解n階微分方程資料解n階微分方程資料解n階微分方程資料微、積分學應用模塊§4-13二階常系數線性微分方程第四模塊微積分學的應用用第十三節二階常系數線性微分方程一、二階線性微分方程解的結構二、二階常系數線性微分方程的解法三、應用舉例微、積分學應用模塊§4-13二階常系數線性微分方程-、二階線性微分方程解的結構二階微分方程的如下形式"+(r)y+q()y=f(x)用稱為二階線性微分方程,簡稱二階線性方程.f(x)稱為自由項,當∫(x)≠0時,稱為二階線性非齊次微分方程,簡稱二階線性非齊次方程.當∫(x)恒為0時,稱為二階線性齊次微分方程,簡稱二階線性齊次方程.方程中p(x)、q(x)和∫(x)都是自變量的已知連續函數.這類方程的特點是:右邊是已知函數或零,左邊每一項含y"或y或y,且每項均為y"或y或y的一次項,例如y"+xy'+y=x2就是二階線性非齊次方程.而y+x(y)2+y=x2就不是二階線性方程近年來，隨著計算機技術的不斷發展更新，社會對計算機人才的要求也越來越高，但是，在實際的教學過程中，一些高職院校依然采用傳統的教學模式和教學方法，開展計算機教學活動，忽視了學生實踐能力和創新能力的培養，導致學生的計算機能力較低，所以，在素質教育深入發展的情況下，立足于市場的發展需求，及時更新教育理念，合理制定培養計劃，不斷創新教學模式，合理開展計算機教學活動，不斷提高計算機教學的質量，成為高職院校教育教學工作中急需解決的問題之一。1.在高職計算機教學中應用分層式教學模式的必要性由于家庭因素、個人因素的影響，許多高職學生的計算機水平不同，再加上學生專業特點的差異，高職學生的學習需求也不盡相同，所以，在教學過程中，教師需要充分尊重學生之間的差異，根據學生的實際情況，通過分層式就模式，激發學生的學習興趣，以提高計算機教學的效果[1]。計算機教學具有較強的理論性和實踐性，在教學過程中，一味采用統一的教學模式，灌輸理論知識，講解操作技巧，會降低學生的學習積極性，而利用分層式教學模式，有針對性地開展教學活動，可以增強學生的學習興趣，提高學生的學習熱情。2.分層式教學模式在高職計算機教學中的合理應用方式2.1對學生進行分層分層教學是以學生的知識水平和學習能力為基礎，需要充分考慮不同學生的實際情況，所以，在運用分層式教學模式時，計算機教師應該詳細地了解學生的計算機水平、學習情緒和學習能力，根據不同學生的學習需求，合理劃分學生層次，以提高計算機教學的針對性。計算機教師可以把學生分為A、B、C三個層次，A層次學生的計算機基礎知識扎實、學習興趣濃厚、學習習慣良好，實際操作能力較強；B層次學生的計算機基礎知識一般、缺乏學習的主動性、實際操作能力一般；C層次學生的計算機基礎知識薄弱、學習積極性不高、實際操作能力較低。同時，在教學過程中，計算機教師需要根據學生的進步情況，適當進行調整，以激發學生的學習熱情，提高學生的學習積極性。2.2分層制定教學目標教學目標是開展教學活動的最終目的，在教學過程中，高職院校的計算機教師應該根據不同層次學生的具體情況，分層制定教學目標，以增強學生的學習信心，提高計算機教學的效果。對于A層次的學生，計算機教師可以著重培養其實踐能力和創新能力，不斷提高A層次學生的計算機運用能力，以提升學生的綜合素質[2]。對于B層次的學生，計算機教師應該注意培養其學習習慣，不斷提高其實踐能力，以實現計算機教學的目標。而對于C層次的學生，計算機教師需要采用合適的教學方法，培養其學習興趣，不斷提高其學習計算機的積極性和主動性。2.3分層設計教學內容學生知識水平、學習能力和學習情緒的差異，會嚴重影響到課堂教學效果，所以，在開展計算機教學活動之前，高職院校的計算機教師需要根據學生的層次，合理設計教學內容，以滿足不同層次學生的學習需求，提高計算機教學的有效性。在課堂教學活動中，計算機教師可以要求A層次的學生，在熟練掌握理論知識的基礎上，熟練操作計算機，以提高A層次學生和的計算機能力；計算機教師可以要求B層次的學生，掌握教學內容，能夠使用計算機獲取、處理和傳輸信息；而對于C層次的學生，計算機教師應該注重培養其學習興趣，要求其掌握基礎的理論知識和基本的操作技能，以縮短學生之間的差距，提高學生整體的計算機水平。