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文檔簡介

基本不等式這是2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會會標．會標根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。

在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設直角三角形的兩條直角邊的長為a

、b，那么正方形的邊長為.這樣，4個直角三角形的面積和小于正方形ABCD的面積,故a2+b2≥2ab.

當直角三角形變為等腰直角三角形,即a=b時,正方形EFGH縮為一個點,這時有a2+b2=2ab.EHDABCFGabEH

證明:

a2+b2–2ab=(a–b)2

當

a≠b時,(a–b)2>0;

當a=b時,(a–b)2=0

所以(a–b)2≥0,即

a2+b2≥2ab分別用代替引例中的a,b,

即可得

引例：一般地，對于任意實數a、b，我們有當且僅當a=b時，等號成立。基本不等式的代數解釋①③上述不等式中a和b的取值范圍是（），當且僅當（）時“=”成立。基本不等式成立的條件是（）當且僅當（）時“=”成立2.填空：如何由1）得2）？如何由1）得3）？zxxka>0,b>0a=b任意實數a=b例2、如右圖，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成．(1)現有可圍36m長的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網總長最小？分析:設每間虎籠長xm，寬ym，則問題(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而問題(2)則是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值．因此，使用均值定理解決．

大a=b小a=b

積定和最小,和定積最大。利用不等式求函數的最值例3、

求函數的值域.分類討論變式2、求下列各題的最值.（1）x>3,求的最小值；（2）x>1，求的最小值；（1）x>3,求的最小值；解析：當且僅當

即x=5時“=”成立

改變常數項，湊成積為定值

湊定值所以函數的最小值為7.（2）x>1，求的最小值；解析：當且僅當時“=”成立

分離常數，拆項湊成積為定值湊定值所以函數的最小值為變形技巧：用“1”的代換分析：要求x＋y的最小值，根據均值定理，應構建某個積為定值．這需要對條件進行必要的變形，考慮條件式可進行“1的代換”，也可以“消元”等．方法總結:本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對式子進行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經常使用的方法，要學會觀察學會變形，另外解法2通過消元，化二元問題為一元問題，要注意根據被代換的變量的范圍對另一個變量范圍給出限制．(消去x后，原來x的限制條件，應當由代

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