考點(diǎn)58隨機(jī)事件的概率與古典概型

1.濟(jì)南市某公交線路某區(qū)間內(nèi)共設(shè)置四個(gè)站點(diǎn)（如圖），分別記為4。，&，&53,現(xiàn)有甲、乙兩人同時(shí)從

4。站點(diǎn)上車，且他們中的每個(gè)人在站點(diǎn)4。=°123）下車是等可能的.則甲、乙兩人不在同一站點(diǎn)下車的概

率為（）

I____I____I____I

AA】A2A3

2331

A.3B.4c.5D.2

A

【解析】

設(shè)事件”=甲、乙兩人不在同一站下車”，

因?yàn)榧住⒁覂扇嗽谕?站下車的概率為：X》

甲、乙兩人在同在必站下車的概率為：X=；

甲、乙兩人在同在4站下車的概率為

9?

所以甲、乙兩人在同在一站下車的概率為3x；xf=f,

>??

則PG4）=l-；=：,故選A.

2.一張儲蓄卡的密碼共有可立數(shù)字，每位數(shù)字都可以從。~9中任選一個(gè)，某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí),

忘記了密碼最后一位數(shù)字，如果任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率為（）

2311

A.5B.10C.5D.10

C

一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可以從0?9中任選一個(gè),

某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼最后一位數(shù)字，

任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率為：

1911

-----1-----x-----

p=1010%5.

故選：C.

11

3.學(xué)生李明上學(xué)要經(jīng)過4個(gè)路口，前三個(gè)路口遇到紅燈的概率均為Z第四個(gè)路口遇到紅燈的概率為司設(shè)在

各個(gè)路口是否遇到紅燈互不影響，則李明從家到學(xué)校恰好遇到一次紅燈的概率為()

7111

A.24B.4C.24D.8

A

【解析】

分兩種情況求解：

①前三個(gè)路口恰有一次紅燈，旦第四個(gè)路口為綠燈的概率為G?《尸?(1

②前三個(gè)路口都是綠燈，第四個(gè)路口為紅燈的概率為停尸]=之

由互斥事件的概率加法公式可得所求概率為盤+彳=3

故選A.

4.某學(xué)校1。位同學(xué)組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，每次獻(xiàn)愛心活動(dòng)均需該組織4位同學(xué)參

加.假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立，隨機(jī)地發(fā)給4位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到.則

甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知的信息的概率為()

212164

A.5B.25C.25D.5

C

設(shè)甲同學(xué)收到李老師的信息為事件A,收到張老師的信息為事件B,A、B相互獨(dú)立，

P(4)=P(B)=[=|

則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知的信息的概率為

一3316

1-P(4B)=1-(1-P(4))(l-P(B))=l--x-=-

5525.

故選C.

5.現(xiàn)有一個(gè)不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1,2,2,3的四個(gè)小球，他們除數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取

出一球記下號碼后放回，均勻攪拌后再隨機(jī)取出一球，則兩次取出小球所標(biāo)號碼不同的概率為（）

1535

A.6B.6C.8D.8

D

【解析】

隨機(jī)取出一球記下號碼后放回，均勻攪拌后再隨機(jī)取出一球，

則兩次取出小球所標(biāo)號碼不同的試蛤結(jié)果共有4x4=1伊禮

號碼相同的情況共有6種，

則號碼不同的概率是P=1-彳=%故選D.

6.2018年元旦期間，某高速公路收費(fèi)站的三個(gè)高速收費(fèi)口每天通過的小汽車數(shù)X（單位：輛）均服從正

態(tài)分布N（60002）,若p（500<X<700）=0.6,假設(shè)三個(gè)收費(fèi)口均能正常工作，則這個(gè)收費(fèi)口每天至少有一

個(gè)超過700輛的概率為（）

1126164

A.125B.125c.125D.話

C

根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，每個(gè)收費(fèi)口超過70。輛的概率

P（X>700）=-P（500<X<700）］=；x（1-0.6）=0.2=1

???這三個(gè)收費(fèi)口每天至少有一個(gè)超過700輛的概率

\5）125,故選c.

7.一個(gè)正四面體的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字123,4.擲這個(gè)四面體四次，令第i次得到的數(shù)為&,若存在正整

數(shù)女,使得Z占J'~的概率P其中m,n是互質(zhì)的正整數(shù)，則1。兆加-1。9/的值為（）

B.-1C.2D.-2

B

【解析】

當(dāng)k=l時(shí)，概率為；

當(dāng)k=2時(shí)，4=1+3=2+2=3+1,概率為3?（：），.

