第二章剛體2.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動2.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律及其應(yīng)用2.3對定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒2.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的功和能剛體：特殊的質(zhì)點(diǎn)系。(1)無限多的質(zhì)點(diǎn)組成的有限大小的質(zhì)點(diǎn)系（實(shí)際上是物質(zhì)連續(xù)分布的物體，其微分體積稱為質(zhì)元)；(2)無論施加多大的力都不會改變形狀和大小，即任意兩點(diǎn)間的距離不會因施力和運(yùn)動而改變；(3)同質(zhì)點(diǎn)一樣，剛體也是物體的理想簡化模型。剛體是受力時形狀和體積不改變的物體，剛體是固體物件的理想化模型。剛體的定義剛體的一般運(yùn)動都可以認(rèn)為是平動和轉(zhuǎn)動的結(jié)合。平動在運(yùn)動中，剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動情況均相同。轉(zhuǎn)動最簡單的是定軸轉(zhuǎn)動。此時剛體上各質(zhì)點(diǎn)均繞同一軸作圓周運(yùn)動，若轉(zhuǎn)軸是固定不動的，則為定軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)軸通常用剛體質(zhì)心的運(yùn)動來代表整個剛體的平動。2.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體運(yùn)動的兩種基本形式一、平動和轉(zhuǎn)動不宜用線量來描述。二、描述剛體的轉(zhuǎn)動：1.角位移：，單位：rad(弧度)或無。OP2.角速度：單位：rad/s，或s-1。3.角加速度：單位：rad/s2，或s-2。

類似質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)，對于勻加速轉(zhuǎn)動，不變，有三、角量和線量的關(guān)系：1.角量用來描寫整個剛體：線量用來描寫剛體上的點(diǎn)：rddsO其中

定軸轉(zhuǎn)動時，和只有兩種可能的取向，這時把它們當(dāng)作標(biāo)量，以正負(fù)號表示這兩種取向。r'2.實(shí)際上，

為標(biāo)量，d,,為矢量，矢量的方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手螺旋關(guān)系對定軸轉(zhuǎn)動，方向沿或2.1.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動慣量dmrmJ反映剛體轉(zhuǎn)動慣性的大?。?）與剛體的質(zhì)量有關(guān)。如鐵盤與木盤（2）在質(zhì)量相同的情況下，與質(zhì)量的分布有關(guān)，如：圓盤與圓環(huán)。（3）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。一、轉(zhuǎn)動慣量的定義例1：均勻圓環(huán)對于中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量（1）選取微元dm（2）求dJ（3）求

J二、幾種典型剛體的轉(zhuǎn)動慣量RmCdm相當(dāng)于質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)對軸的J例2：求均勻圓盤對于中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量RmC（1）選微元dm求dJ利用上題結(jié)果dJ=r2

dm(3)求Jrdr0解：可視圓盤由許多小圓環(huán)組成。例3：求均勻細(xì)桿對中心軸及邊緣軸的轉(zhuǎn)動慣量CAmL2L2xxdx可見，質(zhì)量相同，形狀相同，轉(zhuǎn)軸不同，J不同。0三、關(guān)于J的幾條規(guī)律1.對同一軸J具有可疊加性J=Ji?

Jmrziii=?D22.平行軸定理JJmdc=+2

CdOmJCJ平行說明1.由平行軸定律可見，在各平行的轉(zhuǎn)軸之中，通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量最小。2.兩個都不通過質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸之間不存在類似關(guān)系。又如求均勻圓盤對于通過其邊緣一點(diǎn)O的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量:R

CmO由前面例3中結(jié)果作業(yè)1：2-1；2-5；2-82.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律及應(yīng)用

2.2.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律一﹑力矩外力對剛體轉(zhuǎn)動的影響，不僅與力的大小有關(guān)，而且與力的作用點(diǎn)的位置和方向都有關(guān)。即，只有力矩才能改變剛體的轉(zhuǎn)動。當(dāng)M=0時，剛體勻速轉(zhuǎn)動或靜止rfmf⊥f11二﹑轉(zhuǎn)動定律把剛體看成由N個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系利用牛頓第二定律θ

ω,α定軸剛體zFimiΔrifi對所有質(zhì)點(diǎn)列出此式，并求和內(nèi)力矩成對出現(xiàn)，且大小相等方向相反，作用在一條直線上上式2.定軸下可不寫角標(biāo)zMFJma~~~aìí???4.與牛頓第二定律比較與方向相同的力矩取正與方向相反的力矩取負(fù)

