/09/9/生活中的優化問題舉例學習目標核心素養1.體會導數在解決實際問題中的作用.2.能利用導數解決簡單的實際問題．(重點、難點)1.通過利用導數解決生活中的優化問題的學習，培養學生數學建模的核心素養.2.借助實際問題的求解，提升學生邏輯推理及數學運算的核心素養.1．優化問題生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題．2．用導數解決優化問題的基本思路思考：解決生活中優化問題應注意什么？[提示](1)在建立函數模型時，應根據實際問題確定出函數的定義域．(2)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考查，不符合實際意義的應舍去，如：長度、寬度應大于0，銷售價為正數等．1．已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數關系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為()A．7萬件 B．9萬件C．11萬件 D．13萬件B[設y＝f(x)，即f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234.故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．當0＜x＜9時，f′(x)＞0，函數y＝f(x)單調遞增；當x＞9時，f′(x)＜0，函數y＝f(x)單調遞減．因此，當x＝9時，y＝f(x)取最大值．故使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為9萬件．]2．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A．8B．eq\f(20,3)C．－1D．－8C[由題意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1時，f′(x)的最小值為－1，即原油溫度的瞬時變化率的最小值是－1.]3．做一個容積為256m3的方底無蓋水箱，所用材料最省時，它的高為()A．6m B．8mC．4m D．2mC[設底面邊長為xm，高為hm，則有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).所用材料的面積設為Sm2，則有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(256×4,x)＋x2.S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，得x＝8，因此h＝eq\f(256,64)＝4(m)．]4．某一件商品的成本為30元，在某段時間內，若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，當每件商品的定價為______元時，利潤最大．115[利潤為S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0，得x＝115，這時利潤達到最大．]面積、體積的最值問題【例1】請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE＝FB＝x(cm)．(1)某廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．[解]設包裝盒的高為hcm，底面邊長為acm.由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當x＝15時，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.當x∈(0,20)時，V′＞0；當x∈(20,30)時，V′＜0.所以當x＝20時，V取得極大值，也是最大值．此時eq\f(h,a)＝eq\f(1,2)，即包裝盒的高與底面邊長的比值為eq\f(1,2).1．解決面積、體積的最值問題，要正確引入變量，將面積或體積表示為變量的函數，結合實際問題的定義域，利用導數求解函數的最值．2．利用導數解決生活中優化問題的一般步驟①找關系：分析實際問題中各量之間的關系；②列模型：列出實際問題的數學模型；③寫關系：寫出實際問題中變量之間的函數關系y＝f(x)；④求導：求函數的導數f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比較：比較函數在區間端點和使f′(x)＝0的點的函數值的大小，最大(小)者為最大(小)值；⑥結論：根據比較值寫出答案．[跟進訓練]1．周長為20cm的矩形，繞一條邊旋轉成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為________cm3.eq\f(4000,27)π[設矩形的長為xcm，則寬為(10－x)cm(0＜x＜10)．由題意可知圓柱體積為V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.∴V′＝20πx－3πx2，令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝eq\f(20,3)，且當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(20,3)))時，V′(x)＞0，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)，10))時，V′(x)＜0，∴當x＝eq\f(20,3)時，V(x)max＝eq\f(4000,27)πcm3.]用料最省、成本(費用)最低問題【例2】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小？并求最小值．思路探究：(1)由C(0)＝8可求k的值從而求出f(x)的表達式．(2)求函數式f(x)的最小值．[解](1)由題設，每年能源消耗費用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,?3x＋5?2)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,?3x＋5?2)＝6，解得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當0<x<5時，f′(x)<0，當5<x<10時，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點，對應的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元．1．用料最省、成本(費用)最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象．正確書寫函數表達式，準確求導，結合實際作答．2．利用導數的方法解決實際問題，當在定義區間內只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值．[跟進訓練]2．甲、乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時，已知該汽車每小時的運輸成本P(元)關于速度v(千米/時)的函數關系是P＝eq\f(1,19200)v4－eq\f(1,160)v3＋15v，(1)求全程運輸成本Q(元)關于速度v的函數關系式；(2)為使全程運輸成本最少，汽車應以多大速度行駛？并求此時運輸成本的最小值．[解](1)Q＝P·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v4－\f(1,160)v3＋15v))·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v3－\f(1,160)v2＋15))·400＝eq\f(v3,48)－eq\f(5,2)v2＋6000(0<v≤100)．