當(dāng)k=3時(shí)，4=1+1+27+2+1=2+1+1概率為3?(?，.

當(dāng)k=4時(shí)，4M+1+1+1,概率為(J

所以p-+M+■!+上=64+33一=三=.

r416642562562564*

所以人=鏟/?!=53.

所以log5nl-log4??=3-4=-l.

故答案為：B

8.某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下:從裝有形狀、大小完全相同的2個(gè)紅球、3個(gè)藍(lán)球的箱子中，任

意取出兩球，若取出的兩球顏色相同則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).則中獎(jiǎng)的概率為（）

1323

A.5B.10C.5D.5

C

【解析】

從裝有形狀、大小完全相同的2個(gè)紅球、3個(gè)籃球的箱子中:任意取出兩球共C；=1降中取法，取出的兩球顏色

相同共0+讖=4種取法，

二中獎(jiǎng)的概率為巳=I

故選：C

9.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率是40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命

中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示

不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù)：907966

191925271431932458569683.該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為：（）

1339

A.5B.5c.10D.10

C

由題意知模擬三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)，在10組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰有兩次

命中的有：191、932、271、共3組隨機(jī)數(shù)，

3

故所求概率為五

故C.

10.袋子中裝有形狀和大小完全相同的五個(gè)小球，每個(gè)小球上分別標(biāo)有“1”“2”“3”“4”“6”這五個(gè)數(shù),

現(xiàn)從中隨機(jī)選取三個(gè)小球，則所選的三個(gè)小球上的數(shù)恰好能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列的概率是（）

3111

A.10B.5C.10D.20

A

“1”“2”“3”“4”“6”這五個(gè)數(shù)中成等差數(shù)列的數(shù)有“1,2,3”，“2,3,4”，“2,4,6”三組,從五個(gè)數(shù)中

3PJ

隨機(jī)選取三個(gè)小球有C5=l°,故所求概率為10.

11.某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要

求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作。規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過。已知6道備選題中考生甲有4

2

道題能正確完成，2道題不能完成：考生乙每題正確完成的概率都是且每題正確完成與否互不影響。

（1）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望；

（2）試從兩位考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能

力.

（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)考生甲、乙正確完成實(shí)臉操作的題數(shù)分別為f,力貝心的取值分別為1、2、3,71的取值分別,0、1、

2、3,

C式31CrCi3C7CP1

PG=D=言=<P6=2）=.=『P6=3）=者=5

所以考生甲正確完成實(shí)蛉操作的題數(shù)的概率分布列為：

123

131

P

555

131

E(f)=1?—+2--+3--=2

因?yàn)樗钥忌艺_完成實(shí)險(xiǎn)操作的題數(shù)的概率分布列為:

*

40123

16128

P

27272727

E(\n")=0-27—+12-7-+22-7-+3*-7-=2

31412820

^>2)=-+-=的>2)=—+—=—

（2）因?yàn)椤酢酢?72727

所以P（—（心2）

從做對題的數(shù)學(xué)期望考察，兩人水平相當(dāng)；從至少正確完成2題的概率考察，甲通過的可能性大，因此可

以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng)。

12.國家放開計(jì)劃生育政策，鼓勵(lì)一對夫婦生育2個(gè)孩子.在某地區(qū)的對已經(jīng)生育了一胎夫婦中，進(jìn)行大

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得，有100對第一胎生育的是雙胞胎或多胞胎，其余的均為單胞胎.在這99900對恰好生育一孩

的夫婦中，男方、女方都愿意生育二孩的有50000對，男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有“1對，

男方不愿意生育二孩女方愿意生育二孩的有工2對，其余情形有內(nèi)對，且孫租汨=300:100:99.現(xiàn)用樣本的

頻率來估計(jì)總體的概率.

