第三章

隨機過程隨機變量隨機過程平穩隨機過程及其特點高斯過程與高斯白噪聲隨機過程通過系統窄帶高斯過程與窄帶高斯白噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲第三章隨機過程隨機變量13.1

隨機變量一、概念二、統計特性隨機變量X，概率密度函數f(x)三、數字特征——數學期望——方差——協方差3.1隨機變量一、概念2隨機變量X的數學期望定義物理意義表示隨機變量的均值性質C是常數，則E(C)=C。C是常數，則E(C·X)=C·E(X)。X 、

Y 是

任

意

兩

個

隨

機

變

量

，

則E(X+Y)=E(X)+E(Y)。X

、

Y

是兩個互相獨立的隨機變量，

則E(X·Y)=E(X)·E(Y)。E(

X

)

xf

(x)dx隨機變量X的數學期望定義物理意義E(X)3隨機變量X的方差表示隨機變量與均值的偏離程度表示，其平方根稱為標準方方差一般也用差22f

(x)dx

E(

X

2

)

E(

X

)2物理意義[x

E(

X

)]x

E(

X

)

定義D(

X

)

E

2XX隨機變量X的方差表示隨機變量與均值的偏離程度表示，其平方根稱4隨機變量X的協方差獨立不相關正交f(x,y)=f(x)f(y)COV(X,Y)=0E(XY)=0定義COV

(

X

,Y

)

Ex

E(

X

)y

E(Y

)

E(

X

Y

)

E(

X

)

E(Y

)E(XY)稱相關函數物理意義描述兩維隨機變量(X,Y)的相互關系幾個概念隨機變量X的協方差獨立f(x,y)=f(x)f(y)CO53.2

隨機過程一、概念二、統計特性3.2隨機過程一、概念6一、概念樣本函數：隨機過程的一個實現隨機過程：樣本函數的集合任意時刻的取值為隨機變量隨機過程沒有確定的時間函數，只能從統計角度，用概率分布和數字特征來描述。x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn

(t)tk一、概念樣本函數：隨機過程的一個實現隨機過程沒有確定的時間函7二、統計特性概率分布數學期望（均值）方差協方差函數相關函數二、統計特性概率分布81.

概率分布隨機過程ξ(t)在任一時刻t1的取值是隨機變量，則隨機變量ξ(t1)的取值小于等于某一數值x1的概率為ξ(t)的一維概率分布函數：F1(x1,t1)

P{

(t1)

x1}ξ (t)的一維概率密度函數：11 1 1xF

(x

,

t

)f1

(x1

,

t1

)

1.概率分布隨機過程ξ(t)在任一時刻t1的取值是隨機變9概率分布(續)nnxx

x1 2 nn 1 2 n 1 2t )

F

(x

,

x

x

;t

,t

fn

(x1,

x2

xn

;t1,t2

tn

)

ξ

(t)的n維概率分布函數和n維概率密度函數分別是：Fn

(x1

,

x2

xn

;t1

,t2

tn

)

P{

(t1

)

x1

,

(t2

)

x2

(tn

)

xn

}概率分布(續)nnxxx1 2 nn 1 2 n102.數學期望

（均值）E[

(t)]

xf1

(x,t)dx

a(t)物理意義：表示隨機過程在各個時刻的擺動中心（平均值）(t)t01

(t)2

(t)n

(t)a(t

)2.數學期望（均值）E[(t)]xf1113.

方差D(

(t)]

E{

(t)

E[

(t)]}2

2

(t)物理意義：表示隨機過程在某時刻的取值（隨機變量）對該時刻的期望的偏離程度(t)t0σ(t

)1

(t)2

(t)n

(t)3.方差D((t)]E{(t)E[124.協方差函數B(t1

,t2

)

E{[

(t1

)

a(t1

)][

(t2

)

a(t2

)]}物理意義：表示隨機過程在兩個時刻間的線性依從關系4.協方差函數B(t1,t2)E{[(t1)135.相關函數tO

R(t1

,t2

)

E[

(t1

)

(t2

)]

x1

x2

f2

(x1

,

x2

;t1

,t2

)dx1dx2物理意義：表示隨機過程在兩個時刻的取值的關聯程度，ξ(t)變化越平緩，兩個時刻取值的相關性越大，R值越大tOs(t)s(t)5.相關函數tO R(t1,t2)E[(t143.3

