一、問題的提出1.自由落體運動的瞬時速度問題如圖,取極限得一、問題的提出1.自由落體運動的瞬時速度問題如圖,取極限得12.切線問題割線的極限位置——切線位置播放2.切線問題割線的極限位置——切線位置播放2如圖,如果割線MN繞點M旋轉而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.極限位置即如圖,如果割線MN繞點M旋轉而趨向極限位3二、導數的定義定義二、導數的定義定義4其它形式即其它形式即5★★關于導數的說明：★★關于導數的說明：6注意:★注意:★7播放2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.播放2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.8★2.右導數:單側導數1.左導數:★★2.右導數:單側導數1.左導數:★9★★★★10高等數學課件詳細11三、由定義求導數步驟:例1解三、由定義求導數步驟:例1解12例2解例2解13例3解更一般地例如,例3解更一般地例如,14例4解例4解15例5解例5解16例6解例6解17四、導數的幾何意義切線方程為法線方程為四、導數的幾何意義切線方程為法線方程為18例7解由導數的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為例7解由導數的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方19五、可導與連續的關系定理凡可導函數都是連續函數.證五、可導與連續的關系定理凡可導函數都是連續函數.證20連續函數不存在導數舉例0例如,注意:該定理的逆定理不成立.★連續函數不存在導數舉例0例如,注意:該定理的逆定理不成立.2101例如,01例如,22例如,011/π－1/π例如,011/π－1/π23高等數學課件詳細24例8解例8解25六、小結1.導數的實質:增量比的極限;3.導數的幾何意義:切線的斜率;4.函數可導一定連續，但連續不一定可導;5.求導數最基本的方法:由定義求導數.6.判斷可導性不連續,一定不可導.連續直接用定義;看左右導數是否存在且相等.六、小結1.導數的實質:增量比的極限;3.導數的幾何26思考題思考題27思考題解答思考題解答28高等數學課件詳細29高等數學課件詳細30高等數學課件詳細31練習題答案練習題答案322.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置332.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置342.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置352.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置362.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置372.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置382.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置392.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置402.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置412.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置422.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.432.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.442.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.452.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.462.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.472.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.482.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.492.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.502.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.512.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.522.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.532.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(瞬時變化率)是函數平均變化率的逼近函數.54一、和、差、積、商的求導法則定理一、和、差、積、商的求導法則定理55證(3)證(1)、(2)略.證(3)證(1)、(2)略.56高等數學課件詳細57推論推論58二、例題分析例1解例2解二、例題分析例1解例2解59例3解同理可得例3解同理可得60例4解同理可得例5解同理可得例4解同理可得例5解同理可得61例6解例6解62高等數學課件詳細63三、小結注意:分段函數求導時,分界點導數用左右導數求.三、小結注意:分段函數求導時,分界點導數用左右導數求.64思考題求曲線上與軸平行的切線方程.思考題求曲線65思考題解答令切點為所求切線方程為和思考題解答令切點為所求切線方程為和66練習題練習題67高等數學課件詳細68練習題答案練習題答案69一、反函數的導數定理即反函數的導數等于直接函數導數的倒數.一、反函數的導數定理即反函數的導數等于直接函數導數的倒70證于是有證于是有71例1解同理可得例1解同理可得72例2解特別地例2解特別地73二、復合函數的求導法則定理即因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量求導,乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則)二、復合函數的求導法則定理即因變量對自變量求導,等于因74證證75推廣例3解推廣例3解76例4解例5解例4解例5解77例6解例7解例6解例7解78三、小結反函數的求導法則（注意成立條件）;復合函數的求導法則（注意函數的復合過程,合理分解正確使用鏈導法）;已能求導的函數:可分解成基本初等函數,或常數與基本初等函數的和、差、積、商.三、小結反函數的求導法則（注意成立條件）;復合函數的求導法則79思考題思考題80思考題解答正確地選擇是（3）例在處不可導，取在處可導，在處不可導，取在處可導，在處可導，思考題解答正確地選擇是（3）例在處不可導81練習題練習題82高等數學課件詳細83練習題答案練習題答案84高等數學課件詳細85初等函數的求導問題1.常數和基本初等函數的導數公式初等函數的求導問題1.常數和基本初等函數的導數公式862.函數的和、差、積、商的求導法則設)(),(xvvxuu==可導，則（1）vuvu￠￠=￠

