相似矩陣及二次型第1頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月一.概念:

1.特征值,特征向量:設(shè)A是n階矩陣，如果數(shù)和n維非零列向量x使關(guān)系式成立，那么，這樣的數(shù)稱為方陣

A的特征值，非零向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。2.特征方程,特征多項(xiàng)式,特征矩陣:第2頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次線性方程有非零解稱為方陣A的特征方程，顯然特征方程的n個(gè)根即為A的n個(gè)特征值(實(shí)根或復(fù)根)。記稱為A的特征多項(xiàng)式。稱為A的特征矩陣。第3頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)為的一個(gè)特征值，為其對(duì)應(yīng)的特征向量，則是的解求的特征值求的根求的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量求的解注：一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量可能有無窮多個(gè)。例1：求矩陣特征值和特征向量。二.計(jì)算方法:第4頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月解：A的特征多項(xiàng)式為所以A的特征值為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足即令，得到對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為第5頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足即令，得到對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為例2：求矩陣的特征值和特征向量.第6頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月解：A的特征多項(xiàng)式為所以A的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程令，得到對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為由第7頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時(shí)，解方程由令，得到對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為第8頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例3：求矩陣特征值和特征向量。所以A的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程解：A的特征多項(xiàng)式為第9頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月即令，得到對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解方程第10頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月即令，得到對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為第11頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月三.特征值的性質(zhì)：1.定理1:設(shè)的特征值為，則(1)(2)推論方陣A可逆A有n個(gè)非零的特征值第12頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

四.特征向量的性質(zhì)：1.定理2:

若是A對(duì)應(yīng)于特征值的兩個(gè)特征向量則也是A對(duì)應(yīng)于的特征向量。

2.定理3:矩陣A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的.

五:說明:1.對(duì)數(shù)值矩陣,一般用,求其特征值.2.求非數(shù)值矩陣的特征值,則需用定義求解.3.重根只對(duì)應(yīng)一組線性無關(guān)的特征向量.例:設(shè)n階方陣A滿足,證明A的特征值為1或0.

第13頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月六.補(bǔ)充定理定理:設(shè)是方陣A對(duì)應(yīng)于特征向量x的特征值,則:1.對(duì)數(shù)值k,則是矩陣kA對(duì)應(yīng)于特征向量x的特征值.2.對(duì)于正整數(shù)(≥2),則是矩陣對(duì)應(yīng)于特征向量x的特征值.3.若A為可逆陣.則是矩陣對(duì)應(yīng)于特征向量x的特征值.4.是的特征值.第14頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例:設(shè)三階方陣A的三個(gè)特征值為1.2.-1,(1)求矩陣的特征值;(2)求矩陣的特征值;第15頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)矩陣相似于對(duì)角陣第16頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月一.矩陣相似1.定義:設(shè)A、B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P，使

稱B是A的相似矩陣,記為A∽B

矩陣P稱為相似變換矩陣2.性質(zhì):(1)相似關(guān)系是等價(jià)關(guān)系(自反性,對(duì)稱性,傳遞性),(2)定理4：若A與B相似，則

(1)r(A)=r(B)(2)|A|=|B|(3)A與B的特征多項(xiàng)式相同,則A與B特征值也相同。

第17頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.設(shè)三階矩陣與B相似,求的特征值.例2.設(shè)n階方陣A與B相似,且是A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,證明:為B對(duì)應(yīng)于的特征向量.第18頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月1.概念:若n階矩陣A與對(duì)角陣相似，則稱A可對(duì)角化。二.方陣相似對(duì)角陣的條件:第19頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月注：設(shè)A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量為，記矩陣，則P即為相似變換矩陣，使為對(duì)角陣。即P為A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣證:2.條件:(1)定理5:n階矩陣A與對(duì)角陣相似(即A能對(duì)角化)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量第20頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)推論2:

若A的每一個(gè)重特征值有個(gè)線性無關(guān)的特征向量,則A可對(duì)角化(2)推論1:若n階矩陣A有n個(gè)相異的特征值,則A可對(duì)角陣化。注:1)其逆命題不成立.

2)若為單根,必對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無關(guān)的特征向量.

若為重根,當(dāng)對(duì)應(yīng)線性無關(guān)向量個(gè)數(shù)<n,A不能對(duì)角化.

3)對(duì)角陣主對(duì)角線元素可由構(gòu)成,其順序同P陣.

第21頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.判別下面矩陣能否相似于對(duì)角陣.若能相似于對(duì)角矩陣,求出P和對(duì)角陣.第22頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月三.可對(duì)角化矩陣的冪:結(jié)論:求轉(zhuǎn)化為求特征值及特征向量.

