/09/9/3.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題3．3.1二元一次不等式(組)與平面區(qū)域內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解二元一次不等式(組)的幾何意義．2.能從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組．3.會(huì)畫二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域.應(yīng)用直觀想象提升數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第60頁[基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)]知識(shí)點(diǎn)一二元一次不等式(組)的概念知識(shí)梳理(1)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式．(2)由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組．(3)滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)(x，y)稱為二元一次不等式(組)的一個(gè)解．(4)所有這樣的有序數(shù)對(duì)(x，y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集．知識(shí)點(diǎn)二二元一次不等式表示的平面區(qū)域二元一次方程x＋y－1＝0的解(x，y)形成的點(diǎn)組成直線x＋y－1＝0，那么二元一次不等式x＋y－1＞0(或＜0)的解的點(diǎn)集組成什么圖形？如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，x－y＝6表示一條直線，平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線分成三類：第一類：在直線x－y＝6上的點(diǎn)；第二類：在直線x－y＝6左上方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)；第三類：在直線x－y＝6右下方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P是直線x－y＝6上的點(diǎn)，選取點(diǎn)A，使它的坐標(biāo)滿足不等式x－y＜6，請(qǐng)同學(xué)們完成教材第83頁的表格：橫坐標(biāo)x－3－2－10123點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y1－9－8－7－6－5－4－3點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y2－8－7－6－5－4－3－2思考(1)當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P有相同的橫坐標(biāo)時(shí)，它們的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？提示：y2＞y1.(2)根據(jù)上面的思考說說，直線x－y＝6左上方的坐標(biāo)與不等式x－y＜6有什么關(guān)系？提示：滿足不等式．(3)直線x－y＝6右下方點(diǎn)的坐標(biāo)呢？提示：y2＜y1.知識(shí)梳理在平面直角坐標(biāo)系中，以二元一次不等式x－y＜6的解集為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線x－y＝6的左上方；反過來，直線x－y＝6左上方的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式x－y＜6.因此，在平面直角坐標(biāo)系中，不等式x－y＜6表示直線x－y＝6左上方的平面區(qū)域，如圖(1)．類似的：二元一次不等式x－y＞6表示直線x－y＝6右下方的區(qū)域，如圖(2)．直線叫做這兩個(gè)區(qū)域的邊界．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實(shí)線．(2)對(duì)于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入Ax＋By＋C，所得值的符號(hào)都相同．(3)在直線Ax＋By＋C＝0的一側(cè)取某個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測試點(diǎn)，由Ax0＋By0＋C的符號(hào)可以斷定Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域．[自我檢測]1．以下各點(diǎn)在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＞0，,x－2y＋1＜0))表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A．(－1,1) B．(1,1)C．(2,2) D．(3,2)答案：C2．不等式2x＋3y－6≤0表示的平面區(qū)域是()答案：D授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第61頁探究一二元一次不等式(組)表示的區(qū)域[閱讀教材P84例1、例2]方法步驟：(1)畫邊界線．(2)取特殊點(diǎn)、畫區(qū)域、角度、已知不等式(組)畫區(qū)域．[例1]畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域．(1)2x－y－6≥0；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3.))[解析](1)如圖，先畫出直線2x－y－6＝0，取原點(diǎn)O(0,0)代入2x－y－6中，∵2×0－1×0－6＝－6<0，∴與點(diǎn)O在直線2x－y－6＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)都滿足2x－y－6<0，因此2x－y－6≥0表示直線右下方的區(qū)域(包含邊界)．