力矩的正方向：剛體所受的對于某固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與它所獲得的角加速度的乘積。剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律討論瞬時關(guān)系3.a∝M，方向相同，瞬時關(guān)系，對同一軸。

只適用于慣性系。例：某飛輪直徑d=50cm,繞中心垂直軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量J=2.4千克·米2,轉(zhuǎn)速n0=1000轉(zhuǎn)/分，若制動時閘瓦對輪的壓力為N=50千克力，閘瓦與輪間的滑動摩擦系數(shù)

=0.4問：制動后飛輪轉(zhuǎn)過多少圈停止？fd(1)求（2）求圈數(shù)2.2.2轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例解題步驟:1.認(rèn)剛體;2.定轉(zhuǎn)軸,找運(yùn)動;3.分析力和力矩;4.定轉(zhuǎn)向,列方程。

特別注意:1.明確轉(zhuǎn)動軸位置。2.選定轉(zhuǎn)動的正方向,注意力矩、角速度、角加速度的正負(fù)。3.同一方程式中所有量都必須相對同一轉(zhuǎn)軸。二類問題:第一類:由角量運(yùn)動,求力矩。(微分法)第二類:由力矩及初始條件,求剛體運(yùn)動。(積分法)對輪：對m:定軸O·Rthmv0=0繩解：輪與m為聯(lián)結(jié)體,輪為定軸轉(zhuǎn)動、m為平動,但二者用繩聯(lián)系起來。m的速度大小與輪邊緣線速度大小相等。mgT'=-Tm例1.己知：定滑輪為均勻圓盤，其上繞一細(xì)繩，繩一端固定在盤上，另一端掛重物m。繩與輪無相對滑動，繩不可伸長。輪半徑R=0.2m，m=1kg,m下落時間t=3s，v0=0,h=1.5m。求：輪對O軸

J=?運(yùn)動學(xué)關(guān)系：a=aR(3)hat=122(4)聯(lián)立解得：例2：如圖，設(shè)滑塊A，重物B及滑輪C的質(zhì)量分別為MA，MB，MC?；咰是半徑為

r

的均勻圓板。滑塊A與桌面之間，滑輪與軸承之間均無摩擦，輕繩與滑輪之間無滑動。求:（1）滑塊A的加速度a

（2）滑塊A與滑輪C之間繩的張力T1，（3）滑輪C與重物B之間繩的張力T2。ABCT2MBgT1MAgNT2′

T1′

N′

MCg解：ABABC選正方向解方程得mO例3.己知：質(zhì)量為m、徑為R的均勻圓盤。初角速度,繞中心軸逆時針轉(zhuǎn)動。空氣對圓盤表面單位面積的摩擦力正比其線速度,即。不計(jì)軸承處的摩擦。求：圓盤在停止轉(zhuǎn)動時所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)N=?1.取剛體m為研究對象，軸為O。2.取逆時針轉(zhuǎn)為正方向。r解：3.用積分法求力矩。在半徑為r、寬度為dr的面積元dS上的質(zhì)元具有相同的線速度v。則dS上阻力的大小為:dS考慮盤的上下表面，故阻力矩大小為總阻力矩mOrdS利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律分離變量2.3對定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒

一、質(zhì)點(diǎn)系角動量定理分量式：質(zhì)點(diǎn)系對某軸的角動量隨時間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)所受外力對同一軸的力矩的代數(shù)和。質(zhì)點(diǎn)系角動量守恒定律二、剛體的角動量定理當(dāng)其繞固定軸轉(zhuǎn)動時，則其上各點(diǎn)都繞該軸作圓周運(yùn)動zrimi剛體可以看成是由n個質(zhì)點(diǎn)組成三、角動量守恒定律將上式代入質(zhì)點(diǎn)系角動量定理分量式剛體對某軸的沖量矩等于該段時間內(nèi)剛體對同一軸角動量的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理：若所研究的系統(tǒng)中既包含剛體又包含質(zhì)點(diǎn)、物體等，則M、L應(yīng)理解為所有物體所受力矩和所有物體的角動量思考：（1）動能是否守恒？（2）動量是否守恒？（3）角動量是否守恒？FMVr例：質(zhì)量為M，半徑為R的水平放置的均勻園盤，以角速度1繞垂直于園盤并通過盤心的光滑軸，在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時，有一質(zhì)量為m的小物塊以速度v垂直落在園盤的邊沿上，并粘在盤上，求：（1）小物塊粘在盤上后，盤的角速度2=？（2）小物塊在碰撞過程中受到的沖量

