精品文檔-下載后可編輯淺議向量教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題向量是高中數(shù)學(xué)新課程中的重要內(nèi)容?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》)中,在必修課程(數(shù)學(xué)4)、選修課程(系列2―1)中分別設(shè)置了平面向量與空間向量的內(nèi)容。筆者在新課程教師培訓(xùn)和實(shí)驗(yàn)區(qū)聽(tīng)課中了解到,相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)教師認(rèn)為高中數(shù)學(xué)課程中的向量主要是作為解決幾何問(wèn)題的一種工具,以簡(jiǎn)化幾何證明。因此,對(duì)于向量教學(xué)的研究主要集中于向量在解幾何問(wèn)題中的應(yīng)用,向量教學(xué)的重點(diǎn)放在用向量解幾何問(wèn)題的技巧上。下面談一談向量教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題。

一、注重向量的代數(shù)性質(zhì)及其幾何意義

向量的代數(shù)性質(zhì)主要表現(xiàn)在向量的運(yùn)算及其運(yùn)算律方面。運(yùn)算是貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)中的一條主線(xiàn),學(xué)生最先學(xué)習(xí)的運(yùn)算是數(shù)的運(yùn)算,向量的運(yùn)算與數(shù)運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如,向量的加法運(yùn)算與數(shù)的加法運(yùn)算從代數(shù)運(yùn)算的角度看是一致的,都是A×AA型的運(yùn)算。但是,向量的加法運(yùn)算的法則是三角形或平行四邊形法則,這與數(shù)的加法運(yùn)算的法則不同。向量的數(shù)乘運(yùn)算不同于數(shù)的乘法運(yùn)算,它擴(kuò)展了運(yùn)算的對(duì)象與運(yùn)算的類(lèi)型,屬于A×BB型的運(yùn)算。向量的數(shù)量積運(yùn)算也不同于數(shù)的乘法運(yùn)算,它是A×AB型的運(yùn)算。

在向量的教學(xué)中,應(yīng)關(guān)注運(yùn)算的意義和運(yùn)算律。運(yùn)算與運(yùn)算律賦予向量集特定的結(jié)構(gòu),產(chǎn)生群、線(xiàn)性空間、線(xiàn)性賦范空間等不同的數(shù)學(xué)模型。例如,向量集V對(duì)于向量的加法(+)運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律、交換律、有零元(存在零向量)、有負(fù)元(每個(gè)向量都有與其方向相反、長(zhǎng)度相等的向量),這是構(gòu)成交換群的基本性質(zhì);V中向量的加法、實(shí)數(shù)域R中的實(shí)數(shù)與向量的數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足數(shù)乘對(duì)向量加法的分配律(λ(a+b)=λa+λb)、數(shù)乘對(duì)數(shù)加法的分配律((λ+γ)a=λa+γa)、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)合律((λγ)a=λ(γa))等,這是構(gòu)成線(xiàn)性空間的基本性質(zhì)。在教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在具體運(yùn)算的基礎(chǔ)上總結(jié)這些運(yùn)算律,認(rèn)識(shí)這些運(yùn)算律對(duì)于研究向量和運(yùn)用向量解決問(wèn)題以及建構(gòu)數(shù)學(xué)體系的重要意義。