3.總結總而言之，分層式教學模式可以激發學生的學習熱情，提高教學的目的性和?對性，促進學生的共同發展，所以，在平時的教學過程中，高職院校的計算機教師可以根據學生之間的差異性，合理運用分層式教學模式，以培養學生的學習信心，提高計算機教學的效果，促進學生計算機能力的共同發展。隨著新課改的推進，課堂教學的有效性是提高教學質量的一個關鍵因素。長期以來，我們習慣于讓學生“靜坐”在各自的位置上，步調一致地聽講或練習。新課程改革要求課堂教學既要實現四維的教學目標，又要呵護學生長久的學習愿望，還要培養學生具備一定的應對升學考試的能力和素質。如何提高課堂的有效度成為大家共同的關注點，為此，2012年3月，我區提出了“研學后教”的教學理念，推動新一輪的教學改革的車輪。為了走出“研學后教”理念指導下的歷史課堂特色來，筆者進行了一些思考與嘗試。筆者認為，要讓歷史課堂有自己的特色，讓學生有興趣學歷史，關鍵是我們研學案中的研學問題。研學問題是否具有歷史味道，是歷史課堂教學能否形成學科特色的關鍵性因素。那么，什么是歷史學科研學問題的歷史味道？怎樣去設計研學問題才能產生“歷史味”呢？下面就近幾年筆者在課堂教學實踐中運用的一些質量相對比較好的研學問題加以說明。首先，研學問題是否有利于學生形成歷史知識結構，并在此基礎上形成新的歷史知識建構？我們應該清楚，學生“認識的獲得必須用一個將結構主義（Structurism）和建構主義（Constructivism）緊密地連結起來的理論來說明，也就是說，每一個結構都是心理發生的結果，而心理發生就是從一個較初級的結構轉化為一個不那么初級的（或較復雜的）結構”。【1】也就是說，學生的認知是在原有的知識結構的基礎上再建構，再形成新的知識結構的過程。什么是知識結構？美國著名心理學家布魯納認為，所謂知識結構就是指“學科知識的內部聯系和規律”。而作為歷史學科，其學科知識的內部聯系和規律，學生是否通過“滿堂放”就能解決了？答案是否定的。的確，學生是學習信息加工的主體、知識結構的主動建構者，而不是外部刺激的被動接受者和被灌輸的對象。作為歷史教師，我們在編寫研學案時必須考慮一個問題：我們的研學問題是否有利于學生認識歷史學科知識的內部聯系和規律并在此基礎上進一步形成新的歷史知識結構？“香港蕞爾一島耳，固中國海濱之棄地也。叢莽惡石，盜所藪，獸所窟，和議既成，乃割畀英，始辟草萊，招徠民庶，數年間遂成市落。設官置吏，百事共舉，彬彬然稱治焉。遭值中國多故，避居者視為世外桃源。商出其市，賈安其境，財力之盛，幾甲粵東。嗚呼，地之盛衰何常，在人為之耳。故觀其地之興，即知其政治之善，因其政治之善，即想見其地官吏之賢。”――王韜《?|園文錄外編?送政務司丹拿返國序》王韜，著名的洋務政論家、中國新聞業之父。1845年考取秀才。1849年應英國傳教士麥都士之邀，到上海墨海書館工作。清同治元年（1862年）因化名黃畹上書太平天國被發現，清廷下令逮捕，在英國駐滬領事幫助下逃亡香港。應邀協助英華書院院長理雅各將十三經譯為英文。1867冬-1868年春漫游法英等國。因此他對西方現代文明了解比較深。問題1：香港島是在什么歷史背景下割讓給英國的？問題2：英國人在香港是通過什么手段讓香港的經濟發展起來的？問題3：王韜認為香港發展的根本原因是什么？他的觀點是否與當時的洋務派的主張一致？問題4：通過這則材料，你能說一說造成世界近代西方先?M，東方落后的根本因素是什么？這是筆者在復習八年級上冊第二單元時所用的其中一個研學問題。首先，筆者為學生提供了一個真實的歷史情境：著名的洋務政論家王韜的著作的思想主張和其生平。因為是復習課，學生已對西方的侵略和中國的抗爭以及中國近代化的探索有所認識，因此在復習課時根據創設的情景提出問題1和問題3，這是對舊有歷史知識結構的回爐，而問題2和問題4的提出其目的是為了幫助學生建構新的認知結構。其次，研學問題是否有利于學生學會思想，生成智慧？“讀史使人明智”。歷史課堂要讓學生在“讀史”的同時，懂得用思辨的眼睛和思想活躍的大腦去審視、思索，并從中感悟和生成一種具有歷史深度的思維和眼光，以此關注現實。因此，歷史教學還應當教學生從歷史之中“學會思想”，生成智慧。