平面向量三點共線定理的推論及空間推行一．問題的來源平面向量三點共線定理:關于共面向量OA,OB,OC,OC€xOA+yOB,那么A、B、C三點共線的充要條件是x+y=1.二．問題的提出問題1?在上述定理中，若是x+y,1、x+y>1時，別離有什么結論？問題2.x、y有什么特定的意義嗎？問題3.上述問題能夠推行到空間嗎？三．問題的解決推論1.關于不共線向量OA,OB，若OC=xOA+yOB,那么點C在直線AB外側(不含點O一側)的充要條件是x+y>1.點C在直線AB內側(含點O一側)的充要條件是x+y,1.證明：(1)必要性：如圖1T,連OC交AB于點C?，則存在實數…，使得OC=九OC?(…〉1),OC?=x?OA+y?OB(x?+y?=1)，二OC=Xx?OA+…y?OB,x=Xx?,y=Xy?，二x+y=X(x?+y?)>1.充分性：>1，使得x=Xxy=Xy?且x?+y?=1.充分性：???OC=…(x?OA+y?OB)=…OC?,??同理可證(2)?2將平面OAB分成三個區域，如圖⑴連接AB得直線1，過點O作平行于1的直線2,那么1、1-2點C落在各區域時，x、y知足的條件是：(I)區：x+y>1；(II)區：0，x+y,12將平面OAB分成三個區域，如圖y知足的條x+y，0?專門地，當點C落在1上時，x+y=1；當點C落在2上時，x+y=°，y知足的條(2)直線OA、OB將平面OAB分成四個區域，如圖1-3，那么點C落在各區域時，xx>0xx>0x,0件是：(I)區：<n;(II)區：n；(III)區：<y>0[y>0 Iy，°’(W)區:x>0

y，0推論2?假設OC=xOA+yOB(x+y=1,卩工0),則需=呂，且當x>0,y>°，那么點C在線段AB上；當x>0,y,0,那么點C在線段BA的延長線上；當x,0,y>0，那么點C在線段AB的延長

線上．證明：OC€xOA+yOB且x+y=1,,OC=xOC+yOC=xOA+yOB,xCA=yBC,，€胃。當x>0,y>0時，CA與BC同向，如圖2-1所示，那么點C在線段AB上當x>0,y?0IBCIIx.l時，CA與BC反向，且TAcI?TBCI,如圖2-2所示，那么點C在線段BA話延長線上；當二0,〒0時,IzIS， AOBCIIzIS， AOBCIx+y+zISS,AOCAIx+y+zISIxIIyIS那么…OAB , ,SIx+y+zISIx+y+zISIx+y+zI…ABC …ABC …ABC證明：只證x,y,z>0的情形，其它情形可類似證明.由xOA+yOB+zOC=0得AO= (-^OB+^^OC),xy+z y+zyz y z+一€1，.?.存在點D使得OD€ OB+OC，且y+zy+z y+z y+zTOC\o"1-5"\h\z」EDIz y+z IAOIy+z Sy+zx+y+zx+y+z€ ，,y+zx+y+zx+y+zIDCIy x IODI x S…ABCS IxIS IyI同理有cAOBC€ ，AOCA€ ，命題得證.S y+z Ix+y+zIAABC AABC將以上結論拓展到空間，得：推論4.關于不共面的向量OA,OB,OC，若OP€xOA+yOB+zOC，那么:若x+y+z€1，那么點P在平面ABC上(空間向量大體定理)；若x+y+z>1，那么點P在平面ABC的外側(不含點0—側)；若x+y+z?1，那么點P在平面ABC的內側(含點0—側).推論5.關于不共面的向量OA，OB，OC，假設Op€xOA+yOB+zOC(x+y+z€1)，則SIzISIxIS€IyI(1)APAB—…PBC—…PCA，，SAABCIx+y+zISAABCIx+y+zISAABCIx+y+zI(2)S:S:S €IzI:IxI:IyI；APAB APBC APAC