(2)先畫出直線x－y＋5＝0(畫成實(shí)線)，如圖，取原點(diǎn)O(0,0)代入x－y＋5，∵0－0＋5＝5>0，∴原點(diǎn)在x－y＋5>0表示的平面區(qū)域內(nèi)，即x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及其右下方的點(diǎn)的集合．同理可得，x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及其右上方的點(diǎn)的集合，x≤3表示直線x＝3上及其左方的點(diǎn)的集合．圖中陰影部分就表示原不等式組的平面區(qū)域．方法技巧(1)不等式組表示的平面區(qū)域是不等式組中各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分，找公共部分時(shí)，可以先找出其中兩個(gè)不等式所表示區(qū)域的公共部分，再依次增加不等式尋找其公共部分．(2)畫平面區(qū)域時(shí)，基本原則是：直線定界、特殊點(diǎn)定域．其中直線要注意虛實(shí)，特殊點(diǎn)一般選坐標(biāo)原點(diǎn)，如果直線本身經(jīng)過原點(diǎn)，可以另取坐標(biāo)軸上的其他點(diǎn)．跟蹤探究1.不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－y＋5??x＋y?≥0，,0≤x≤3))表示的平面區(qū)域是一個(gè)()A．三角形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．矩形解析：不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－y＋5??x＋y?≥0，,0≤x≤3))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,0≤x≤3，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≤0，,x＋y≤0，,0≤x≤3.))②，不等式組①表示的平面區(qū)域如圖所示．不等式組②中的幾個(gè)二元一次不等式表示的平面區(qū)域無公共部分，所以，原不等式組表示的平面區(qū)域是圖中的等腰梯形OABC，故選C.答案：C2．畫出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面區(qū)域．解析：原不等式等價(jià)于兩個(gè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1＞0，,x－y＋4＜0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1＜0，,x－y＋4＞0.))在直角坐標(biāo)系中畫出直線x＋2y＋1＝0與x－y＋4＝0(畫成虛線)．取原點(diǎn)(0,0)可以判斷：不等式x＋2y＋1＞0表示直線x＋2y＋1＝0的右上方區(qū)域；x＋2y＋1＜0表示直線x＋2y＋1＝0的左下方區(qū)域；x－y＋4＜0表示直線x－y＋4＝0的左上方區(qū)域；x－y＋4＞0表示直線x－y＋4＝0的右下方區(qū)域．所以不等式組表示的平面區(qū)域，即原不等式表示的平面區(qū)域如圖所示．[例2]在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，寫出△ABC區(qū)域所表示的二元一次不等式組．[解析]如圖，直線AB的方程為x＋2y－1＝0，三角形區(qū)域在直線AB及其右上方，故x＋2y－1≥0；直線AC的方程為2x＋y－5＝0，三角形區(qū)域在直線AC及其左下方，故2x＋y－5≤0；直線BC的方程為x－y＋2＝0，三角形區(qū)域在直線BC及其右下方，故x－y＋2≥0.所以△ABC區(qū)域所表示的二元一次不等式組為方法技巧已知平面區(qū)域求不等式的步驟(1)利用已知平面區(qū)域邊界上點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線方程．(2)將平面區(qū)域內(nèi)的特殊點(diǎn)代入直線方程兩側(cè)，判斷不等號(hào)的方向．(3)結(jié)合平面區(qū)域的邊界虛實(shí)寫出相應(yīng)的不等式．跟蹤探究3.如圖所示的平面區(qū)域所對(duì)應(yīng)的不等式組是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－2y＋2≥0,2x－y－2≤0)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－2y＋2≥0,2x－y－2≥0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－2y＋2≤0,2x－y－2≤0))D.eqD.\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－2y＋2≤0,2x－y－2≥0))解析：由圖知，原點(diǎn)O(0,0)不在二元一次不等式x＋y－1≥0表示的區(qū)域，但原點(diǎn)O在二元一次不等式x－2y＋2≥0表示的平面區(qū)域，也在二元一次不等式2x－y－2≤0表示的平面區(qū)域，故圖中的平面區(qū)域?yàn)椴坏仁浇Meq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－2y＋2≥0，,2x－y－2≤0))表示的平面區(qū)域．答案：A探究二二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的面積[閱讀教材P103A組第4題]不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＋8＞0,x＜0,y＜0))表示平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)是________．