在課堂“百家爭鳴”這個環節【我們歷史新授課“學思四環建構模式”中的一個環節】中，筆者提出問題：“請觀察張擇端的《清明上河圖》上的場景細節，你能看到北宋時的人們的生活是怎樣的嗎？”并指導學生分組觀察《清明上河圖》的細節，如算盤、商品廣告、人物服飾、人物性別、建筑類別、交通工具等，然后各組分別表述，進一步了解和感受一下宋朝城市經濟的繁榮。各小組當談到感受時都對北宋的繁榮表示了贊嘆。然而接著筆者拋出了另外一個問題：“如此繁榮的北宋王朝，為什么會亡國呢？張擇端創作這幅畫的目的純粹是要反映北宋汴京的繁華嗎？”學生陷入了沉思。筆者提醒學生注意研學案中張擇端的簡介：【張擇端北宋畫家。字正道，東武（今山東諸城）人。早年游學汴京（今開封），后習繪畫，徽宗時在翰林圖畫院任職。善畫風俗畫，尤擅繪舟車、市肆、橋梁、街道、城郭等。】“徽宗時在翰林圖畫院任職，這是否能給我們什么啟示沒有？”此時有幾個學生提出：“宋徽宗是亡國之君，他跟兒子欽宗都做了金國的俘虜。”“張擇端是徽宗時期的人。”“張擇端是否想通過這畫想提醒宋徽宗點什么？”“想提醒什么呢？”筆者問。可是沒有學生能準確回答。教師最后小結：張擇端作為一位優秀的知識分子，看到了北宋繁榮背后的隱憂，借這幅畫提醒統治者要“居安思危”，結果北宋最后真的被金國所亡，宋徽宗也被俘。其三，研學問題不一定是教師全部自己預設的，它可以是課堂生成的，有時這樣的研學問題才能碰撞出智慧的火花。“老師，毛主席是否因為覺得‘大權旁落’才發動文化大革命呢？”這是我13學年下學期，在9班上課時，一位對歷史課非常感興趣的學生提出的問題，問題有點“反動”，但引爆了課堂。課后我在想：幫助學生在課堂學習過程中發散求活，變角求新，探幽求奇，創新求異，學生才會有與眾不同的體驗，有自出機抒的發現，有獨樹一幟的見解，教學才會生機蓬勃。前幾天偶爾打開電腦中的“教學日志”，其中一個教學情節記錄再次引起我的思考：2010年10月27日周三上午的第一節課，我跟平常一樣來到了初一（10）班的課室。說真的，只有在課堂面對學生上課，我才會感受到作為一名教師的價值（否則我早就轉行了），每當走進教室我就會有一股激情，今天也不例外。今天上的課是七年級歷史上冊第9課《中華文化的勃興（二）》，跟往常一樣，學生聽得很入神，也能在聽課的過程中很好地概括孔子、老子的思想和百家爭鳴各家的思想。然而在課堂的后段卻發生一段小插曲：“今天的課即將結束，同學們有什么疑問需要提出的嗎？”我一邊問一邊細心地觀察著每個學生的反應。此時我發現第4組坐最后的許*斌同學欲言又止，我便問道：“*斌，你有問題提出嗎？”“老師，您不覺得孔子的教育方法有問題嗎？”他有點膽怯的說。據我所知提這樣一個“幼稚”問題的第一個學生不是他，而是我。記得在1990年我讀初一時就曾提出過這個問題，結果是被歷史老師以“擾亂課堂罪”批斗了一個下午，當時我心中就恨老師不給我“百家爭鳴”的機會。我突然間有一種與*斌產生共鳴的感覺，于是問他：“為什么？”“孔子弟子三千，成才（成名）的才72人，您不覺得他的教育方法有問題嗎？”剎那間學生所有的目光都投向了我。“今天我們講的課是春秋戰國的百家爭鳴，春秋戰國是中國西周以后大分裂、大動蕩的一個時期，禮崩樂壞的時期，也是思想大解放時期，各門各派紛紛提出自己的思想主張，形成了百家爭鳴的局面。百家爭鳴的學術氛圍是我們應該提倡的，我很欣賞*斌同學能夠學以致用，有根有據地提出自己的觀點，這正是百家爭鳴的精髓。但是，就*斌同學提出的依據，我請他，包括在座的同學思考一下，若這72人都是‘出將入相’的人物，我們是否還懷疑孔子的教育水平呢？”此時下課鈴打破了同學們的沉思。而這一堂課卻在我心中產生了劇烈的震蕩：農村孩子是有能力接受教師的現代化教育思想和教學手段進行授課的，而問題在于我是否具備這一素質。作為一名中下生的*斌同學，他能提出?@樣一個問題并不簡單，我認為其至少具有以下幾種能力：1、課堂的專注力，因為當時對“孔子弟子三千，成名72人”我只是輕言一句。2、論從史出的思維力和概括力。3、對權威的質疑力，學生不僅對我這老師提出質疑，而且還對孔老夫子提出了質疑。“吾愛吾師，吾更愛真理”。