令為橫向線應變實驗表明，對于同一種材料，存在如下關系：4第4頁，課件共67頁，創作于2023年2月稱為泊松比，是一個材料常數負號表示縱向與橫向變形的方向相反最重要的兩個材料彈性常數，可查表5第5頁，課件共67頁，創作于2023年2月9-2圓軸扭轉變形與剛度條件一、圓軸扭轉變形6第6頁，課件共67頁，創作于2023年2月比較拉壓變形：公式適用條件：1）當p（剪切比例極限）公式才成立2）僅適用于圓桿（平面假設對圓桿才成立）4）對于小錐度圓桿可作近似計算3）扭矩、面積沿桿軸不變（T、Ip為常量）7第7頁，課件共67頁，創作于2023年2月扭轉角與扭矩T，軸長l成正比,與GIP成反比。乘積GIP稱為圓軸截面的扭轉剛度，或簡稱為扭轉剛度二、圓軸扭轉剛度條件8第8頁，課件共67頁，創作于2023年2月扭轉剛度條件已知T、D和[φ/]，校核剛度已知T和[φ/]，設計截面已知D和[φ/]，確定許可載荷9第9頁，課件共67頁，創作于2023年2月例：空心圓軸，外徑Ｄ＝１００ｍｍ，內徑ｄ＝８０ｍｍ，AB=l＝５００mm，m１＝６ｋＮＭ，m２＝４ｋＮＭ，Ｇ＝８０ＧＰａ，求C截面對A、B截面的相對扭轉角。ACB122解：一、繪扭矩圖：TX4(kNm)2二、計算IP：10第10頁，課件共67頁，創作于2023年2月三、計算相對扭轉角11第11頁，課件共67頁，創作于2023年2月“+”號表示面向C截面觀察時，該截面相對于A（或B）截面逆時針轉動。12第12頁，課件共67頁，創作于2023年2月1.撓曲線9-3梁的彎曲變形撓曲線直梁彎曲后軸線變為曲線，此即撓曲線；它是一條在彎曲平面內的連續光滑的曲線。撓曲線用撓曲線方程v=f(x)表示。13第13頁，課件共67頁，創作于2023年2月2.橫截面的兩個位移(1).撓度(線位移)用v表示它是橫截面形心在y的方向的位移；撓度是代數值，在y軸上方為正，在y軸下方為負。(2).轉角(角位移)用q表示它是橫截面相對其變形前位置轉動的角度；轉角是代數值，從x軸起逆時針為正，順時針為負。14第14頁，課件共67頁，創作于2023年2月撓曲線方程：轉角方程：15第15頁，課件共67頁，創作于2023年2月3、梁的撓曲線近似微分方程式曲線的曲率為16第16頁，課件共67頁，創作于2023年2月梁純彎曲時中性層的曲率：17第17頁，課件共67頁，創作于2023年2月18第18頁，課件共67頁，創作于2023年2月梁的撓曲線近似微分方程:19第19頁，課件共67頁，創作于2023年2月4、用積分法求梁的變形式中積分常數C、D由邊界條件和連續條件確定20第20頁，課件共67頁，創作于2023年2月光滑連續條件：PC21第21頁，課件共67頁，創作于2023年2月例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在均布載荷q作用下的轉角方程、撓曲線方程，并確定θmax和vmax。22第22頁，課件共67頁，創作于2023年2月解：由邊界條件：得：23第23頁，課件共67頁，創作于2023年2月梁的轉角方程和撓曲線方程分別為：最大轉角和最大撓度分別為：θAθB24第24頁，課件共67頁，創作于2023年2月例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉角方程、撓曲線方程，并確定θmax和vmax。25第25頁，課件共67頁，創作于2023年2月解：由邊界條件：得：26第26頁，課件共67頁，創作于2023年2月梁的轉角方程和撓曲線方程分別為：最大轉角和最大撓度分別為：θB27第27頁，課件共67頁，創作于2023年2月5用疊加法計算梁的變形及剛度條件

一、用疊加法計算梁的變形在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它所引起的變形成線性關系。當梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所引起的變形是各自獨立的，互不影響。若計算幾個載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計算各個載荷單獨作用下的變形，然后疊加。當每一項荷載所引起的撓度為同一方向（如均沿y軸方向),其轉角是在同一平面內(如均在xy平面內)時,則疊加就是代數和。28第28頁，課件共67頁，創作于2023年2月29第29頁，課件共67頁，創作于2023年2月30第30頁，課件共67頁，創作于2023年2月例：用疊加法求31第31頁，課件共67頁，創作于2023年2月解：將梁上的各載荷分別引起的位移疊加32第32頁，課件共67頁，創作于2023年2月例：欲使AD梁C點撓度為零，求P與q的關系。33第33頁，課件共67頁，創作于2023年2月解：34第34頁，課件共67頁，創作于2023年2月例：求圖示梁C、D兩點的撓度vC、vD。35第35頁，課件共67頁，創作于2023年2月解：36第36頁，課件共67頁，創作于2023年2月例：用疊加法求圖示梁跨中的撓度vC和B點的轉角θB（ｋ為彈簧系數）。37第37頁，課件共67頁，創作于2023年2月解：彈簧縮短量38第38頁，課件共67頁，創作于2023年2月例：梁AB，橫截面為邊長為a的正方形，彈性模量為E1；桿BC，橫截面為直徑為d的圓形，彈性模量為E2。試求BC桿的伸長及AB梁中點的撓度。39第39頁，課件共67頁，創作于2023年2月例：圖示梁Ｂ處為彈性支座，彈簧剛度 。求C端撓度vC。40第40頁，課件共67頁，創作于2023年2月解：(1)梁不變形，僅彈簧變形引起的C點撓度為(2)彈簧不變形，僅梁變形引起的C點撓度為(3)C點總撓度為41第41頁，課件共67頁，創作于2023年2月例：用疊加法求圖示梁B端的撓度和轉角。42第42頁，課件共67頁，創作于2023年2月解：43第43頁，課件共67頁，創作于2023年2月6、梁的剛度計算剛度條件：[v]、[θ]是構件的許可撓度和轉角，它們決定于構件正常工作時的要求。44第44頁，課件共67頁，創作于2023年2月例：圖示工字鋼梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[v

