立體幾何易錯大匯聚【高考動向】立體幾何考試題是體現(xiàn)高考“穩(wěn)中求變”罪貼切的一部分，重點(diǎn)考查“直線與平面性質(zhì)”是穩(wěn)的一方面，變的方面主要體現(xiàn)在：在填空題方面，陸續(xù)出現(xiàn)了多選、多填的形式，改變了填空題形式單一的弊端，拓寬了填空題的考查功能。近幾年高考題中又出現(xiàn)了開放性的填空題，重點(diǎn)考查探索、分析和解決問題的能力，解答題由單純的直線與平面的證明題的變?yōu)橐远嗝骟w為載體的多角度考查的試題，表現(xiàn)為計算中有證明、證明中有計算的新特點(diǎn)。高考中立體幾何試題側(cè)重于對線線、線面、面面等各種位置關(guān)系的考查，一般以特殊的多面體為載體，將點(diǎn)、線、面融合在一起，考查內(nèi)部位置關(guān)系，計算各種角、距離、面積、體積等。解答題中以小步設(shè)問的方式，各問之間既獨(dú)立成題，又有相互聯(lián)系；既有平行與垂直等位置關(guān)系的證明，又有角、距離、體積等的計算，突出對空間概念、空間想象能力和邏輯思維、邏輯表達(dá)能力的考查，對于線線、線面、面面的各種位置關(guān)系，平行與垂直是特殊的兩種，它們之間的推理與論證是高考的重點(diǎn)。近年來高考題常立足于棱柱、棱錐、正方體及長方體，對于給定的一個特殊幾何體，利用隱含的點(diǎn)、線、面的關(guān)系建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，借助空間向量把抽象推理向計算型推理轉(zhuǎn)變。【知識死角】一、概念理解錯誤解立體幾何問題時，常見一些對基本概念或公式及定理的考查。如對各種空間角、空間距離的考查，對各種多面體的定義及性質(zhì)的考查，對幾何體體積的考查等，因此在解題過程中，概念或范圍不清、公式錯用是常見的解題失誤。例1、已知二面角a—l一卩的大小為600,m,n為異面直線，且m丄a,n丄卩，則m,n所成的角【】A、300B、600C、900D、1200錯解：如圖，設(shè)m丄a于A,過m的點(diǎn)P引n的平行線交0于B,設(shè)平面PAB與l交于O點(diǎn)，連結(jié)AO、BO,由m丄a,n丄卩可知面l丄面PAB,所以l丄AO,l丄BO，所以ZAOB是二面角的平面角，所以ZAOB=60。，可得ZAPB=120。，則m,n所成的角為1200，故選D.剖析：錯解中很明顯沒有弄清異面直線所成的角的范圍。正解：如錯解，又異面直線所成的角小于等于900，所以0=600，故選B.兀r點(diǎn)評：同學(xué)們要注意異面直線所成角的范圍是（0,-］，求解異面直線所成的角的時候很容易忘記該范圍而犯錯誤。111111候很容易忘記該范圍而犯錯誤。111111bc^2在RtABCC中，BC二1,CC=<■!ntanZBCC==，所以B^與側(cè)面ACCASi1iCC21111J2所成的角是arctan于.剖析：顯然該題沒有對BC在側(cè)面ACCA內(nèi)的射影展開敘述，線面角是平面的斜線111與其在平面內(nèi)的射影的夾角，頂點(diǎn)B在側(cè)面ACCA的射影應(yīng)該是▲ABC中BC邊的垂線。11正解：在RtABCC中，BC二1,CC二v'2nBC二呂，由于三棱柱ABC-ABC111111為正棱柱，底面ABC與側(cè)面垂直，所以正三角形ABC中AC邊的高即為B到側(cè)面ACCA11,'31的距離，點(diǎn)B到平面ACCA的距離為三-，所以sin0=亍0=300.1122點(diǎn)評：處理夾角問題時，應(yīng)完全回扣定義，不能憑主觀感受、主觀認(rèn)識來處理問題，通常情況下角需要重新構(gòu)造，借助題設(shè)條件作出輔助線最終得到要求的角。二、平面與空間性質(zhì)混淆在立體幾何證明中盲目類比平面幾何定理，而立體幾何問題只有在化歸為平面幾何問題后才能直接使用平面幾何知識解題。例3、如圖，在正方體ABCD-ABCD中，P是側(cè)面BBCC內(nèi)一動點(diǎn)，若P到直111111線BC與直線CD的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是【】11A、直線B、圓C、雙曲線D、拋物線錯解：因?yàn)榈浇莾蛇叺木嚯x相等的點(diǎn)的軌跡是直線，所以到直線BC與直線CD的距11