平穩隨機過程及其特點定義若隨機過程的n維概率分布函數Fn()和n維概率密度函數fn

()與時間起點無關，則為平穩隨機過程（嚴平穩）特點統計特性與時間起點無關（廣義平穩的定義）a

(t)a;R(t1,t2)R(τ)3.3平穩隨機過程及其特點定義15特點(續)各態歷經性：設x

(t)是ξ(t)的任一實現，ξ(t)的統計平均=

x

(t)的算術平均T

2T

Ta

a

lim

1

T

2

x(t)dtT

2T

TR(

)

R(

)

lim

1

T

2

x(t)x(t

)dt意義：隨機過程中的任一實現都經歷了隨機過程的所有可能狀態。因此，

只需從任意一個隨機過程的樣本函數中就可獲得它的所有的數字特征，

從而使“統計平均”化為“時間平均”，使實際測量和計算的問題大為簡化。特點(續)各態歷經性：設x (t)是ξ(t)的任一實現，16例題(例3-1)(2)

求(t)的時間平均值(3)比較統計平均與時間平均設一個隨機相位的正弦波為

(t)

Acos(ct

)其中，A和c均為常數；是在(0,2π)內均勻分布的隨機變量。試討論(t)是否具有各態歷經性。【解】(1)先求(t)的統計平均值：A2R(

)

cos

c

2a(t)

0;例題(例3-1)(2)求(t)的時間平均值設一個隨機相位17特點(續)|

R(τ)|≤R(0) R(0)為上界

以相關函數表示隨機過程的物理特性R(t1

,t2

)

E[

(t1

)

(t2

)]

x1

x2

f2

(x1

,

x2

;t1

,t2

)dx1dx2ξ(t)的平均功率：S=E[ξ2(t)]=

R(0)ξ(t)的直流功率：a2=E2[ξ(t)]=

R(∞)ξ(t)的交流功率：σ2=R(0)-

R(∞)相關函數其他性質R(τ)=R(-τ)特點(續)|R(τ)|≤R(0) R(0)為上界 以相18特點(續)ξ(t)的功率譜：

j

以相關函數表示隨機過程的頻域特性R(

)e

dP()

即：P()

R(

)ξ(t)的平均功率：P(f

)dfS

1P()d

2即：平均功率=功率譜曲線下的面積OPo()fH

f-fHn02K02維納-辛欽關系特點(續)ξ(t)的功率譜：j以相關函數表示隨機過19例題求隨機相位正弦波ξ(t)=Acos(wct+θ)的自相關函數和功率譜密度,在(0,

2π)內均勻分布。解：證明(t)是廣義平穩過程求自相關函數功率譜密度平均功率A2R(

)

cos

c

2A2P

()

2 [

(

c

)

(

c

)]2A2S

R(0)

12P

()d

例題求隨機相位正弦波ξ(t)=Acos(wct+θ)的自相關203.4

高斯隨機過程與高斯白噪聲脈沖噪聲窄帶噪聲起伏噪聲熱噪聲散彈噪聲宇宙噪聲起伏噪聲為高斯隨機過程信道中的噪聲3.4高斯隨機過程與高斯白噪聲脈沖噪聲窄帶噪聲起伏噪聲熱噪21一、

高斯隨機變量隨機變量ξ ，若概率密度函數為則稱ξ 服從高斯分布（正態分布）1(x

a)22

2exp[2f(x)

]

，2 22 222f

(z)dzξ 的分布函數：x

1

1

erfc(

x

a

)

1

1

erf

(

x

a

)F

(x)

f

(x)

1

2

Oax一、高斯隨機變量隨機變量ξ ，若概率密度函數為則稱ξ 服從22高斯隨機變量(續)面積2.

性質fx

對稱為

x=afx在

,a

單調升，在a,

單調下降

2fxdx

1dx

fxdx

2 f

xaa

不變，不同的a值，表現為圖形平移a不變，不同的

值，表現為隨

減小，圖形變高變窄，隨

增大，變低變寬

歸一化a=0,

11-x2e

22πfx

標準正態分布f

(x)

1

2

Oax高斯隨機變量(續)面積2.性質 2f23Q函數：1z

2P(

x)

Q(

x

a

)exp(

)dz

2Q(x)

2

x誤差函數：x02e

z

dzerf(x)

2 2e dz

2Q(

2x)互補誤差函數：erfc(x)

1

erf

(x)

z

2

x幾個定義定義概率積分函數：x22exp(

z

)dz

1 2

(x)

Q函數：1z2P( x)Q(xa)e24二、高斯白噪聲—時域特性隨機過程ξ(t)，在任一時刻的取值（隨機變量）都符合高斯分布，則稱ξ(t)服從高斯分布。其n維概率密度函數為：高斯過程只依賴數字特征，即均值和協方差函數高斯過程若是寬平穩的，也是嚴平穩的高斯過程不同時刻的取值若互不相關，則彼此獨立高斯過程經過線性系統后仍是高斯過程各種起伏噪聲，在任一時刻，噪聲的振幅都符合均值a=0的高斯分布，故稱為高斯噪聲。nj kjkj1k

