復習：1.和函數的分析運算性質:定理4.若冪級數的收斂半徑則其和函數在收斂域上連續；且在收斂區間內可逐項求導與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同，即1復習：1.和函數的分析運算性質:定理4.若冪級數的收斂半2.求冪級數的和函數的方法及步驟：2.求冪級數的和函數的方法及步驟：?求部分和式的極限;?逐項求導或求積分法

?初等變換法:分解、變量代換后套用公式;（在收斂區間內）.1)求所給冪級數的收斂域.2)將所給冪級數轉化為已知和函數的新級數.轉化方法：逐項積分、逐項求導、四則運算，恒等變形及變量代換等.冪級數已知和函數的新級數轉化22.求冪級數的和函數的方法及步驟：2.求冪級數的和函數的方法3.需要熟記的冪級數有：33.需要熟記的冪級數有：3第四節函數展開成冪級數

一、泰勒(Taylor)級數

二、函數展開成冪級數第十二章冪級數中的兩類問題:和函數求和展開？問:1.如果能展開,是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數?4第四節函數展開成冪級數一、泰勒(Taylor)級數一、泰勒(Taylor)級數其中(在x與x0之間)稱為拉格朗日余項.則在若函數的某鄰域內具有n+1階導數,此式稱為f(x)的n階泰勒公式

,該鄰域內有:1.回憶泰勒中值定理5一、泰勒(Taylor)級數其中(在x為f(x)

的泰勒級數.

則稱1)這樣構造的級數,其收斂域是什么?2)在收斂域上,和函數是否為f(x)?亟待解決的問題:若函數的某鄰域內具有任意階導數,2.泰勒級數定義:當x0=0時,泰勒級數又稱為麥克勞林級數.即泰勒級數是否收斂于f(x)?不一定.？(在x與x0之間)6為f(x)的泰勒級數.則稱1)這樣構造的級數,其定理1：各階導數,則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項滿足:證明:設函數f(x)在點x0的某一鄰域內具有3.泰勒級數的收斂定理:(泰勒公式)7定理1：各階導數,則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級定理2.若f(x)能展成x的冪級數,則這種展開式是惟一的,且證:

設f(x)所展成的冪級數為則顯然結論成立.4.系數的惟一性定理:8定理2.若f(x)能展成x的冪級數,則這種展開式說明：3)冪級數的展開式是唯一的.9說明：3)冪級數的展開式是唯一的.9二、函數展開成冪級數1.直接展開法由泰勒級數理論可知,第一步第三步判別在收斂區間(－R,R)內是否為0.求第二步寫出泰勒級數則并求出其收斂半徑R;10二、函數展開成冪級數1.直接展開法由泰勒級數理論可知,解:故得級數對任何有限數x,其余項滿足(在0與x之間)11解:故得級數對任何有限數x,其余項滿足(在0與x解:得級數:其收斂半徑為對任何有限數x,其余項滿足12解:得級數:其收斂半徑為對任何有限數x,其余項滿足11313需要熟記的公式14需要熟記的公式142.間接展開法函數已知展開式的新函數轉化利用函數的冪級數展開式的唯一性,

借助一些已知的冪級數展開式,通過冪級數的運算性質(如四則運算,逐項積分,逐項求導,恒等變形,變量代換等)成冪級數,這種方法稱為冪級數展開的間接展開法.

這一方法的優點:將函數展開152.間接展開法函數已知展開式的新函數轉化利用函數的冪級數展例1.將函數展開成x的冪級數.解:把x

換成,得解：例2.將展開成x的冪級數.將－2x代入上式中x的位置，即得16例1.將函數展開成x的冪級數.解:把x換成,得解思考：將展開成x的冪級數.將展開成x的冪級數.17思考：將展開成x的冪級數.將展開成x的冪級數.17例3.

將展成解:

的冪級數.18例3.將展成解:的冪級數.18例4.解：19例4.解：19解：例5.將展開成x的冪級數.20解：例5.將展開成x的冪級數.20解：P283例521解：P283例521解:22解:22例8.解:x＝±1時,此級數條件收斂,因此23例8.解:x＝±1時,此級數條件收斂,因此23例8.解:x＝±1時,此級數條件收斂,因此24例8.解:x＝±1時,此級數條件收斂,因此24稱為二項展開式.P283例6說明：(1)在x＝±1

處的收斂性與m有關.(2)當m為正整數時,級數為x的m次多項式,上式就是代數學中的二項式定理.25稱為二項展開式.P283例6說明：(1)在x＝±1處內容小結1.函數的冪級數展開法(2)間接展開法利用冪級數的性質及已知展開式的函數.(1)直接展開法函數已知展開式的新函數轉化26內容小結1.函數的冪級數展開法(2)間接展開法利用冪級下節課默寫！2.請熟記：常用函數的冪級數展開式27下節課默寫！2.請熟記：常用函數的冪級數展開式273.把函數展開為冪級數的間接展開法實際上就是轉化函數已知展開式的新函數轉化經驗：1)有理函數轉化2)指數函數轉化3)對數函數轉化4)三角函數轉化5)反三角函數：先求導化為有理函數，再積分283.把函數展開為冪級數的間接展開法實際上就是轉化函數已知展開思考與練習1.函數處“有