離相等的點(diǎn)的軌跡是直線，選A.剖析：上述錯誤沒有合理轉(zhuǎn)化空間距離到平面內(nèi)。正解：因?yàn)樵谡襟w中CD丄面BBCC，所以PC即為P點(diǎn)到CD1111111的距離，這樣問題就轉(zhuǎn)化為側(cè)面BBCC內(nèi)P到C點(diǎn)的距離與到直線BC111的距離相等，則由解析幾何知識知動點(diǎn)P的軌跡為拋物線。點(diǎn)評：轉(zhuǎn)化思想是處理空間軌跡問題的主要手段，我們在處理這類問題時，往往需要將空間問題向平面內(nèi)轉(zhuǎn)化。三、審題不周全產(chǎn)生錯誤由于對題目限定條件沒有深挖，就不能充分利用已知得到正確結(jié)論，可能缺少分類討論或錯用已知條件產(chǎn)生錯誤。例4、多面體上位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的。如圖，正方體的一個頂點(diǎn)A在平面A內(nèi)，其余頂點(diǎn)在A的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個頂點(diǎn)到d的距離分別為1，2,和4,P是正方體的其余四個頂點(diǎn)中的一個，則P到平面d的距離可能是【】2）4（3）5（4）6（5）7以上結(jié)論正確的為（寫出所有正確結(jié)論的編號）錯解：由圖觀察可得C點(diǎn)到平面d的距離與D點(diǎn)相等，B,C,D到平面d的距離大111于4，故選（2）（3）（4）（5）.剖析：對題目中的正方體沒有適當(dāng)引申，沒有抓住問題的切入點(diǎn)解題，只是由圖猜想正解：如圖，因?yàn)檎襟w的各側(cè)面都是正方形，所以各面的對角線互相平分。因?yàn)锽,DA1到平面d的距離分別為1，2,4,則DA】的中點(diǎn)到平面d的距離為3,所以D到平面d的距離為6；B,A的中點(diǎn)到平面d的距離為1123所以B到平面d的距離為5；則D，B的中點(diǎn)到平面d的距離為三,12一7所以C到平面d的距離為3；C,A的中點(diǎn)到平面d的距離為只,12所以B到平面d的距離為7；而P為C,B,C,D中的一點(diǎn)，1111所以選（1）（3）（4）（5）.點(diǎn)評：本題在求解時要把條件適當(dāng)引申，之后利用對角線互相平分來解題。四、不求甚解，落入命題者的圈套立體幾何中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系復(fù)雜，若對定理、性質(zhì)理解不透，或解題按照固定的思維模式去解決，往往掉入命題者的圈套。所以在解決問題時一定要思考全面，仔細(xì)推敲例5、已知平面d外不共線的三點(diǎn)A、B、C到d的距離都相等，則正確的結(jié)論是（）A、平面ABC必平行于dB、平面ABC必與d相交C、平面ABC必不垂直于dD、存在▲ABC的一條中位線平行于d或在d內(nèi)錯解：因?yàn)槿c(diǎn)A、B、C到d的距離都相等，所以平面ABC必平行于d,故選A.剖析：上述解法考慮不全面，只考慮了三點(diǎn)在平面同側(cè)的情況。正解：平面d外不共線的三點(diǎn)A、B、C到d的距離都相等，則可能三點(diǎn)在d的同側(cè)，即平面ABC平行于d；也可能一個點(diǎn)A在平面一側(cè)，另兩點(diǎn)B、C在平面另一側(cè)，側(cè)存在

一條中位線DE//BC,DE在a內(nèi)，故選D.例6、如圖，四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC丄底面ABCD,已知ZABC=45o,AB二2,BC二2^2,SA=SB=<3，（1）證明：SA丄BC；2）求直線SD與平面SAB所成角的大小。錯解：（1）略（2）過D作DO垂直于AB于O,連結(jié)SO,因?yàn)镾AB丄底面ABCD,所以DO丄底面SAB，則ZDSO為直線SD與平面SAB所成角，由已知ZABC二45o,AB二2,BC二2「2，所以DO=2，故SA丄AD,由所以sin皿=D0=營,所以直線SD與平面SAB所成角的大小為arcsin2-JH11AD=BC=22,SA=\：3AO—\所以sin皿=D0=營,所以直線SD與平面SAB所成角的大小為arcsin2-JH11剖析：求解線面角通常要作出線面垂直關(guān)系來確定射影，錯解正是因?yàn)榇嬖诰€面角一定要確定射影的思維定勢而導(dǎo)致錯誤。