1B1/

21 2 nxj

a

j x

aB ( )(

k

k

)

2

B

1

exp

1

n

(2

)n

/

2

...fn

(x1

,

x2

,...,

xn；t1

,t2

,...,

tn

)二、高斯白噪聲—時域特性隨機過程ξ(t)，在任一時刻的取值（25三、

高斯白噪聲—頻域特性頻域特性——近似白噪聲白噪聲：功率譜密度在整個頻域內都均勻分布通信系統中的熱噪聲，在相當寬的頻域內具有平坦的功率譜，故近似認為是白噪聲。n0/2fn00雙邊功率譜密度函數為：Pn(f)=n0/2(W/Hz)Pn（f）單邊功率譜密度函數為：Pn(f)=n0(W/Hz)Pn（f）三、高斯白噪聲—頻域特性頻域特性——近似白噪聲通信系統中的26高斯白噪聲—頻域特性

(續)白噪聲的自相關函數為：2僅在τ=0時，R(τ)≠0，說明白噪聲在任意兩個時刻上的取值都是不相關的。R(

)

n0

(

)

，P

()f0n02n02R0（a）功率譜密度（b）自相關函數高斯白噪聲—頻域特性(續)白噪聲的自相關函數為：2R(273.5

隨機過程通過系統一、隨機過程通過線性系統二、隨機過程通過乘法器（調制器）3.5隨機過程通過系統一、隨機過程通過線性系統28一、隨機過程通過線性系統o

(t)

i

(t)

h(t)隨機過程ξi(t)通過線性系統h(t)，其輸出也是隨機過程輸入信號輸出信號系統ξo

(t)Po(ω)h(t)H(ω)ξi(t)Pi(ω)一、隨機過程通過線性系統o(t)i(t)29隨機過程通過線性系統(續)性質：若ξi(t)是平穩隨機過程，則1.均值：E[ξo(t)]=E[ξi(t)]

H

(0)與 t

無關2.自相關函數：Ro(t1,t1+τ)=Ro(τ)

與t1無關3.功率譜密度函數：2R

(

do

iP

()

)e

P()H

()

o

j

4.概率分布：若ξi(t)是高斯型的，經過線性系統后的ξo(t)也是高斯型的。隨機過程通過線性系統(續)性質：2R( do iP30例題求雙邊功率譜密度為n0/2(W/Hz)的白噪聲通過理想低通濾波器后的功率譜密度、自相關函數和噪聲功率。OfH

f-fHH(f)K例題求雙邊功率譜密度為n0/2(W/Hz)的白噪聲通OfH 31二、隨機過程通過乘法器(調制器)平穩隨機過程X(t)經過調制器，輸出隨機過程Y(t)，Y(t)的功率譜為SY(ω)，自相關函數為RY(t,t+τ)Y

(t)Sy(w)X

(t)SX(w)Cos

wct二、隨機過程通過乘法器(調制器)平穩隨機過程X(t)經過調制32隨機過程通過乘法器(續)22cc cXc c cR(

)t

)][cos

cos(2

E[

X

(t)

X

(t

)][cos

cos(2

t

)]R

(t,t

)

E[Y

(t)Y

(t

)]

E[

X

(t)

X

(t

)

cos

t

cos

(t

)]Y c cRY(t,

t+τ)與t有關，所以Y(t)不平穩，取其時間平均2.cos

xcYYR

(

)

R

(t,t

)

R

(

)

與t無關，4.c X cY

X

SY()

RY(

)S ()

1

[S (

)

S (

)]隨機過程通過乘法器(續)22cc cXc c cR()333.6

窄帶隨機過程與窄帶噪聲-fcOS(f

)fffcf(a)tOs(t)緩慢變化的包絡

[a(t)]頻率近似為

fc(b)3.6窄帶隨機過程與窄帶噪聲-fcOS(f)fff34一、窄帶隨機過程定義

c 表示法1：

(t)

a(t)cos[

t

(t)]aξ(t)

對應信號的包絡，υξ(t)對應信號的相位，ωc=2πfc

窄帶信號的中心頻率（載頻）表示法2：

(t)

c

(t)cosct

s

(t)sin

ctc(t)

a

(t)

cos

(t)—同相分量s(t)

a

(t)sin

(t) —正交分量一、窄帶隨機過程定義 c 表示法1：(t)a35同相分量與正交分量

(t)

(t)cos

t

(t)sin

tc c s c同相分量/正交分量與窄帶信號的關系ξc(t)ξ(t)cosωctLPFH(w)=2-ξs(t)LPFH(w)=2sinωct同相分量與正交分量(t)(t)cost36二、窄帶高斯白噪聲窄帶高斯白噪聲可由高斯白噪聲經過窄帶濾波器得到。1.