巴爾扎克說：“打開一切科學的鑰匙都毫無異議是問號。”因此，在歷史教學實踐中，我們要以“問題”作為驅動教學的根本因素，有層次地提出問題，多角度地啟發學生思維。然后，學生以學習小組為單位，圍繞著問題，互相啟發，相互補充，尋求答案。在這一過程中，不僅給學生提供了展現自己見解的機會，拓寬了學生的思維空間，提高了學生自主探究和解決問題的能力，而且培養了學生的合作態度和合作能力。開展研學問題的研究是實施“研學后教”內容研究的核心，也是“研學后教”的本質要求。教師要把學科的重點內容和難點知識設計成適合學生學習的研學問題，或根據學生在學習中存在的共同疑惑生成可供探究的研學問題，即通過合作探究活動建構出有意義和價值的答案的研學問題。研學問題一定是要有價值的問題，要能凸顯“研學味”，不僅要引發學生對未知世界的好奇感，還要引發他們對研究的熱情與興趣；不僅能培養學生解決研學問題的能力，還要能培養他們發現和創造性解決研學問題的能力。這才是歷史課堂的真正“味道”。微、積分學應用模塊§4-13二階常系數線性微分方程第四模塊微積分學的應用用第十三節二階常系數線性微分方程一、二階線性微分方程解的結構二、二階常系數線性微分方程的解法三、應用舉例微、積分學應用模塊§4-13二階常系數線性微分方程-、二階線性微分方程解的結構二階微分方程的如下形式"+(r)y+q()y=f(x)用稱為二階線性微分方程,簡稱二階線性方程.f(x)稱為自由項,當∫(x)≠0時,稱為二階線性非齊次微分方程,簡稱二階線性非齊次方程.當∫(x)恒為0時,稱為二階線性齊次微分方程,簡稱二階線性齊次方程.方程中p(x)、q(x)和∫(x)都是自變量的已知連續函數.這類方程的特點是:右邊是已知函數或零,左邊每一項含y"或y或y,且每項均為y"或y或y的一次項,例如y"+xy'+y=x2就是二階線性非齊次方程.而y+x(y)2+y=x2就不是二階線性方程微、積分學應用模塊§4-13二階常系數線性微分方程定理1如果函數y1與y2是線性齊次方程的兩個解,則函數y=C1+C2y2應用數仍為該方程的解,其中C1,C2是任意常數字證因為y1與y2是方程y"+p(x)y'+q(x)y=0的兩個解,所以有1+p(x)y+q(x)y1=0,與y"+p(x)y2+q(x)y2=0.微、積分學應用模塊§4-13二階常系數線性微分方程又因為y=C1n+C2y,y”=C+C2y,于是有點y"+p(r)y+g(r)y用數字=(C1y1+C2y2)+p(x)C1y1+C2y2)+q(xC1y1+C2y2)=C1(y"+p(x)y1+q(x)y1)+C2(y2+p(x)y2+q(x)y2)=0所以y=Cv1+C2y2是y"+p(x)y+qx)y=0的解微、積分學應用模塊§4-13二階常系數線性微分方程定義設函數y1(x)和y24x)是定義在某區間I上的兩個函數,如果存在兩個不全為0的常數k1和k2使用k1y1(x)+k2y2x)=0在區間Ⅰ上恒成立,則稱函數y(x)與2)在區間上學是線性相關的,否則稱為線性無關考察兩個函數是否線性相關,我們往往用另一種簡單易行的方法,即看它們的比是否為常數,事實上,當y1(x)與y2(x)線性相關時,有k1y1+k2y2=0,其中k,k2不全為0,不失一般性,設k1≠0,則當=-k2,2k1微、積分學應用模塊§4-13二階常系數線性微分方程即y1與y2之比為常數反之,若y1與y2之比為常數,應用設y=,則y1=y2,即y1-4y2=0.所以y1與y2數y字線性相關.因此,如果兩個函數的比是常數,則它們線性相關;如果不是常數,則它們線性無關.例如函數y1=e,y2=e,而當≠常數,所以,它們是線y性無關的微、積分學應用模塊§4-13二階常系數線性微分方程定理2如果函數y1與y2是二階線性齊次方程y"+p(x)y'+q(x)=0的兩個線性無關的特解,則用y=C1y1+C2y2是該方程的通解,其中C1,C2為任意常數字證因為y1與y2是方程y+p(x)+qx)y=0的解,所以,由定理1知y=C1y1+C2y2也是該方程的解又因為y1與y2線性無關,即y1與y2之比不為常數,所以它們中任一個都不能用另一個(形如y1=ky2或y