V |z| V |x| V|y|⑶O€PAB= ,―O-PBC= ,―O€PCA=V Ix,y,zIV Ix,y,zIV Ix,y,zIO€PABC O€PABC O€PABC證明：(1)OP=xOA,yOB,zOC=(x,y,z)OP, xPA,yPB,zPC=0,由推論3知結論成立.(2)由(1)得證．V IyIOPCA=曠?IxV IyIOPCA=曠?Ix,y,zIO€PABC(3)—OPAB=?PAB= ，同理可證一OPBC=VPIx書,z! V tx+y六IO€PABC ?ABC O€PABC推論6.已知四面體ABCD及與其極點不重合的點O,假設aOA,bOB,cOC,dOD=0,那么V:V:V:V =IaI:IbI:IcI:IdI.O€BCD O€ACD O€ABD O€ABC證明：只證a,b,c,d…0的情形，其它情形可類似證明.由aOA,bOB,cOC,dOD—0,得—aOAb,c,dbOB,cOC,dOD由aOA,bOB,cOC,dOD—0,得—aOAb,c,dbOB,cOC,dODb,c,d,令OP—bOB,cOC,dODb,c,d那么P,B,C,D四點共面，由推論5,S:S:S?PCD 'apbd "aPBcbaOAd—OP，丄圖4」b±_c,dIOPI:IOAI—a:(b+c+d),???VO—ABD，同理可證???VO—BCD,Va,b,c,d O-ACD a,b,c,dVo-ABC—a,b,c,d，命題得證.四．結論的應用1.如圖，OM〃AB，點P在由射線OM,線段OB及AB的延長線圍成的陰影區域內(不含邊界)運動,且OP—xOA,yOB,那么x的取值范圍是 ；當x——2時，y的取值范圍是 .解析：由推論1及推論1,有x<0,且當x——*,有O<x,y<1,113 1 3即0<一*+y<1二*<y<*?答案為：xv0，(*，*)?2?給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120。?如圖，點C在以O為圓心的圓弧AB上變更?若OC—xOA,yOB,其中x,ygR,則x+y的最大值是 ?解析：由推論3,S—OC—SaOABOAiSaobc .2兀設ZAOC—<, [0,一],^3SaOACSs「OB,?x,y—aobc,aoac—?oac SSaOAB aOAB1.° 1.*兀、——sin<,S —sm( —<),2 aobc 2 3433(S ,S),3 aOBC aOACsina+dn(還-a)]=2 3TOC\o"1-5"\h\zsina+dn(還-a)]=2 3cosa+一sina)=2sin(a+—)<2，現在a=—2 6 33.如圖，在AABC中，AD丄AB，BC=j3BD,lAD1=1，那么ACAD=解析：1CD!= -1，，由推論2,得AC=(1-問AB+昭AD,IBCI Q3AC?AD?[(1—±3)AB+j3AD]?AD?暑AD2二、疔.答案：七3.4?如圖，以下向量假設以O為起點，終點落在陰影區域內(含邊界的是①2OA^OB；②IoA+1OB；_^OA+1OB；④3OA+1OB；⑤3OA—1OB\o"CurrentDocument"4 3 3 4 5 ，⑤4 5解析：由推論1及推論1知OA,OB的系數x,y知足x<0,y<0,x+y>1，適合的亙有②^答案為②^5?設點O在AABC外，且OA-2OB—3OC=0,那么S:S= .AABC AOBC'解析：由推論3，可知S:S」x+y+zI:IxI=4.AABC AOBC5.設點P是AABC內一點(不包括邊界)，且AP=mAB+nAC(m,neR),那么m2+n2—2m—2n+3的取值范圍是解析：由推論1及推論1'知m,n知足m<0,n<0,m+n<1,m2+n2—2m—2n+3=(m—1)2+(n—1)2+1表示點(m,n)到(1,1)的距離的平方，由線性規化知識可得所求的范圍為(￡+^)?6?已知點0與四面體ABCD，且OA+OB-°C-OD=0，那么Saabd:Sabcd:SACAD解析：由推論5，OD=OA+OB—OC，可知S:S:S=1—11:1:1=1:1:1.AABDABCD ACAD7.若點O與四面體ABCD，且OA+2O4OC=3OD=0,那么V:S:S=O—ABDO—BCD O—CAD解析：由推論6,衛知V 注：S:S =1—11:1:2:1—31=1:1:2:3.O—ABD O—BCD O—CAD O—ABC8.已知點P是四面體ABCD內一點(不包括邊界)jAP=xAB+yAC+zAD(x,y,zeR)，那么點x,y,z知足x2+y2+z2<1的概