]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。試根據梁的剛度條件，確定梁的許可載荷[P]，并校核強度。45第45頁，課件共67頁，創作于2023年2月解：由剛度條件46第46頁，課件共67頁，創作于2023年2月9-4簡單超靜定問題一靜定與靜不定能用靜力學平衡方程求解的問題，稱為靜定問題。未知力多于平衡方程，用靜力學平衡方程不能求解的問題,稱為靜不定問題（或超靜定問題）靜不定問題未知力的數目，多于有效平衡方程的數目，二者之差稱為超靜定次數47第47頁，課件共67頁，創作于2023年2月二靜不定問題分析為了求解靜不定問題，除了利用平衡方程外，還須研究變形，并借助于變形與內力的關系，建立補充方程（即變形協調條件或變形協調方程）；保證結構連續性所應滿足的變形幾何方程，稱為變形協調條件或變形協調方程。求靜不定問題應考慮三個方面關系：（1）靜力學平衡關系（2）變形幾何關系（3）變形與力之間的物理關系48第48頁，課件共67頁，創作于2023年2月yxFPFN1FN3FN2FPE2A2l2E3A3l3=E2A2l2E1A1l1ABCD49第49頁，課件共67頁，創作于2023年2月FPyxFN1FN3FN2平衡方程超靜定次數：3-2=150第50頁，課件共67頁，創作于2023年2月FPl1l3l2E2A2l2E3A3l3=E2A2l2E1A1l1ABCDA′變形協調方程：

各桿變形的幾何關系平衡方程:51第51頁，課件共67頁，創作于2023年2月變形協調方程：

物性關系結果：由平衡方程、變形協調方程、物性關系聯立解出52第52頁，課件共67頁，創作于2023年2月例一桿AB,在C處受軸向外力P,已知面積A,

彈性模量E,求A、B兩端的支座反力。

9-4.1拉壓超靜定53第53頁，課件共67頁，創作于2023年2月解:（1）列靜力學方程解除約束，設約束反力為RA.RB.列方程：（2）列變形幾何條件設桿受力P作用后,C點移至C，在原有約束條件下，桿AB的長度不變，故此時AC段的伸長△lAC與CB段的縮短△lCB應該相等。由此變形幾何條件：（b）（3）

列物理條件由虎克定律：（c）（4）建立補充方程，解出約束反力將式（c）代如式（b），得補充方程即聯立方程得：C′54第54頁，課件共67頁，創作于2023年2月求靜不定問題應考慮：（1）滿足靜力學平衡關系（2）滿足變形協調條件（3）符合變形與力之間的物理關系（如在線彈性范圍內，即滿足胡克定律）即綜合考慮靜力學，幾何與物理三方面。三靜不定問題的特點（即靜不定問題區別于靜定問題的特征）（1）桿的軸力不僅與外載荷有關，而且與桿的拉壓剛度有關（成正向變化）；（2）各桿（或各桿段）的變形須滿足變形協調條件。由于溫度變化或桿長存在制造誤差，在結構未受力時就已存在的應力，分別稱為熱（溫度）應力與預應力。下面看一個由溫度變化引起熱應力的例子55第55頁，課件共67頁，創作于2023年2月例桿AB長為l,面積為A,材料的彈性模量E和線膨脹系數,求溫度升高T后桿溫度應力。（1）列平衡方程

解除約束，設約束反力為RA.RB.列方程：解：（2）列變形幾何條件因溫度引起的伸長因軸向壓力引起的縮短（3）

列物理條件（4）

建立補充方程56第56頁，課件共67頁，創作于2023年2月9-4.2彎曲超靜定一、靜不定梁的基本概念57第57頁，課件共67頁，創作于2023年2月用多余反力代替多余約束，就得到一個形式上的靜定梁，該梁稱為原靜不定梁的相當系統。58第58頁，課件共67頁，創作于2023年2月二、用變形比較法解靜不定梁例：求圖示靜不定梁的支反力。59第59頁，課件共67頁，創作于2023年2月解：將支座B看成多余約束，變形協調條件為：60第60頁，課件共67頁，創作于2023年2月另解：將支座A對截面轉動的約束看成多余約束，變形協調條件為：61第61頁，課件共67頁，創作于2023年2月例：為了提高懸臂梁AB的強度和剛度，用短梁CD加固。設二梁EI相同，試求(1)二梁接觸處的壓力