性質:窄帶高斯白噪聲的ξ(t)、ξc(t)、ξs(t)都是均值a=0的平穩高斯過程；ξ(t)、ξc(t)、ξs(t)的平均功率（方差）相同，為σ

2同時刻ξc(t)、ξs(t)互相獨立，不相關二、窄帶高斯白噪聲窄帶高斯白噪聲可由高斯白噪聲經過窄帶濾波器37窄帶高斯白噪聲(續)2.

時域特性——瑞利分布ξ(t)包絡aξ(t)的一維分布符合瑞利分布，)2

2

2x2xexp(f(x)

相位υξ(t)

的一維分布符合均勻分布，f()

12aξ(t)和υξ(t)

互相獨立窄帶高斯白噪聲(續)2.時域特性——瑞利分布ξ(t)包絡a38-fcOS(f

)fffcfn0/2窄帶高斯白噪聲(續)3.

頻域特性——窄帶白噪聲同相分量/正交分量——帶限白噪聲-fcOfcfSc(f

),Ss(f

)fn0-fcOS(f)fffcfn0/2窄帶高斯白噪聲(續39窄帶高斯白噪聲(續)4.等效帶寬窄帶噪聲功率譜密度為：02H

()

2nnP()

Pn(ω) 在±ω0處有最大值Pn(±ω0)定義：等效帶寬

Bn=

ωn/2πnnnnn2P

(0),

B2P

(0)P

()d

Pn

()df

窄帶高斯白噪聲(續)4.等效帶寬02H()2nnP(40窄帶噪聲—等效帶寬

(續)物理意義：使用等效帶寬的概念，可以認為窄帶噪聲功率譜Pn(ω)在帶寬Bn內是平坦的，等于Pn(ω0)面積相等Pn(fc

)OPn(f

)Bnffc窄帶噪聲—等效帶寬(續)物理意義：使用等效帶寬的概念，可以41窄帶白噪聲

(續)窄帶白噪聲(續)42三、帶限白噪聲（低通白噪聲）帶限白噪聲的功率譜和自相關函數OPo(f)Ro(

)fH f O-fHn020K

21-

2fH12fH0 0

HK

2n

f低通白噪聲可由高斯白噪聲經過低通濾波器得到。三、帶限白噪聲（低通白噪聲）帶限白噪聲的功率譜和自相關函數O433.7

正弦波加窄帶高斯噪聲1.時域特性合成信號cr(t)

Acos(

t

)

n(t)c c s cn(t)

n

(t)cos

t

n

(t)sin

t包絡z(t)

[

Acos

nc

(t)] [

Asin

n (t)]2 2s符合廣義瑞利分布（萊斯Rice分布）]I0(

2

)zz

2

A2

Az2

2f(z)

2

exp[其中,I0(x)為0階修正貝塞爾函數3.7正弦波加窄帶高斯噪聲1.時域特性合成信號cr(t)44正弦波加窄帶噪聲(續)2.頻域特性—窄帶白噪聲加線譜-fcOS(f

)fffcfn0/2正弦波加窄帶噪聲(續)2.頻域特性—窄帶白噪聲加線譜-fcO45總結——確知信號的分析時域 頻域T2T

P(w)

lim

|

FT

(w)

|時間函數f(t)

頻譜密度函數F(w)頻譜函數相關函數R(τ)

功率譜密度函數P(w)能量譜密度R(w)=F(w)H(w)PR(w)=PF(w)|H(w)|22limTT

21TT

f

(t)

f

(t

)dtR(

)

平均功率信號通過線性系統r(t)=f(t)*h(t)信號調制r(t)=f(t)coswctR(w)=[F(w+wc)+F(w-wc)]

/2總結——確知信號的分析時域 頻域T2TP(w)l46總結——隨機信號的分析時域 頻域概率密度相關函數R(τ)

功率譜密度函數P(w)信號通過線性系統ξo(t)=ξi

(t)*h(t)信號調制Po(w)=Pi(w)|H(w)|2期望、方差平均功率ξo(t)=ξi

(t)coswctPo(w)=[Pi(w+wc)+Pi(w-wc)]

/4總結——隨機信號的分析時域 頻域信號通過線性系統Po(w)=47解： 1、時域變化例：輸入均值為零、功率譜密度為n0

/

2

的高