答案：(－1，－1)[例3](1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,2x－y－2≤0，))z＝x＋y，則滿足z≥1的點(diǎn)(x，y)所構(gòu)成的區(qū)域面積等于()A.eq\f(1,4)B.eq B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．1[解析]作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，則滿足z≥1的點(diǎn)(x，y)所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,2x－y－2＝0，))得B(2,2)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y＝1，))得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，又A(1,0)，∴|AC|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).點(diǎn)B到x＋y＝1的距離為eq\f(|1×2＋1×2－1|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(3,4).[答案]C(2)已知不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0))所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為()A．1 B．－3C．1或－3 D．0[解析]當(dāng)k≤－1時(shí)，各不等式表示的區(qū)域無公共部分；當(dāng)k＞－1時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖，解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2k＋2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)(2k＋2)×2＝4，解得k＝1.[答案]A方法技巧求平面區(qū)域面積的方法求平面區(qū)域的面積，要先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積．若圖形為規(guī)則的，則直接利用面積公式求解；若圖形為不規(guī)則圖形，可采取分割的方法，將平面區(qū)域分為幾個(gè)規(guī)則圖形求解．跟蹤探究4.若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋eq\f(4,3)分為面積相等的兩部分，則k的值是()A.eq\f(7,3) B．eq\f(3,7)C.eq\f(4,3)D.eqD.\f(3,4)解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，求得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(1,1)，(0,4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).由直線y＝kx＋eq\f(4,3)恒過點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，且平面區(qū)域被此直線分為面積相等的兩部分，觀察圖象可知，當(dāng)直線y＝kx＋eq\f(4,3)與直線3x＋y＝4的交點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的一半時(shí)，可滿足要求，因此xD＝eq\f(1,2)，代入3x＋y＝4，可得yD＝eq\f(5,2)，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))，代入y＝kx＋eq\f(4,3)，得eq\f(5,2)＝k×eq\f(1,2)＋eq\f(4,3)，則k＝eq\f(7,3)，故選A.答案：A授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第62頁[課后小結(jié)]1．因?yàn)橥瑐?cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)，所以可以用特殊點(diǎn)檢驗(yàn)，判斷Ax＋By＋C＞0的解集到底對(duì)應(yīng)哪個(gè)區(qū)域．當(dāng)C≠0時(shí)，一般取原點(diǎn)(0,0)，當(dāng)C＝0時(shí)，常取點(diǎn)(0,1)或(1,0)．2．二元一次不等式表示平面區(qū)域也可用以下方法．對(duì)于Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示的平面區(qū)域，直線Ax＋By＋C＝0，其中A＞0可以這樣來確定：不等式所表示區(qū)域位置B＞0B＜0Ax＋By＋C＞0在直線右上方在直線右下方Ax＋By＋C＜0在直線左下方在直線左上方(1)當(dāng)A＜0時(shí)，可通過不等式兩邊乘以－1的方法轉(zhuǎn)化成上述情況．(2)當(dāng)A或B為0時(shí)，可通過不等式直接確定．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．忽視邊界的虛實(shí)與區(qū)域的選擇致誤不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－6≤0，,x＋y－2＞0))表示的平面區(qū)域是()易錯(cuò)分析忽略邊界線x＋y－2＝0是虛線，x＋3y－6＝0是實(shí)線，或者將區(qū)域定錯(cuò)，錯(cuò)選為C或A或D.自我糾正不等式x＋3y－6≤0表示直線x＋3y－6＝0以及該直線左下方的區(qū)域，不等式x＋y－2＞0表示直線x＋y－2＝0的右上方區(qū)域，故選B.答案：B2．不理解不等式關(guān)系而丟失區(qū)域在直角坐標(biāo)系中，不等式y(tǒng)2－x2≤0表示的平面區(qū)域是()易錯(cuò)分析此題易將y2－x2≤0變形致錯(cuò)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x,y≤－x))，錯(cuò)選為D.自我糾正由y2－x2≤0得(y＋x)(y－x)≤0即eq\b\lc\{\rc\(