)(,（2）uccu￠=￠)(（3）vuvuuv￠+￠=￠)(,

（4）)0()(21￠-￠=￠vvvuvuvu.(是常數)2.函數的和、差、積、商的求導法則設)(),(xvvxuu=873.復合函數的求導法則利用上述公式及法則初等函數求導問題可完全解決.注意:初等函數的導數仍為初等函數.3.復合函數的求導法則利用上述公式及法則初等函數求導問題可完88例1解例1解89例2解例2解90小結任何初等函數的導數都可以按常數和基本初等函數的求導公式和上述求導法則求出.關鍵:正確分解初等函數的復合結構.小結任何初等函數的導數都可以按常數和基本初等函數的求導公式和91思考題冪函數在其定義域內（）.思考題冪函數在其定義域內（）.92思考題解答正確地選擇是（3）例在處不可導，在定義域內處處可導，思考題解答正確地選擇是（3）例在處不可導93練習題練習題94練習題答案練習題答案95一、高階導數的定義問題:變速直線運動的加速度.定義一、高階導數的定義問題:變速直線運動的加速度.定義96記作三階導數的導數稱為四階導數,二階和二階以上的導數統稱為高階導數.二階導數的導數稱為三階導數,記作三階導數的導數稱為四階導數,二階和二階以上的導數統稱為97二、高階導數求法舉例例1解1.直接法:由高階導數的定義逐步求高階導數.二、高階導數求法舉例例1解1.直接法:由高階導數的定義逐步98例2解例2解99例3解注意:

求n階導數時,求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結果的規律性,寫出n階導數.(數學歸納法證明)例3解注意:求n階導數時,求出1-3或4階后,不要100例4解同理可得例4解同理可得101例5解例5解1022.高階導數的運算法則:萊布尼茲公式2.高階導數的運算法則:萊布尼茲公式103例6解例6解1043.間接法:常用高階導數公式利用已知的高階導數公式,通過四則運算,變量代換等方法,求出n階導數.3.間接法:常用高階導數公式105例7解例7解106例8解例8解107三、小結高階導數的定義；高階導數的運算法則(萊布尼茲公式);n階導數的求法;1.直接法;2.間接法.三、小結高階導數的定義；高階導數的運算法則(萊布尼茲公式);108思考題設連續，且，求.思考題設連續，且109思考題解答可導不一定存在故用定義求思考題解答可導不一定存在故用定義求110練習題練習題111高等數學課件詳細112高等數學課件詳細113練習題答案練習題答案114高等數學課件詳細115一、隱函數的導數定義:隱函數的顯化問題:隱函數不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數求導法則:用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.一、隱函數的導數定義:隱函數的顯化問題:隱函數不易顯化或不能116例1解解得例1解解得117例2解所求切線方程為顯然通過原點.例2解所求切線方程為顯然通過原點.118例3解例3解119二、對數求導法觀察函數方法:先在方程兩邊取對數,然后利用隱函數的求導方法求出導數.--------對數求導法適用范圍:二、對數求導法觀察函數方法:先在方程兩邊取對數,然后利用120例4解等式兩邊取對數得例4解等式兩邊取對數得121例5解等式兩邊取對數得例5解等式兩邊取對數得122一般地一般地123三、由參數方程所確定的函數的導數例如消去參數問題:消參困難或無法消參如何求導?三、由參數方程所確定的函數的導數例如消去參數問題:消參困難124由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求導法則得125高等數學課件詳細126例6解例6解127