(1)說明“其余情形”指何種具體情形，并求出.,%2,*3的值；

(2)該地區(qū)為進(jìn)一步鼓勵(lì)生育二孩，實(shí)行貼補(bǔ)政策：凡第一胎生育了一孩的夫婦一次性貼補(bǔ)5000元，第

一胎生育了雙胞胎或多胞胎的夫婦只有一次性貼補(bǔ)15000元.第一胎已經(jīng)生育了一孩再生育了二孩的夫婦

一次性再貼補(bǔ)20000元.這種補(bǔ)貼政策直接提高了夫婦生育二孩的積極性：原先男方或女方中只有一方愿

意生育二孩的夫婦現(xiàn)在都愿意生育二孩，但原先男方、女方都不愿意生育二孩的夫婦仍然不愿意生育二

孩.設(shè)6為該地區(qū)的一對夫婦享受的生育貼補(bǔ)“求E(f).

(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

(1)“其余情形'指一對夫婦中的男方、女方都不愿意生育二孩.

由小:小:4、=300:100:99,可設(shè)=300n,x-=100n,x3=99n(neiV),

由已知得n++x?=49900,

所以300"+lOOn+99n=49900,

解得”=100,

所以Xi=3000C,x2=10000,>3=9900.

(2)一對夫婦中，原先的生育情況有以下5種:

第一胎生育的是雙胞胎或多胞胎有100對，頻率為/■：=100

1000001000

男方、女方都愿意生肓二孩的有50000對，頻率為人=50000

100000

男方愿意生育二胎女方不愿意生育二胎的有30000對，頻率為人=3

男方不愿意生育二胎女方愿意生育二胎的也有10000對，頻率為九=30000__1_

100000

其余情形即男方、女方都不愿意生肓二孩的有對，頻率為%=9900_99

9900100000—1000,

由題意可知隨機(jī)變量6的可能取值為15000,25000,5000,

^=15000)=4=^

P(f=5000)=/5=會(huì)，

所以隨機(jī)變量W的概率分布表如下:

15000250005000

1999

P

1000101000

所以E（f）=15000xq+25000x-+5000x—=23010（元）.

5八1000101000人

13.某學(xué)校為鼓勵(lì)家校互動(dòng),與某手機(jī)通訊商合作,為教師辦理流量套餐.為了解該校教師手機(jī)流量使用情

況,通過抽樣,得到I。。位教師近2年每人手機(jī)月平均使用流量〃單位:M）的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如下：

若將每位教師的手機(jī)月平均使用流量分別視為其手機(jī)月使用流量,并將頻率為概率，回答以下問題.

(I)從該校教師中隨機(jī)抽取3人,求這3人中至多有1人月使用流量不超過300M的概率；

(II)現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐，詳情如下：

套餐名稱月套餐費(fèi)(單位:元)月套餐流量(單位:M)

A20300

B30500

C38700

這三款套餐都有如下附加條款:套餐費(fèi)月初一次性收取,手機(jī)使用一旦超出套餐流量,系統(tǒng)就自動(dòng)幫用戶充

值20。M流量，資費(fèi)20元；如果又超出充值流量，系統(tǒng)就再次自動(dòng)幫用戶充值200M流量，資費(fèi)20元/次，依次

類推,如果當(dāng)月流量有剩余,系統(tǒng)將自動(dòng)清零,無法轉(zhuǎn)入次月使用.

學(xué)校欲訂購其中一款流量套餐,為教師支付月套餐費(fèi),并承擔(dān)系統(tǒng)自動(dòng)充值的流量資費(fèi)的75%,其余部分由教

師個(gè)人承擔(dān)，問學(xué)校訂購哪一款套餐最經(jīng)濟(jì)？說明理由.

(1)0.784.

(2)學(xué)校訂購8套餐最經(jīng)濟(jì).

(I)由直方圖可知,從該校中隨機(jī)抽取一名教師,該教師手機(jī)月使用流量不超過300M

的概率為(0.0008+0.0022)X100=0.3.

設(shè)“從該校教師中隨機(jī)抽取3人,至多有1人月使用流蚩不超過300M”為事件D,

則P(D)=(1-0.3)a+C/x0.3x(1-0.3)==0.343+0.441=0.784.

題意,P(300<L<500)=(0.0025+0.0035)x100=0.6,

P(500<L<700)=(0.0008+0.0002)x100=0.1.

當(dāng)學(xué)校訂購工套餐時(shí)，設(shè)學(xué)校為一位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為1的所有可能取值為20,35,50.