正解：（1）如圖，作SO丄BC,垂足為O,連結(jié)AO,由側(cè)面SBC丄底面ABCD,得SO丄底面ABCD,因?yàn)镾A=SB，所以AO=BO,又ZABC—450，故▲AOB為等腰直角三角形且AO丄BO,貝ySA丄BC.B（2）由（1）知SA丄BC,依題設(shè)AD//BC，故SA丄AD,由AD—BC—2、2,SA—、3,AO=\2，得SO=1,SD=、11,B所以ASAB的面積為S1所以ASAB的面積為S1=12AB?、:SA2—（2AB）2=2，連結(jié)DB,得ADAB的面積S—1AB?ADsin135o—2.設(shè)D到平面SAB的距離為h,22由V—V，得］h?S—SO?S，解得h=x2.D-SABS-ABD3132設(shè)SD與平面SAB所成角為a，則設(shè)SD與平面SAB所成角為a，則sina—hSD2VT1<227T所以直線SD與平面SAB所成角的大小為arcsin<22"IT點(diǎn)評：解得第（2）問時，絕大多數(shù)同學(xué)都考慮去找SD在面SAB上的射影，之后就會發(fā)現(xiàn)垂線無法作，射影找不到，這是命題者所設(shè)置的陷阱，這時候，思維全面的同學(xué)，就會尋找其他的途經(jīng)一一求點(diǎn)D到平面SAB的距離，即可求得線面角的正弦值。【總結(jié)方法】1、熟練掌握基礎(chǔ)知識與基本方法直線、平面的位置關(guān)系，角與距離的計算問題，側(cè)面積與表面積及體積的計算問題組

合體問題等均屬于基本問題；等積變換（如改變頂點(diǎn)求體積），面積射影定理（限于選擇與填空中使用），割補(bǔ)思想、高維到低維的降維思想等都是立體幾何中常用的思想與方法，所有這些內(nèi)容都應(yīng)熟練掌握。2、加強(qiáng)邏輯推理能力的訓(xùn)練解答題中一般既有證明又有計算，可能是邊證邊算，也可能先證后算。解答題一般有2?3問，難度逐步加深，因此平時練習(xí)時對于解答題的每一問都要認(rèn)真作答，不要輕言放棄，書寫時要注意論證的嚴(yán)密性，證明時要規(guī)范，推理要有理有據(jù)，減少無謂失分，堅決克服“會而不對，對而不全”的毛病，另外，由于解答題一般都可以一題兩解（傳統(tǒng)方法與向量方法），而且向量方法對思維與推理要求相對較低，故考前應(yīng)加強(qiáng)這種兩解題型的訓(xùn)練，爭取做到考時應(yīng)用自如，得心應(yīng)手。【鞏固練習(xí)】1、如圖，三棱錐P—ABC的高PO=8,AC=BC=3,ZACB=30°,M、N分別在BC和PO上，且CM=x,PN=2CM，則下面四個圖象中大致描繪了三棱錐N—AMC的體積V與x變化關(guān)系（xW（0,3］）2010>0BC2010>0BC2、在正方體ABCD-ABCD中，E、F、G、H分別是棱CC、CD、DD、CD的中11111111點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動，則M滿足條件時,有MN//平面B1BDD3、如圖（1）是一正方體的表面展開圖，MN和PB是兩條面對角線，請在圖（2）的正方體中將MN和PB畫出來，并就這個正方體解決下面問題。（I）求證：MN〃平面PBD；（II）求證：AQ平面PBD；

答案與提示：1、AV=-SxNO=-x-ACxCMsin3Oox(8—2x)、N-AMC3▲AMC324x3xxx(8—2x)=2x-2x2=-2(x-2)2+2由解析式可知應(yīng)該選擇A2、Me線段FH.以D為原點(diǎn)，DA為x軸、DC為y軸、DD】為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,則M(0，y，z)，又容易證明平面BBDD.的一個法向量是AC，111要使MN//平面BBDD.，應(yīng)有MN丄AC，即MN-AC=0，解得M(0,—,z)，因112此M點(diǎn)應(yīng)在線段FH上運(yùn)動，即MeFH.3、MN和PB的位置如右圖示：?.?ND#MB且ND=MB???四邊形NDBM為平行四邊形???MN〃DB?.?NMg平面PDB,DBU平面PDBAMN〃平面PBD?QC