所求切線方程為所求切線方程為128例7解例7解129高等數學課件詳細130例8解例8解131四、相關變化率相關變化率問題:已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?四、相關變化率相關變化率問題:已知其中一個變化率時如何求出另132例9解仰角增加率例9解仰角增加率133例10解水面上升之速率4000m例10解水面上升之速率4000m134五、小結隱函數求導法則:直接對方程兩邊求導;對數求導法:對方程兩邊取對數,按隱函數的求導法則求導;參數方程求導:實質上是利用復合函數求導法則;相關變化率:通過函數關系確定兩個相互依賴的變化率;解法:

通過建立兩者之間的關系,用鏈式求導法求解.五、小結隱函數求導法則:直接對方程兩邊求導;對數求導法:135思考題思考題136思考題解答不對．思考題解答不對．137練習題練習題138高等數學課件詳細139高等數學課件詳細140高等數學課件詳細141練習題答案練習題答案142高等數學課件詳細143一、問題的提出實例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.一、問題的提出實例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.144再例如,既容易計算又是較好的近似值問題:這個線性函數(改變量的主要部分)是否所有函數的改變量都有?它是什么?如何求?再例如,既容易計算又是較好的近似值問題:這個線性函數(改變量145二、微分的定義定義(微分的實質)二、微分的定義定義(微分的實質)146由定義知:由定義知:147三、可微的條件定理證(1)必要性三、可微的條件定理證(1)必要性148(2)充分性(2)充分性149例1解例1解150四、微分的幾何意義MNT）幾何意義:(如圖)P四、微分的幾何意義MNT）幾何意義:(如圖)P151五、微分的求法求法:計算函數的導數,乘以自變量的微分.1.基本初等函數的微分公式五、微分的求法求法:計算函數的導數,乘以自變量的微分.1522.函數和、差、積、商的微分法則2.函數和、差、積、商的微分法則153例2解例3解例2解例3解154六、微分形式的不變性結論：微分形式的不變性六、微分形式的不變性結論：微分形式的不變性155例4解例3解例4解例3解156例5解在下列等式左端的括號中填入適當的函數,使等式成立.例5解在下列等式左端的括號中填入適當的函數,使等式成立.157七、小結微分學所要解決的兩類問題:函數的變化率問題函數的增量問題微分的概念導數的概念求導數與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導數理論及其應用的科學,叫做微分學.導數與微分的聯系:★★七、小結微分學所要解決的兩類問題:函數的變化率問題函數的增量158導數與微分的區別:★導數與微分的區別:★159思考題思考題160思考題解答說法不對.從概念上講，微分是從求函數增量引出線性主部而得到的，導數是從函數變化率問題歸納出函數增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念.思考題解答說法不對.從概念上講，微分是從求函161練習題練習題162高等數學課件詳細163練習題答案練習題答案164高等數學課件詳細165一、計算函數增量的近似值例1解一、計算函數增量的近似值例1解166二、計算函數的近似值例1解二、計算函數的近似值例1解167高等數學課件詳細168常用近似公式證明常用近似公式證明169例2解例2解170三、誤差估計由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響，測得的數據往往帶有誤差，而根據帶有誤差的數據計算所得的結果也會有誤差，我們把它叫做間接測量誤差.定義：問題:在實際工作中,絕對誤差與相對誤差無法求得?三、誤差估計由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種171辦法:將誤差確定在某一個范圍內.通常把絕對誤差限與相對誤差限簡稱為絕對誤差與相對誤差.辦法:將誤差確定在某一個范圍內.通常把絕對誤差限與相對誤差限172例3解例3解173四、小結近似計算的基本公式四、小結近似計算的基本公式174練習題練習題175高等數學課件詳細176練習題答案第二章習題課練習題答案第二章習題課177求導法則基本公式導數微分關系高階導數高階微分一、主要內容求導法則基本公式導數微分關系高階導數高階微分一1781、導數的定義定義1、導數的定義定義1792.右導數:單側導數1.左導數:2.右導數:單側導數1.左導數:1802、基本導數公式（常數和基本初等函數的導數公式）2、基本導數公式（常數和基本初等函數的導數公式）1813、求導法則(