且P(匕=20)=0.3,P(兒=35)=0.6,P(匕=50)=0.1,

所以E%=20x0.3+35x0.6+50x0,1=32(TL)

當(dāng)學(xué)校訂購B套餐時(shí)，設(shè)學(xué)校為一位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為工的所有可能取值為3(X45,

且P(X：=30)=0.3+0.6=09P(X：=45)=0.1,

所以EX：=30x0.9+45x0,1=31.5(元)

當(dāng)學(xué)校訂購C套餐時(shí)，設(shè)學(xué)校為一位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為先的所有可能取值為38.

且P(2=38)=1,EX3=38X0.1=3斷)

因?yàn)镋X：<EX.<E%,所以學(xué)校訂購5套餐最經(jīng)濟(jì).

14.近年來隨著我國在教育科研上的投入不斷加大，科學(xué)技術(shù)得到迅猛發(fā)展，國內(nèi)企業(yè)的國際競爭力得到大

幅提升.伴隨著國內(nèi)市場增速放緩，國內(nèi)有實(shí)力企業(yè)紛紛進(jìn)行海外布局，第二輪企業(yè)出海潮到來.如在智能手

機(jī)行業(yè)，國產(chǎn)品牌已在趕超國外巨頭,某品牌手機(jī)公司一直默默拓展海外市場,在海外共設(shè)30多個(gè)分支機(jī)構(gòu),

需要國內(nèi)公司外派大量70后、80后中青年員工.該企業(yè)為了解這兩個(gè)年齡層員工是否愿意被外派工作的態(tài)

度,按分層抽樣的方式從7。后和80后的員工中隨機(jī)調(diào)查了100位,得到數(shù)據(jù)如下表：

愿意被外派不愿意被外派合計(jì)

70后202040

80后402060

合計(jì)6040100

(1)根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù),是否有90%以上的把握認(rèn)為“是否愿意被外派與年齡有關(guān)”，并說明理由：

(2)該公司舉行參觀駐海外分支機(jī)構(gòu)的交流體驗(yàn)活動(dòng)，擬安排6名參與調(diào)查的70后、80后員工參加.70后員工

中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人報(bào)名參加,從中隨機(jī)選出3人,記選到愿意被外派的人數(shù)為x；

8。后員工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人報(bào)名參加,從中隨機(jī)選出3人，記選到愿意被外派的人

數(shù)為y,求乂<，的概率.

參考數(shù)據(jù)：

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.005

k2.0722.7063.8415.0246.6357.879

(參考公式：，其中n=a+b+c+d).

(1)有90%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”(2)2

【解析】

⑴片=___________________工ooxroxrzoToxw?

ia+b)(c+dna+cj優(yōu)+d)60X40X60X40

-40-0-X-4-0-0-X-1-00也2,778>2,706,

5760000

所以有90%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”

Q)"x<y”包含：“x=O,y=l"、“x=0.y=2"、"x=O.y=3"、"x=Ly=2"、"x=Ly=3"、

“x=2,y=3,六個(gè)互斥事件.

且。(犬=。,)，=1)=警*著=言,P(x=0,y=2)=^x^=^

P(-)=*等嚙

p(x=Ly=3)=萼x誓=至，P(x=2,y=3)=零x羋=乜

、cfCf400\‘,噓琮400

,、4+12+4+108+36+362001

P(x<y)=------------------------=——=-

所以，4004002.

15.2018年1月26日，甘肅省人民政府辦公廳發(fā).布《甘肅省關(guān)于餐飲業(yè)質(zhì)量安全提升工程的一實(shí)施意見》,

衛(wèi)生部對16所大學(xué)食堂的“進(jìn)貨渠道合格性”和“食品安全”進(jìn)行量化評估.滿10分者為“安全食堂”，

評分7分以下的為“待改革食堂”.評分在4分以下考慮為“取締食堂”，所有大學(xué)食堂的評分在7~10分

之間，以下表格記錄了它們的評分情況：

分?jǐn)?shù)段[0,7)[7,8)[8,9)|9,10]

食堂個(gè)數(shù)1384

(1)現(xiàn)從16所大學(xué)食堂中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至多有1個(gè)評分不低于9分的概率；

(2)以這16所大學(xué)食堂評分?jǐn)?shù)據(jù)估計(jì)大學(xué)食堂的經(jīng)營性質(zhì)，若從全國的大學(xué)食堂任選3個(gè)，記X表示抽