在向量的教學(xué)中,特別要重視向量的數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算與數(shù)的乘法運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系,應(yīng)將向量的運(yùn)算及運(yùn)算律與數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算律進(jìn)行比較,幫助學(xué)生理解向量運(yùn)算的意義及其運(yùn)算律,為進(jìn)一步理解其他代數(shù)運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。例如,對(duì)于數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō),0是唯一的加法“零元”,1是唯一的乘法“單位元”。對(duì)于向量的加法運(yùn)算來(lái)說(shuō),零向量0也是唯一的加法“零元”,對(duì)于任何向量a,0+a=a。但是向量的數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算則具有不同于數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律:對(duì)于任何向量a,0a=0,1a=a,0a=0。雖然也有單位向量的概念,但單位向量不是數(shù)量積運(yùn)算的單位元,即ea≠a,而且單位向量也不唯一。若把單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn),則所有單位向量構(gòu)成一個(gè)單位圓(球);數(shù)的乘法運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律、消去律,即對(duì)于任何數(shù)a、b、c,(ab)c=a(bc),若ab=ac,且a≠0,則b=c。對(duì)于向量的數(shù)量積運(yùn)算來(lái)說(shuō),(ab)c≠a(bc)。這是因?yàn)?ab,bc都是實(shí)數(shù),(ab)c是與c方向相同或相反的向量,a(bc)是與a方向相同或相反的向量,而a與c不一定共線(xiàn),即使共線(xiàn),(ab)c與a(bc)也不一定相等。若向量a、b、c是三個(gè)互相垂直的非零向量,則ab=ac=0,且a≠0,但b≠c。因此,向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿(mǎn)足結(jié)合律、消去律。在教學(xué)中,應(yīng)讓學(xué)生明確向量運(yùn)算與數(shù)運(yùn)算的這些區(qū)別,這樣才能對(duì)向量運(yùn)算乃至代數(shù)運(yùn)算有深入的認(rèn)識(shí)。

在向量的教學(xué)中,還應(yīng)注意揭示向量代數(shù)性質(zhì)的幾何意義。向量代數(shù)性質(zhì)的幾何意義對(duì)于運(yùn)用向量刻畫(huà)幾何對(duì)象是非常重要的。例如,向量數(shù)乘運(yùn)算λa的幾何意義是與a平行的向量,也可以表示一點(diǎn)和一個(gè)方向向量a所確定的直線(xiàn),兩個(gè)不共線(xiàn)向量a與b的線(xiàn)性組合λa+γb表示向量a與b所確定的平面。這就把向量的線(xiàn)性運(yùn)算與直線(xiàn)、平面聯(lián)系起來(lái)了。aa的幾何意義就是向量a的長(zhǎng)度的平方,這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量的長(zhǎng)度聯(lián)系起來(lái),從而,也就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與兩點(diǎn)間的距離公式聯(lián)系起來(lái)了。ab=0的幾何意義是向量a與b垂直,這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量的位置關(guān)系聯(lián)系起來(lái),從而,也就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與直線(xiàn)的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離聯(lián)系起來(lái)了。設(shè)e是單位向量,則ae表示向量a在單位向量e上的投影的長(zhǎng)度,這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量夾角的三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)了。在教學(xué)中,應(yīng)幫助學(xué)生將向量代數(shù)運(yùn)算與它的幾何意義聯(lián)系起來(lái),這樣才能運(yùn)用向量代數(shù)性質(zhì)更好地刻畫(huà)幾何對(duì)象,從而體會(huì)代數(shù)與幾何的聯(lián)系。

二、關(guān)注向量在物理、數(shù)學(xué)、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用

向量在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,向量及其代數(shù)運(yùn)算可以刻畫(huà)幾何對(duì)象以及幾何度量問(wèn)題,可以表示三角函數(shù)、證明三角函數(shù)的公式,可以表示重要的不等式。例如,向量的線(xiàn)性運(yùn)算可以刻畫(huà)直線(xiàn)與平面以及平行、共面等關(guān)系,向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫(huà)角度、長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問(wèn)題以及相交、垂直等關(guān)系;運(yùn)用向量的數(shù)量積也可以定義三角函數(shù)(設(shè)(e1,e2)是平面上的標(biāo)準(zhǔn)正交基,a是平面上的向量,a與e1的夾角為α,則可以定義三角函數(shù)如下:

運(yùn)用向量的數(shù)量積也很容易推導(dǎo)出兩角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;向量的數(shù)量積還蘊(yùn)涵著一個(gè)重