第23頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.設(shè)三階矩陣A的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為,

求A.第24頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形第25頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月一.二次型及其矩陣:1.定義:1)含有n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)稱為二次型。當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí)，稱為復(fù)二次型；當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，稱為實(shí)二次型。

2)：只含平方項(xiàng)的二次型，稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）若標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)只在1，－1，0中取值，則稱為二次型的規(guī)范形。第26頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月取，則此時(shí)2.二次型與矩陣關(guān)系:第27頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月其中即二次型可記作,其中A為對(duì)稱陣。二次型對(duì)稱陣一一對(duì)應(yīng)故稱對(duì)稱陣A為二次型的矩陣，為對(duì)稱陣A的二次型，

對(duì)稱陣A的秩叫做二次型的秩。結(jié)論:第29頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月3.二次型與對(duì)稱陣互表方法1)已知二次型求對(duì)稱陣A:

A的主對(duì)角線元素為項(xiàng)系數(shù),其它元素為項(xiàng)系數(shù)的一半.2)已知對(duì)稱陣A求二次型:

上述步驟的逆過程.第30頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：二次型的矩陣為二次型的矩陣為第31頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.求的二次型第32頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月二.可逆變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型1.概念:(1)可逆線性變換:設(shè)一組變量與另一組變量的變換式為簡記為x=Py,其中,

為可逆陣,稱上式為可逆線性變換.第33頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)合同

定義3：設(shè)A和B是n階矩陣，若有可逆矩陣C使，則稱矩陣A和B合同。性質(zhì):1)A與B合同,則A為對(duì)稱陣

2)合同不改變矩陣的秩.

3)合同是方陣之間又一等價(jià)關(guān)系.B為對(duì)稱陣第34頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2.化標(biāo)準(zhǔn)型方法:1)定理2:任給二次型,有可逆變換使化成標(biāo)準(zhǔn)形其中是的矩陣的特征值。等價(jià)于對(duì)任一實(shí)對(duì)稱陣A,總存在可逆陣P,使A合同于對(duì)角陣2)方法:(1)拉格朗日配方法;(2)正交變換法.第35頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月3).拉格朗日方法步驟:(1)f中含有某變量平方項(xiàng):

①把含有此變量的項(xiàng)歸并,配方;②再對(duì)其它變量進(jìn)行配方,直至完全配為平方項(xiàng).

(2)f中不含變量的平方項(xiàng):①用一簡單逆變換使f中含有新變量平方項(xiàng),②按第一種方法進(jìn)行.例1：用配方法把二次型:化為標(biāo)準(zhǔn)形。例2：用配方法把二次型:化為標(biāo)準(zhǔn)形。第36頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月3.注:(1)二次型化標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的.(2)標(biāo)準(zhǔn)型中非平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是惟一的.4.慣性定理:(1)定理:設(shè)秩為的二次型,經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p一定,負(fù)的平地方項(xiàng)的個(gè)數(shù)q一定.

(2)概念:

正慣性指數(shù):正的平方項(xiàng)數(shù)p.

負(fù)慣性指數(shù):負(fù)的平方項(xiàng)數(shù)q.

符號(hào)差:p-q第37頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第38頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月一.正交矩陣與正交變換:1.正交矩陣:(1)定義:若稱C為正交陣.(2)性質(zhì):①正交陣的行列式等于是或-1,②正交陣的逆陣等于其轉(zhuǎn)置陣,③兩正交陣的乘積仍是正交陣.2.正交變換:(1)定義:設(shè)C為n階正交陣.X,Y為n維向量,稱線性變換

X=CY為正交變換.

(2)性質(zhì):保持向量長度,內(nèi)積,不變,因而兩向量之間的夾角及正交性不變.②第39頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月二.正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形:

1.實(shí)對(duì)稱陣的性質(zhì):(1)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)。(2)：設(shè)是對(duì)稱陣A的兩個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量。若，則與正交。2.定理3:實(shí)二次型必存在正交變換X=CY化為標(biāo)準(zhǔn)型,等價(jià)于對(duì)n階實(shí)對(duì)稱陣A,必存在正交陣C.使A合同相似于對(duì)角陣。其中為A的特征值,C的n個(gè)列向量是A對(duì)應(yīng)于特征值的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.第40頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月3.化標(biāo)準(zhǔn)形步驟：(1)寫出f的矩陣A,(2)由特征方程求的n個(gè)特征值,(3)求關(guān)于的特征向量

1)當(dāng)為單根時(shí),取一非零特征向量,單位化,