第7章數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理中的應(yīng)用第7章數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理中的應(yīng)用17.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介2

7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介

7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介37.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介4

集合論概念在數(shù)字圖像處理的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算中，把一幅圖像稱為一個(gè)集合，對(duì)于一幅圖像A，如果點(diǎn)a在A的區(qū)域以內(nèi)，那么就說a是A的元素，記為a∈A，否則，記作。元素與集合間的關(guān)系1.基本符號(hào)和定義7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介集合論概念元素與集合間的關(guān)系1.基本符號(hào)和5兩個(gè)圖像集合A和B的公共點(diǎn)組成的集合稱為兩個(gè)集合的交集，記為A∩B，即A∩B={a｜a∈A且a∈B}。兩個(gè)集合A和B的所有元素組成的集合稱為兩個(gè)集合的并集，記為A∪B，即A∪B={a｜a∈A或a∈B}。集合的交集與并集集合論概念兩個(gè)圖像集合A和B的公共點(diǎn)組成的集合稱為兩個(gè)6集合論概念集合論概念77.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介83.平移和對(duì)稱集

(1)平移設(shè)A是一幅數(shù)字圖像，b是一個(gè)點(diǎn)，那么定義A被b平移后的結(jié)果為A＋b＝{a＋b|a∈A}，即取出A中的每個(gè)點(diǎn)a的坐標(biāo)值，將其與點(diǎn)b的坐標(biāo)值相加，得到一個(gè)新的點(diǎn)的坐標(biāo)值a+b，所有這些新點(diǎn)所構(gòu)成的圖像就是A被b平移的結(jié)果，記為A+b。7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介3.平移和對(duì)稱集7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介9

3.平移和對(duì)稱集

（2）對(duì)稱設(shè)有一幅圖像B，將B中所有元素的坐標(biāo)取反，即令(x，y)變成(-x，-y)，所有這些點(diǎn)構(gòu)成的新的集合，稱為B的對(duì)稱集，記作Bv，也稱為反射或映像，記為7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介3.平移和對(duì)稱集7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介107.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介117.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介結(jié)構(gòu)元素7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)簡(jiǎn)介結(jié)構(gòu)元素12

7.2圖像處理和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)

7.2圖像處理和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)137.2圖像處理和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)7.2圖像處理和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)147.3基本概念和運(yùn)算7.3基本概念和運(yùn)算157.3基本概念和運(yùn)算7.3基本概念和運(yùn)算167.3基本概念和運(yùn)算7.3基本概念和運(yùn)算17

對(duì)于任意一個(gè)在陰影部分的點(diǎn)a，Ba包含于X，所以X被B腐蝕的結(jié)果就是那個(gè)陰影部分。陰影部分在X的范圍之內(nèi)，且比X小，就象X被剝掉了一層似的，這是叫腐蝕的原因

腐蝕在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算中的作用是消除物體邊界點(diǎn)和根據(jù)尺寸從二值圖像中消除不相關(guān)的細(xì)節(jié)。7.3基本概念和運(yùn)算對(duì)于任意一個(gè)在陰影部分的點(diǎn)a，Ba包含于X，187.3基本概念和運(yùn)算7.3基本概念和運(yùn)算19腐蝕示例7.3基本概念和運(yùn)算腐蝕示例7.3基本概念和運(yùn)算20腐蝕示例7.3基本概念和運(yùn)算腐蝕示例7.3基本概念和運(yùn)算21

7.3基本概念和運(yùn)算7.3基本概念和運(yùn)算227.3基本概念和運(yùn)算7.3基本概念和運(yùn)算23

圖中X是被處理的對(duì)象，B是結(jié)構(gòu)元素，對(duì)于任意一個(gè)在陰影部分的點(diǎn)a，Bva擊中X，所以X被B膨脹的結(jié)果就是陰影部分。就象X膨脹了一圈似的，這就是為什么叫膨脹的原因。膨脹示例7.3基本概念和運(yùn)算圖中X是被處理的對(duì)象，B是結(jié)構(gòu)元素，對(duì)于任意24膨脹示例7.3基本概念和運(yùn)算膨脹示例7.3基本概念和運(yùn)算25膨脹示例7.3基本概念和運(yùn)算膨脹示例7.3基本概念和運(yùn)算26

膨脹的作用是把圖像區(qū)域周圍的背景點(diǎn)合并到圖像區(qū)域中，其結(jié)果是使圖像區(qū)域的面積增大相應(yīng)數(shù)量的點(diǎn)。膨脹對(duì)填補(bǔ)分割后物體中的空洞很有效。膨脹的作用7.3基本概念和運(yùn)算膨脹的作用是把圖像區(qū)域周圍的背景點(diǎn)合并到圖像27