(2)Q′＝eq\f(v2,16)－5v，令Q′＝0，則v＝0(舍去)或v＝80，當0<v<80時，Q′<0；當80<v≤100時，Q′>0，∴v＝80千米/時時，全程運輸成本取得極小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝eq\f(2000,3)(元).利潤最大、效率最高問題[探究問題]1．在實際問題中，如果在定義域內函數只有一個極值點，則函數在該點處取最值嗎？[提示]根據函數的極值與單調性的關系可以判斷，函數在該點處取最值，并且極小值點對應最小值，極大值點對應最大值．2．你能列舉幾個有關利潤的等量關系嗎？[提示](1)利潤＝收入－成本．(2)利潤＝每件產品的利潤×銷售件數．【例3】某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．思路探究：(1)根據x＝5時，y＝11求a的值．(2)把每日的利潤表示為銷售價格x的函數，用導數求最大值．[解](1)因為x＝5時，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10?x－6?2))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)，于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)↗極大值42↘由上表可得，x＝4是函數f(x)在區間(3,6)內的極大值點，也是最大值點，所以，當x＝4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42.故當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．(變條件)本例條件換為：該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克，1＜x≤12)滿足：當1＜x≤4時，y＝a(x－3)2＋eq\f(b,x－1)，(a，b為常數)；當4＜x≤12時，y＝eq\f(2800,x)－100.已知當銷售價格為2元/千克時，每日可銷售出該特產800千克；當銷售價格為3元/千克時，每日可售出150千克．(1)求a，b的值，并確定y關于x的函數解析式；(2)若該商品的銷售成本為1元/千克，試確定銷售價格x的值，使店鋪每日銷售該特產所獲利潤f(x)最大，(eq\r(7)≈2.65)[解](1)由題意：x＝2時y＝800，∴a＋b＝800，又∵x＝3時y＝150，∴b＝300，可得a＝500.∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(500?x－3?2＋\f(300,x－1)，1＜x≤4,\f(2800,x)－100，4＜x≤12))，(2)由題意：f(x)＝y(x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(500?x－3?2?x－1?＋300，1＜x≤4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2800,x)－100))?x－1?，4＜x≤12))，當1＜x≤4時，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3500x2＋7500x－4200，f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，∴由f′(x)＞0，得eq\f(5,3)＜x＜3，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))，(3,4)上遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，3))上遞減，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝eq\f(8000,9)＋450＜f(4)＝1800，∴當x＝4時有最大值，f(4)＝1800當4＜x≤12時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2800,x)－100))(x－1)＝2900－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100x＋\f(2800,x)))≤2900－400eq\r(7)≈1840，當且僅當100x＝eq\f(2800,x)，即x＝2eq\r(7)≈5.3時取等號，∴x＝5.3時有最大值1840，∵1800＜1840，∴當x＝5.3時f(x)有最大值1840，即當銷售價格為5.3元的值，使店鋪所獲利潤最大．利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據“利潤＝收入－成本”建立函數關系式，再利用導數求最大值．解此類問題需注意兩點：①價格要大于或等于成本，否則就會虧本；②銷量要大于0，否則不會獲利．1．利用導數解決生活中優化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系y＝f(x)；(2)求函數的導數f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數在區間端點和使f′(x)＝0的點的數值的大小，最大(小)者為最大(小)值．2．正確理解題意，建立數學模型，利用導數求解是解答應用問題的主要思路．另外需要特別注意：(1)合理選擇變量，正確寫出函數解析式，給出函數定義域；(2)與實際問題相聯系；(3)必要時注意分類討論思想的應用．1．某箱子的體積與底面邊長x的關系為V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0<x<60)，則當箱子的體積最大時，箱子底面邊長為()A．30 B．40C．50 D．60B[V′(x)＝－eq\f(3,2)x2＋60x＝－eq\f(3,2)x(x－40)，因為0＜x＜60，所以當0＜x＜40時，V′(x)>0，此時V(x)單調遞增；當40<x<60時，V′(x)<0，此時V(x)單調遞減，所以V(40)是V(x)的極大值，即當箱子的體積最大時，箱子底面邊長為40.]2．某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q與零售價p有如下關系：Q＝8300－170p－p2.則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元D[設毛利潤為L(p)，由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此時，L(30)＝23000.因為在p＝30附近的左側L′(p)＞0，右側L′(p)＜0，所以L(30)是極大值，根據實際問題的意義知，L(30)是最大值，即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23000元．]3．做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使水桶的體積是27π，且用料最省，則水桶的底面半徑為________．3[設圓柱形水桶的表面積為S，底面半徑為r(r＞0)，則水桶的高為eq\f(27,r2)，所以S＝πr2＋2πr×eq\f(27,r2)＝πr2＋eq\f(54π,r)(r＞0)，求導數，得S′＝2πr－eq\f(54π,r2)，令S′＝0，解得r＝3.當0＜r＜3時，S′＜0；當r＞3時，S′＞0，所以當r＝3時，圓柱形水桶的表面積最小，即用料最省．]4．某