到評分不低于9分的食堂個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

121

(1)140(2)見解析

【解析】(D設(shè)4表示所抽取3個(gè)中有1所大學(xué)食堂評分不低于9分,至多有1個(gè)評分不低于9分記為事件月,

則PG4)=PM0)+P(L)=晉+誓=

(2)由表格數(shù)據(jù)知，從16所大學(xué)食堂任選1個(gè)評分不低于9分的概率為±=%

1b4

由題知X的可能取值為0,1,2,3

P(X=0)=G)?=2P(X=1)==A

P(X=2)=C：(鏟=3P(X=3)=(;)3=3

二.X的分布列為

2791

E(X)=1x-----F2x-----F3x—=0.75

.??646464

1

16.袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率為5,得到黑球

55

或黃球的概率為冠，得到黃球或綠球的概率也是工，試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？

1

4

t解析】

從袋中任取一球，記事件A=｛得到紅球｝,事件B=｛得到黑球｝,事件C=｛得到黃球｝,事件D=｛得到壕

'PG4)=；.

P(BUC)=P(B)+P(C)=41

球｝,貝惰＜,、,、，、：

P(CuD)=P(C)+P(D)=，

、P(BuCuD)=1-P(4)=三，

3

111

解得P(B)=4,P(C)=6,P(D)=4.

111

所以得到黑球的概率為彳，得到黃球的概率為￡得到球球的概率為彳.

17.高一軍訓(xùn)時(shí)，某同學(xué)射擊一次，命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別為0.13,0.28,0.31.

(1)求射擊一次，命中10環(huán)或9環(huán)的概率；

⑵求射擊一次，至少命中8環(huán)的概率；

(3)求射擊一次，命中環(huán)數(shù)小于9環(huán)的概率.

(1)P(AIQ)=0.13,P(A9)=0.28,P(A8)=0.31；(2)0.41；(3)0.59.

設(shè)事件“射擊一次，命中i環(huán)”為事件ANOWiWlO,且ieN),且Ai兩兩互斥.

由題意知P(Aio)=O.13,P(A9)=0.28,P(A8)=0.31.

⑴記“射擊一次,命中10環(huán)或9環(huán)”的事件為A,那么P(A)=P(AIO)+P(A9)=O.13+0.28=0.41.

(2)記“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B,那么P(B)=P(AIO)+P(A9)+P(A8)

=0.13+0.28+0.31=0.72.

(3)記“射擊一次，命中環(huán)數(shù)小于9環(huán)”的事件為C,則C與A是對立事件，

.?.P(C)=l-P(A)=l-0.41=0.59.

18.有人在路邊設(shè)局，宣傳牌上寫有“擲骰子，贏大獎(jiǎng)”.其游戲規(guī)則是這樣的：你可以在

1,2,3,4,5,6點(diǎn)中任選一個(gè)，并押上賭注機(jī)元，然后擲1顆骰子，連續(xù)擲3次，若你所押的點(diǎn)數(shù)在3

次擲骰子過程中出現(xiàn)1次，2次，3次，那么原來的賭注仍還給你，并且莊家分別給予你所押賭注的1倍，

2倍，3倍的獎(jiǎng)勵(lì).如果3次擲骰子過程中，你所押的點(diǎn)數(shù)沒出現(xiàn)，那么你的賭注就被莊家沒收.

(1)求擲3次骰子，至少出現(xiàn)1次為5點(diǎn)的概率；

(2)如果你打算嘗試一次，請計(jì)算一下你獲利的期望值，并給大家一個(gè)正確的建議.

91

(1)216;(2)見解析

【解析】

<1)根據(jù)對立事件的性質(zhì)，所求概率為P=1OOO一工。

(2)試玩游戲，設(shè)獲利4元，貝火的可能取值為2m.3m.-爪且

,15.75

P(^=TH)=C/X-x(?=yr7

OOZlo

?1.515

P?=27n)=Cx(-)=x-=—

￡ooZlo

,1,1

P(4=3m)=C/x(-)2=—

DZ1O

c5,125

P(w=一m)=仃x(-)3=—

oZlo

7515d個(gè).1e.125

所以Ef=—x?n+1—：x27n+—x3m+—x(-m)=——?n.

2-u216二_u216\J216

顯然*<0,因此建議大家不要嘗試.