(a)原始圖像(b)4鄰域膨脹(c)8鄰域膨脹

膨脹處理效果圖膨脹示例7.3基本概念和運(yùn)算(a)原始圖像28(a)(b)(c)(a)帶有間斷字符的低分辨率示例文本（放大圖），(b)結(jié)構(gòu)元素，(c)通過(b)對(duì)(a)膨脹。斷線被連接起來了。膨脹示例7.3基本概念和運(yùn)算(a)(b)(c)(a)帶有間斷字符的低分辨率示例文本（放大297.3基本概念和運(yùn)算7.3基本概念和運(yùn)算30結(jié)合律很重要，因?yàn)橛?jì)算膨脹所需要的時(shí)間正比于結(jié)構(gòu)元素中的非零像素的個(gè)數(shù)。例如，考慮一個(gè)結(jié)構(gòu)元素大小為5*5，且其元素為1的數(shù)組膨脹：這個(gè)結(jié)構(gòu)元素可分解為一個(gè)值為l的5元素行矩陣和一個(gè)值為l的五元素列矩陣。4.結(jié)構(gòu)元素的分解結(jié)合律很重要，因?yàn)橛?jì)算膨脹所需要的時(shí)間正比于31１)開運(yùn)算

先腐蝕后膨脹的運(yùn)算稱為開運(yùn)算。利用結(jié)構(gòu)元素S對(duì)圖像X做開運(yùn)算，用表示，定義為開運(yùn)算可以用以下的等價(jià)方程表示為開運(yùn)算可以通過計(jì)算所有可以填入圖像內(nèi)部的結(jié)構(gòu)元素平移的“并”得到。即對(duì)每一個(gè)可填入做標(biāo)記，計(jì)算結(jié)構(gòu)元素平移到每一個(gè)標(biāo)記位置時(shí)的“并”，便可得到開運(yùn)算結(jié)果。5.開運(yùn)算與閉運(yùn)算7.3基本概念和運(yùn)算5.開運(yùn)算與閉運(yùn)算7.3基本概念和運(yùn)算32開運(yùn)算示例7.3基本概念和運(yùn)算開運(yùn)算示例7.3基本概念和運(yùn)算33二值圖像開運(yùn)算示意圖開運(yùn)算示例7.3基本概念和運(yùn)算二值圖像開運(yùn)算示意圖開運(yùn)算示例7.3基本概念和運(yùn)算347.3基本概念和運(yùn)算7.3基本概念和運(yùn)算357.3基本概念和運(yùn)算7.3基本概念和運(yùn)算36

閉運(yùn)算沿圖像的外邊緣轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤。閉運(yùn)算對(duì)圖像的外部作濾波，僅僅磨光了凸向圖像內(nèi)部的尖角。閉運(yùn)算示例7.3基本概念和運(yùn)算閉運(yùn)算沿圖像的外邊緣轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤。閉運(yùn)算對(duì)圖像的377.3基本概念和運(yùn)算7.3基本概念和運(yùn)算387.4圖像處理基本形態(tài)學(xué)算法7.4圖像處理基本形態(tài)學(xué)算法39

7.4.1腐蝕與膨脹7.4.1腐蝕與膨脹40

其效果相當(dāng)于半圓形結(jié)構(gòu)元素在被腐蝕函數(shù)的下面“滑動(dòng)”時(shí)，其圓心畫出的軌跡。但是，這里存在一個(gè)限制條件，即結(jié)構(gòu)元素必須在函數(shù)曲線的下面平移。從圖中不難看出，半圓形結(jié)構(gòu)元素從函數(shù)的下面對(duì)函數(shù)產(chǎn)生濾波作用，這與圓盤從內(nèi)部對(duì)二值圖像濾波的情況是相似的。

7.4.1腐蝕與膨脹其效果相當(dāng)于半圓形結(jié)構(gòu)元素在被腐蝕函數(shù)的下面41(a)(b)(c)(a)一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，(b)高度A的結(jié)構(gòu)元素，(c)使用(b)中的結(jié)構(gòu)元素對(duì)f進(jìn)行腐蝕7.4.1腐蝕與膨脹(a)(b)(c)(a)一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，(b)高度A的結(jié)構(gòu)元素42

采用了一個(gè)扁平結(jié)構(gòu)元素對(duì)上圖的函數(shù)作灰值腐蝕。扁平結(jié)構(gòu)元素是一種在其定義域上取常數(shù)的結(jié)構(gòu)元素。注意這種結(jié)構(gòu)元素產(chǎn)生的濾波效果。從上圖可以看到灰度值腐蝕與二值腐蝕之間的一個(gè)基本關(guān)系：被灰度值腐蝕的定義域等于利用結(jié)構(gòu)元素的定義域作為結(jié)構(gòu)元素，對(duì)函數(shù)的定義域做二值腐蝕所得到的結(jié)果。7.4.1腐蝕與膨脹采用了一個(gè)扁平結(jié)構(gòu)元素對(duì)上圖的函數(shù)作灰值腐蝕43