I的方向及大小。mvRM解：以m,M為一個系統(tǒng)，過程中其所受合外力矩為零，角動量守恒（2）求

I

，應(yīng)用動量定理碰撞前后，動量方向不同，分方向討論。方向向上方向沿切線例：轉(zhuǎn)臺繞過質(zhì)心的鉛直軸轉(zhuǎn)動,初角速度為

0,轉(zhuǎn)臺對此軸的轉(zhuǎn)動慣量

J=5×10-5(kgm2),今有砂粒以每秒

1g速率垂直落在轉(zhuǎn)臺上,

砂粒落點(diǎn)距軸r=0.1m,求砂粒落在轉(zhuǎn)臺上,

使轉(zhuǎn)臺角速度減為0/

2所需時間?o作業(yè)2：2-10；2-11；2-162.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的功和能

Fdzxω·軸r2.4.1力矩的功力矩的空間積累效應(yīng)2.4.2定軸轉(zhuǎn)動剛體的機(jī)械能1.動能剛體的轉(zhuǎn)動動能：剛體的轉(zhuǎn)動動能是組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)平動動能之和，它們是動能的不同表示形式。2.剛體的重力勢能各質(zhì)元重力勢能的總和，就是剛體的重力勢能。剛體的重力勢能等于其質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的重力勢能×ChchimiΔEp=0定軸轉(zhuǎn)動動能定理:

2.4.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理1.動能定理2.復(fù)雜體系的功能原理若體系是一個包含剛體、質(zhì)點(diǎn)、彈簧等復(fù)雜系統(tǒng)時五、機(jī)械能守恒定律對于包括剛體在內(nèi)的體系，若只有保守內(nèi)力作功則系統(tǒng)機(jī)械能守恒例：已知圓盤半徑為R，質(zhì)量為M，在垂直平面內(nèi)可繞過中心水平軸轉(zhuǎn)動，將跨在圓盤上的輕繩分別聯(lián)接倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧和質(zhì)量為m的物體，設(shè)輪軸光滑，繩不伸長，繩與輪間無相對滑動，今用手托住m使彈簧保持原長，然后靜止釋放。求（1）m

下落h

距離時的速度。（2）彈簧的最大伸長量。解：取m+M+繩+彈簧+地球?yàn)橐幌到y(tǒng)hmMRk外力：軸承支承力和地面對彈簧的支承力功為零。內(nèi)力：重力，彈性力為保守力繩不伸長，張力功為零。繩與輪間無相對滑動，摩擦力功為零。系統(tǒng)機(jī)械能守恒解：例：如圖，一勻質(zhì)圓盤可在豎直平面內(nèi)繞光滑的中心垂直軸旋轉(zhuǎn)，初始時，圓盤處于靜止?fàn)顟B(tài)，一質(zhì)量為m的粘土塊從h高度處自由落下，與圓盤碰撞后粘在一起，之后一起轉(zhuǎn)動。已知：M=2m,

=600求：碰撞后瞬間盤的w0=？

P轉(zhuǎn)到x軸時盤的w=?a=?（1）m自由下落碰撞

t

極小，對m+盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對O力矩可忽略，角動量守恒：對m+M+地球系統(tǒng)，只有重力做功，E守恒，（2）P、x重合時EP=0。令1mgRJJsinqw0w+=12222(4)由(3)(4)(5)得：a===MJmgRmRgR222作業(yè)3：2-18；2-22；2-24例:質(zhì)量為M的大木塊具有半徑為R的四分之一弧形槽，如圖所示。質(zhì)量為m的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運(yùn)動，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時的速度?例:如圖，均勻桿長L=0.40m，質(zhì)量M=1.0kg，由其上端的光滑水平軸吊起而靜止。今有一質(zhì)量m=8.0g的子彈以v=200m/s的速率水平射入桿中而不復(fù)出。射入點(diǎn)在軸下d=3L/4處。(1)求子彈停在桿中時桿的角速度；(2)求桿的最大偏轉(zhuǎn)角。mo.OM

A.L聯(lián)立，以上兩式，得又下滑過程，動量守恒，以m,M為系統(tǒng)則在m脫離M瞬間，水平方向有解：

m從M上下滑的過程中，機(jī)械能守恒，以m，M，地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，則有例:質(zhì)量為M的大木塊具有半徑為R的四分之一弧形槽，如圖所示。質(zhì)量為m的小