19.大豆，古稱菽，原產(chǎn)中國，在中國已有五千年栽培歷史。皖北多平原地帶，黃河故道土地肥沃，適宜

種植大豆。2018年春，為響應(yīng)中國大豆參與世界貿(mào)易的競爭，某市農(nóng)科院積極研究，加大優(yōu)良品種的培育

工作。其中一項(xiàng)基礎(chǔ)工作就是研究晝夜溫差大小與大豆發(fā)芽率之間的關(guān)系。為此科研人員分別記錄了5天

中每天100粒大豆的發(fā)芽數(shù)得如下數(shù)據(jù)表格：

日期4月4日4月5日4月6日4月7日4月8日

溫差x(t)101113128

發(fā)芽數(shù)y(粒)2326322616

科研人員確定研究方案是:從5組數(shù)據(jù)中選3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用求得的回歸方程對剩下的2組

數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

(1)求剩下的2組數(shù)據(jù)恰是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率；

(2)若選取的是4月5日、6日、7日三天數(shù)據(jù)據(jù)此求丫關(guān)于％的線性回歸方程'=從+生

(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差絕對值均不超過1粒，則認(rèn)為得到的線性回歸.方

程是可靠的，請檢驗(yàn)(II)中回歸方程是否可靠？

nn

2@-天)?(匕-》)^xi-yi-n-x-y

3i=1i=1

b=------------------------------=--------------------------------

nn

2(々-又)2-nx2

注：念1/，a=y-l>-x,

3

(1)5;(2)V=3x-8.(3)得到的線性回歸方程是可靠的

【解析】(1)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率是1-青=：.

(2)由數(shù)據(jù)得￡7=1看見=11X26+13x32+12x26=1014;

x=^(11+13+12)=12,y=^(26+32+26)=28,3fy=3x12x28=1008；

J.￡7修乂-71￡-3=工乙修％-3￡?了=1014-1008=6,

EL*=11:+132+12==434,3J=3x12==432,

??￡:工總=n-xz=-3-x-=434-432=2,

.t^i=iXiyi-nxy_E；L,xj-,-3xy60

“匚Z；=H-nF=國-3F=三="

a=y-bx=28-3x12=-8,故y關(guān)于x的線性回歸方程為f=3x-8.

(3)當(dāng)x=10時(shí)，y=3x-8=3x10-8=22,|22-23|<1.

當(dāng)x=8時(shí)，y=3x-8=3x8-8=16,|16-16|<1,

故得到的線性回歸方程是可靠的.

20.深受廣大球迷喜愛的某支歐洲足球隊(duì).在對球員的使用上總是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，為了考察甲球員對球隊(duì)

的貢獻(xiàn)，現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：

球隊(duì)勝球隊(duì)負(fù)總計(jì)

甲參加22b30

甲未參加C12d

總計(jì)30en

(1)求仇c,d,e,〃的值，據(jù)此能否有97.5%的把握認(rèn)為球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān)；

(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員四個(gè)位置，且出場率分別為:

0.2,0.5,0.2,0.1,當(dāng)出任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員時(shí)，球隊(duì)輸球的概率依次為0.102,060.2則：

1)當(dāng)他參加比賽時(shí)，求球隊(duì)某場比賽輸球的概率；

2)當(dāng)他參加比賽時(shí)，在球隊(duì)輸了某場比賽的條件下，求乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率；

3)如果你是教練員，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)知識.該如何使用乙球員？

附表及公式：

P(K*12>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

“n(ad-be)2

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d).

(1)b=8,c=8,m=20,e=20,n=50,有97.5%的把握(2)1)0.32,2)0.32,3)多讓乙球員擔(dān)當(dāng)守門員,

【解析】

(1)&=8,c=8,?n=20.e=20,n=5O.K:=十二一二一二疔/5.556>5,024,

30X20X30XZ0'

.?.有97.5%的把握認(rèn)為球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān).

(2)D設(shè)&表示“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒、工表示“乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒為表示“乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi))兒表示"乙球

員擔(dān)當(dāng)守門員rB表示，球隊(duì)輸?shù)裟硤霰荣悺保瑒t

P(B)=P(4)P(B|4)+P(A)P(B|4)+P(A-)P(BIA3)+P(4)P(B|4)

=0.2x0.4+0.5x0.2+0.2x0.6+0.1x0.2=0.32.

2)P(AX|B)==0.25.