7.4.1腐蝕與膨脹7.4.1腐蝕與膨脹447.4.1

腐蝕與膨脹7.4.1腐蝕與膨脹45

7.4.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算7.4.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算467.4.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算7.4.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算477.4.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算7.4.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算487.4.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算7.4.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算497.4.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算7.4.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算507.5形態(tài)學(xué)的應(yīng)用7.5形態(tài)學(xué)的應(yīng)用511.邊界提取集合A的邊界表示為β(A)，它可以通過先由適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)元素B對(duì)A腐蝕，而后用A減去腐蝕得到。即：

7.5.1二值形態(tài)學(xué)算法1.邊界提取7.5.1二值形態(tài)學(xué)算法527.5.1二值形態(tài)學(xué)算法7.5.1二值形態(tài)學(xué)算法532.區(qū)域填充一種基于集合膨脹、求補(bǔ)和取交集的區(qū)域填充的簡(jiǎn)單算法。圖中，A表示一個(gè)包含一個(gè)子集的集合，子集的元素為8字形的連接邊界的區(qū)域。從邊界內(nèi)的一點(diǎn)p開始，用1填充整個(gè)區(qū)域。假定所有的非邊界元素（背景）均標(biāo)記為0，則以將值1賦給p點(diǎn)開始。下列過程將整個(gè)區(qū)域用1填充：這里X0=p，B是圖中(C)所示的結(jié)構(gòu)元素。如果Xk=Xk-1，則算法在迭代的第k步結(jié)束。Xk和A的并集包含被填充的集合和它的邊界。7.5.1二值形態(tài)學(xué)算法2.區(qū)域填充7.5.1二值形態(tài)學(xué)算法54abcdefghi(a）集合A，(b)A的補(bǔ)集，(c)結(jié)構(gòu)元素B，(d)邊界內(nèi)的起始點(diǎn)，(e)~(h)運(yùn)算的各個(gè)步驟，(i)最后的結(jié)果[(a)和(h)的并集]7.5.1二值形態(tài)學(xué)算法abc(a）集合A，(b)A的補(bǔ)集，(c)結(jié)構(gòu)元素B，(d)55(a)二值圖像(區(qū)域內(nèi)部的白色點(diǎn)表示區(qū)域填充算法的起點(diǎn))，(b)區(qū)域填充的結(jié)果，(c)填充所有區(qū)域的結(jié)果7.5.1二值形態(tài)學(xué)算法(a)二值圖像(區(qū)域內(nèi)部的白色點(diǎn)表示區(qū)域填充算法的起點(diǎn))，(563.連通分量的提取在二值圖像中提取連通分量是許多自動(dòng)圖像分析應(yīng)用中所關(guān)注的問題。令Y表示一個(gè)包含于集合A中的連通分量，并假設(shè)Y中的一點(diǎn)p是已知的。則下面的迭代表達(dá)式可得到Y(jié)中的所有元素。

這里X0=p，B是一個(gè)適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)元素。如果Xk=Xk-1，則算法收斂，并且令Y=Xk。7.5.1二值形態(tài)學(xué)算法3.連通分量的提取7.5.1二值形態(tài)學(xué)算法57(a)顯示了起始點(diǎn)p的集合A(所有陰影點(diǎn)值為1，但與p的表示不同，以說明這些點(diǎn)還沒有被算法找到)，(b)結(jié)構(gòu)元素，(c)第一次迭代的結(jié)果，(d)第2步結(jié)果，(e)最終結(jié)果7.5.1二值形態(tài)學(xué)算法(a)顯示了起始點(diǎn)p的集合A(所有陰影點(diǎn)值為1，但與p的表示587.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用7.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用59形態(tài)學(xué)濾波示例形態(tài)學(xué)濾波示例60形態(tài)學(xué)濾波示例形態(tài)學(xué)濾波示例61

7.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用7.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用62

(a)原始圖像(b)形態(tài)學(xué)梯度7.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用(a)原始圖像(b)形態(tài)學(xué)梯度637.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用7.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用643.紋理分割3.紋理分割65

(a)原圖像(b)顯示不同紋理區(qū)域間邊界的圖像3.紋理分割(a)原圖像667.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用7.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用677.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用7.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用687.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用7.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用697.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用7.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用707.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用7.5.2灰度形態(tài)學(xué)應(yīng)用71