3)因?yàn)镻(4|B)：P(必=0.08:0.10:0.12:0.02,所以應(yīng)該多讓乙球員擔(dān)當(dāng)守門員，來

擴(kuò)大嬴球場次.

21.某球迷為了解4B兩支球隊(duì)的攻擊能力，從本賽季常規(guī)賽中隨機(jī)調(diào)查了20場與這兩支球隊(duì)有關(guān)的比賽.兩

隊(duì)所得分?jǐn)?shù)分別如下：

4球隊(duì)：122110105105109101107129115100

114118118104931209610210583

B球隊(duì)：1141141101081031179312475106

9181107112107101106

(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩隊(duì)所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩支球隊(duì)所得分?jǐn)?shù)的平均值及分散程

度(不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可)：

(2)根據(jù)球隊(duì)所得分?jǐn)?shù)，將球隊(duì)的攻擊能力從低到高分為三個(gè)

球隊(duì)所得分?jǐn)?shù)低于100分100分到119分不低于120分

攻擊能力等級較弱較強(qiáng)很強(qiáng)

記事件°“月球隊(duì)的攻擊能力等級高于B球隊(duì)的攻擊能力等級”.假設(shè)兩支球隊(duì)的攻擊能力相互獨(dú)立.根據(jù)

所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率.

(1)莖葉圖見解析，，A球隊(duì)所得分?jǐn)?shù)的平均值高于B球隊(duì)所得分?jǐn)?shù)的平均值：

A球隊(duì)所得分?jǐn)?shù)比較集中，B球隊(duì)所得分?jǐn)?shù)比較分散.(2)0.31.

【解析】(D兩隊(duì)所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖如下

A球隊(duì)B球隊(duì)

759

381

36931

5240719551083677167

884501144072

0921240

通過莖葉圖可以看出，A球隊(duì)所得分?jǐn)?shù)的平均值高于B球隊(duì)所得分?jǐn)?shù)的平均值；

A球隊(duì)所得分?jǐn)?shù)比較集中，B球隊(duì)所得分?jǐn)?shù)比較分散.

(2)記CAI表示事件：“A球隊(duì)攻擊能力等級為較強(qiáng)”，

CM表示事件：“A球隊(duì)攻擊能力等級為很強(qiáng)”；

CBI表示事件：“B球隊(duì)攻擊能力等級為較弱'

CB2表示事件：“B球隊(duì)攻擊能力等級為較弱或較強(qiáng)”，

則CAI與CBI獨(dú)立，CA2與CB:獨(dú)立，CAI與CAI互斥，C=(CAICBI)U(CA2CB2).

P(C)=P(CAICBI)+P(CA2CB2)=P(CAI)P(CBI)+P(CA2)P(CB2).

W包里

由所給數(shù)據(jù)得CAI,CM,CBI,CBZ發(fā)生的頻率分別為疝，20,20,20,故

M5_jH

P(CAI)=20,P(CA2)=2O,P(CBI)=20,P(CB2)=20,

M5.A

P(C)=20x20+20x20=0.31.

22.某地?cái)M建立一個(gè)藝術(shù)博物館，采取競標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公經(jīng)過層層篩選，甲、

乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo).現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請專家計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)問題

中隨機(jī)拋取3個(gè)問題，已知這6個(gè)問中，甲公司可正確回答其中的4道題，而乙公司能正確回答每道題目

2

的概率均為且甲、乙兩家公司對每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的.

(I)求甲、乙兩家公司共答對2道題的概率；

(II)設(shè)X為乙公司正確回答的題數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

1

(1)正;(2)見解析.

【解析】

(I)由題意可知，所求概率：

P=^xC/xjx(i)=+^-x(|r=^

(ID乙公司正確回答的題數(shù)x的所有可能取值為0,1,2,3

PU=0)=C°(-)(-)=27

P(X=1)=N|)?=|

P(X=2)=C；(1)(I)=：

P（X=3）=CM/G）°=之

???X得分布列為:

X0123

1248

r

279927

VX~B(3.p：.EX=3x^=2

23.甲、乙兩位工人分別用兩種不同工藝生產(chǎn)同一種零件，已知尺寸在[223,228](單位：mm)內(nèi)的零件

為一等品，其余為二等品，測量甲乙當(dāng)天生產(chǎn)零件尺寸的莖葉圖如圖所示：

甲__/________